ニュースベンダーモデル

ニュースベンダー（またはニュースボーイ、単一期間^[1]、または回収可能）モデルは、オペレーション管理と応用経済学における最適な在庫レベルを決定するために使用される数学モデルです。これは（通常）固定価格と生鮮食品の不確実な需要によって特徴付けられます。在庫レベルが の場合、それを超える需要の各単位は潜在的な売上において失われます。このモデルは、不確実な需要に直面し、売れ残ったコピーが1日の終わりには価値がなくなることを知りながら、その日の新聞を何部在庫するかを決定しなければならない新聞販売店が直面する状況との類推から、 ニュースベンダー問題またはニュースボーイ問題としても知られています。${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

この数学的問題は1888年に遡ると思われる^[2]。エッジワースは中心極限定理を用いて、預金者からのランダムな引き出しを満たす最適な現金準備額を決定した。^[3] チェン、チェン、チョイ、ワン（2016）によると、「新聞配達員」という用語は、モースとキンボール（1951）の本の例で初めて言及された。^[4]この問題は1960年代と1970年代に「クリスマスツリー問題」や「新聞配達員問題」と呼ばれ、1980年代から「新聞配達員」のような性別に中立な語彙が使われるようになった。エヴァン・ポーテウスによると、マット・ソーベルが「新聞配達員問題」という用語を作った。^[5]

現代的な定式化は、ケネス・アロー、T・ハリス、ジェイコブ・マーシャクによるエコノメトリカ誌の論文に関連している。^[6]

古典的な新聞販売店問題に関する最近の研究では、特に行動面に焦点を当てています。つまり、複雑な現実世界の状況で問題を解決しようとする場合、意思決定者はどの程度体系的に最適値から逸脱するのでしょうか。実験的および実証的な研究では、意思決定者は、予想される需要に近すぎる注文（中心への引き寄せ効果^[7]）や、前の期間の実現に近すぎる注文（需要追随^[8]）に偏る傾向があることが示されています。

このモデルは生理レビューシステムにも適用できる。^[9]

1. 製品は分離可能
2. 計画は単一期間に対して行われる
3. 需要はランダム
4. 需要に先立って配送が行われる
5. 超過または不足のコストは線形である

標準的なニュースベンダーの利益関数は

${\displaystyle \operatorname {E} [{\text{利益}}]=\operatorname {E} \left[p\min(q,D)\right]-cq}$

ここで、は需要を表す確率分布を持つランダム変数、各ユニットは価格で販売され、価格で購入され、 は在庫ユニット数、 は期待演算子です。新聞販売業者の期待利益を最大化する最適在庫数量の解は次のとおりです。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle c}$${\displaystyle q}$${\displaystyle E}$

ここで、の一般化逆累積分布関数を表します。 ${\displaystyle F^{-1}}$ ${\displaystyle D}$

直感的には、この比率は臨界分数と呼ばれ、在庫不足のコスト（価値の損失販売）と、在庫過剰または在庫不足の合計コスト（在庫過剰のコストは在庫コストであるため、合計コストは単に ）をバランスさせます。 ${\displaystyle (pc)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle p}$

臨界フラクタイルの公式は、利回り管理の文献ではリトルウッドの法則として知られています。

以下のケースでは、小売価格が1単位あたり7ドル、購入価格が1単位あたり5ドルであると仮定します。これにより、臨界分数は ${\displaystyle p}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\frac {pc}{p}}={\frac {7-5}{7}}={\frac {2}{7}}}$

需要 がと の間の一様分布（連続）に従うものとします。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle D_{\min}=50}$${\displaystyle D_{\max}=80}$

${\displaystyle q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {7-5}{7}}\right)=F^{-1}\left(0.285\right)=D_{\min }+(D_{\max }-D_{\min })\cdot 0.285=58.55\approx 59.}$

したがって、最適な在庫レベルは約 59 個です。

需要、が、平均、、需要が 50、標準偏差、、 20 の 正規分布に従うとします。${\displaystyle D}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {7-5}{7}}\right)=\mu +\sigma Z^{-1}\left(0.285\right)=50+20(-0.56595)=38.68\approx 39.}$

