ギブス現象

数学において、ギブス現象とは、区分的に連続微分可能な周期関数のフーリエ級数が、不連続点付近で振動する現象のことである。 ${\textstyle N}$ 関数の番目の^部分フーリエ級数 ( ${\textstyle N}$ 関数のフーリエ級数の最低次正弦波を用いると、ジャンプ付近に大きなピークが生じ、関数値をオーバーシュートしたりアンダーシュートしたりする。使用する正弦波の数が増えるにつれて、この近似誤差はジャンプの約9%の限界に近づくが、無限フーリエ級数和は最終的にはほぼすべての場所で収束する。^{[ 1 ]}

ギブス現象は実験物理学者によって観測され、測定装置の不完全性によるものと考えられていましたが、^{[ 2 ]}実際には数学的な結果です。信号処理におけるリンギングアーティファクトの原因の1つです。ジョサイア・ウィラード・ギブスにちなんで名付けられました。

説明

ギブス現象とは、ジャンプ不連続性を持つ関数のフーリエ級数の挙動であり、以下のように説明される。

フーリエ級数の構成要素や成分が増えるにつれて、フーリエ級数は、ジャンプ点付近の振動挙動において、（完全な）ジャンプの約9%に近づく最初のオーバーシュートを示し、この振動は消滅せず、その点に近づくため、振動の積分はゼロに近づきます。

ジャンプポイントでは、フーリエ級数は、そのポイントに向かう関数の両側極限の平均値を与える。

方形波の例

右側の３枚の写真は、方形波（ピーク間振幅が ${\textstyle c}$ から ${\textstyle -c/2}$ に ${\textstyle c/2}$ そして周期性 ${\textstyle L}$ ）だれの ${\textstyle N}$ ^番目の部分フーリエ級数は ${\frac {2c}{\pi }}\left(\sin(\omega x)+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega x)+\cdots +{\frac {1}{2N-1}}\sin((2N-1)\omega x)\right)$

どこ ${\textstyle \omega =2\pi /L}$ より正確には、この方形波は次の関数です。 ${\textstyle f(x)}$ これは等しい ${\tfrac {c}{2}}$ 間 ${\textstyle 2n(L/2)}$ そして ${\textstyle (2n+1)(L/2)}$ そして ${\textstyle -{\tfrac {c}{2}}}$ 間 ${\textstyle (2n+1)(L/2)}$ そして ${\textstyle (2n+2)(L/2)}$ すべての整数に対して ${\textstyle n}$ したがって、この方形波はピーク間高さのジャンプ不連続性を持つ。 ${\textstyle c}$ の整数倍ごとに ${\textstyle L/2}$ 。

正弦波項がさらに追加されるにつれて（つまり、増加するにつれて） ${\textstyle N}$ ), the error of the partial Fourier series converges to a fixed height. But because the width of the error continues to narrow, the area of the error – and hence the energy of the error – converges to 0.^[3]The square wave analysis reveals that the error exceeds the height (from zero) ${\tfrac {c}{2}}$ of the square wave by $\displaystyle {\frac {c}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(t)}{t}}\ dt-{\frac {c}{2}}=c\cdot (0.089489872236\dots ).}$ (OEIS: A243268)

or about 9% of the full jump ${\textstyle c}$ . More generally, at any discontinuity of a piecewise continuously differentiable function with a jump of ${\textstyle c}$ , the ${\textstyle N}$ ^th partial Fourier series of the function will (for a very large ${\textstyle N}$ value) overshoot this jump by an error approaching ${\textstyle c\cdot (0.089489872236\dots )}$ at one end and undershoot it by the same amount at the other end; thus the "full jump" in the partial Fourier series will be about 18% larger than the full jump in the original function. At the discontinuity, the Fourier series will converge to the midpoint of the jump (regardless of the actual value of the original function at the discontinuity) as a consequence of Dirichlet's theorem.^[4] The quantity $\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\ dt=(1.851937051982\dots )={\frac {\pi }{2}}+\pi \cdot (0.089489872236\dots )}$ (OEIS: A036792) is sometimes known as the Wilbraham–Gibbs constant.^[5]

History

The Gibbs phenomenon was first noticed and analyzed by Henry Wilbraham in an 1848 paper.^[6] The paper attracted little attention until 1914 when it was mentioned in Heinrich Burkhardt's review of mathematical analysis in Klein's encyclopedia.^[7] In 1898, Albert A. Michelson developed a device that could compute and re-synthesize the Fourier series.^[8] A widespread anecdote says that when the Fourier coefficients for a square wave were input to the machine, the graph would oscillate at the discontinuities, and that because it was a physical device subject to manufacturing flaws, Michelson was convinced that the overshoot was caused by errors in the machine. In fact the graphs produced by the machine were not good enough to exhibit the Gibbs phenomenon clearly, and Michelson may not have noticed it as he made no mention of this effect in his paper (Michelson & Stratton 1898) about his machine or his later letters to Nature.^[9]

マイケルソンとAEHラブが方形波関数のフーリエ級数の収束についてネイチャー誌上で交わした書簡に触発され、J.ウィラード・ギブスは1898年に、鋸歯波のフーリエ級数の部分和のグラフの極限とそれらの部分和の極限のグラフとの重要な違いを指摘する論文を発表した。ギブスは最初の書簡でギブス現象に気づかず、部分和のグラフについて記述した極限は不正確だった。1899年に彼は不連続点