したがって、最適な在庫レベルは約 39 個です。

需要、が、平均需要が 50、、標準偏差、、 0.2 の 対数正規分布に従うとします。${\displaystyle D}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {7-5}{7}}\right)=\mu e^{Z^{-1}\left(0.285\right)\sigma }=50e^{\left(0.2\cdot (-0.56595)\right)}=44.64\approx 45.}$

したがって、最適な在庫レベルは約 45 個です。

(つまり小売価格が購入価格より低い) 場合、分子は負になります。この状況では、限界損失を回避するために最適な購入量は 0 です。${\displaystyle p<c}$

臨界フラクタイルの式を導くには、まずイベント と条件を設定します。 ${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\min\{q,D\}}\right]}$${\displaystyle D\leq q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [\min\{q,D\}]=\operatorname {E} [\min\{q,D\}\mid D\leq q]\operatorname {P} (D\leq q)+\operatorname {E} [\min\{q,D\}\mid D>q]\operatorname {P} (D>q)\\[6pt]={}&\operatorname {E} [D\mid D\leq q]F(q)+\operatorname {E} [q\mid D>q][1-F(q)]=\operatorname {E} [D\mid D\leq q]F(q)+q[1-F(q)]\end{aligned}}}$

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${\displaystyle \operatorname {E} [D\mid D\leq q]={\frac {\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx}{\int \limits _{x\leq q}f(x)\,dx}},}$

ここで です。この式の分母は なので、次のように書くことができます。 ${\displaystyle f(x)=F'(x)}$${\displaystyle F(q)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\min\{q,D\}]=\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx+q[1-F(q)]}$

それで${\displaystyle \operatorname {E} [{\text{profit}}]=p\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx+pq[1-F(q)]-cq}$

について微分します: ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\operatorname {E} [{\text{profit}}]=pqf(q)+pq(-F'(q))+p[1-F(q)]-c=p[1-F(q)]-c}$

次に最適化します:${\displaystyle p\left[1-F(q^{*})\right]-c=0\Rightarrow 1-F(q^{*})={\frac {c}{p}}\Rightarrow F(q^{*})={\frac {p-c}{p}}\Rightarrow q^{*}=F^{-1}\left({\frac {p-c}{p}}\right)}$

技術的には、凸性も確認する必要があります。${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial q^{2}}}\operatorname {E} [{\text{profit}}]=p[-F'(q)]}$

は単調非減少なので、この 2 番目の導関数は常に非正となり、上記で決定された臨界点はグローバル最大値になります。 ${\displaystyle F}$

上記の問題は利益を最大化する問題として表されていますが、少し異なる形で表しても結果は同じです。需要 D が供給量 q を超える場合、機会費用は在庫不足のために実現されなかった収益の損失を表します。一方、の場合、（販売される品目は生鮮品であるため）超過費用 が発生します。この問題は、機会費用と超過費用の合計の期待値を最小化する問題として表すこともできます。ただし、 の特定の実現に対しては、これらのうちの 1 つしか発生しないことに留意してください。この導出は次のとおりです。 ${\displaystyle (D-q)(p-c)}$${\displaystyle D\leq q}$${\displaystyle (q-D)c}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [{\text{opportunity cost}}+{\text{overage cost}}]\\[6pt]={}&\operatorname {E} [{\text{overage cost}}\mid D\leq q]\operatorname {P} (D\leq q)+\operatorname {E} [{\text{opportunity cost}}\mid D>q]\operatorname {P} (D>q)\\[6pt]={}&\operatorname {E} [(q-D)c\mid D\leq q]F(q)+\operatorname {E} [(D-q)(p-c)\mid D>q][1-F(q)]\\[6pt]={}&c\operatorname {E} [q-D\mid D\leq q]F(q)+(p-c)\operatorname {E} [D-q\mid D>q][1-F(q)]\\[6pt]={}&cqF(q)-c\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx+(p-c)[\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx-q(1-F(q))]\\[6pt]={}&p\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx-pq(1-F(q))-c\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx+cq(1-F(q))+cqF(q)-c\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx\\[6pt]={}&p\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx-pq+pqF(q)+cq-c\operatorname {E} [D]\end{aligned}}}$

この式の に関する微分は、 ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\operatorname {E} [{\text{opportunity cost}}+{\text{overage cost}}]=p(-qf(q))-p+pqF'(q)+pF(q)+c=pF(q)+c-p}$

これは明らかに上で得た導関数の負であり、最大化ではなく最小化の定式化であるため、臨界点は同じになります。

「ニュースベンダー」は実際には不確実な市場向けに商品を生産したい小規模企業であると仮定します。このより一般的な状況では、ニュースベンダー (企業) のコスト関数は次のように定式化できます。

${\displaystyle K(q)=c_{f}+c_{v}(q-x)+p\operatorname {E} \left[\max(D-q,0)\right]+h\operatorname {E} \left[\max(q-D,0)\right]}$

個々のパラメータは次のとおりです。

• ${\displaystyle c_{f}}$– 固定費。このコストは、シリーズの生産が開始されると常に発生します。[$/生産]
• ${\displaystyle c_{v}}$– 変動費。このコスト タイプは、1 つの製品の生産コストを表します。[$/製品]
• ${\displaystyle q}$– 在庫内の製品数量。在庫管理ポリシーの決定は、製品決定後の在庫内の製品数量に関係します。このパラメータには初期在庫も含まれます。何も生産されない場合、この数量は初期数量、つまり既存の在庫に関する数量と等しくなります。
• ${\displaystyle x}$– 初期在庫レベル。納入期間の需要開始時にサプライヤーが在庫として製品を保有していると想定します。${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle p}$– ペナルティ コスト (またはバック オーダー コスト)。在庫にある原材料が需要を満たすために必要な量より少ない場合、これは満たされなかった注文のペナルティ コストです。[$/製品]
• ${\displaystyle D}$–不確実な顧客需要を表す累積分布関数を持つランダム変数。[単位]${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle E[D]}$– ランダム変数の期待値。${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle h}$– 在庫および在庫保有コスト。[$ / 製品]

において、一次損失関数は予想される不足量を表しており、その補数であるは、期末の製品在庫の予想量を表す。^[10]${\displaystyle K(q)}$ ${\displaystyle E\left[\max(D-q,0)\right]}$${\displaystyle E\left[\max(q-D,0)\right]}$

このコスト関数に基づいて、最適な在庫レベルを決定することは最小化問題である。したがって、長期的には、コストが最適な最終製品の量は、次の関係に基づいて計算できる。^[1]

${\displaystyle q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {p-c_{v}}{p+h}}\right)}$

• 生産される部品の無限充填率:経済的発注量 - 生産計画モデル
• 生産される部品の一定充填率：経済的な生産量 - 在庫管理のモデル
• 需要は時間とともに変化する:動的ロットサイズモデル – 経済学における数学モデルPages displaying short descriptions of redirect targets
• 同じ機械で複数の製品を生産する:経済的ロットスケジューリング問題 - オペレーション管理と在庫理論の問題
• 再発注ポイント – 補充をトリガーする在庫レベル
• 在庫管理システム – 適切な在庫レベルを確保するPages displaying short descriptions of redirect targets
• 拡張ニュースベンダーモデル – 在庫レベルを支援する数学モデルPages displaying short descriptions of redirect targets

• Ayhan、Hayriye、Dai、Jim、Foley、RD、Wu、Joe、2004：Newsvendor Notes、ISyE 3232 確率的製造およびサービスシステム。[1]
• EJ Lodree: 2 つの製品を持つニュースベンダー問題に対するシミュレーション最適化アプローチ
• P. Mileff、K. Nehez: カスタマイズされた大量生産のための拡張ニュースベンダー モデル、AOM – 高度なモデリングと最適化。Electronic International Journal、第 8 巻、第 2 号。pp 169–186。(2006)
• P. Mileff、K. Nehez: 協力サプライ チェーン環境における適切なサービス レベルの評価、MIM'07。製造モデリング、管理、制御に関する IFAC ワークショップ。ブダペスト、ハンガリー。pp 123–126。(2007)
• Tsan-Ming Choi (編) 『ニュースベンダー問題ハンドブック: モデル、拡張、およびアプリケーション』、Springer の International Series in Operations Research and Management Science、2012 年。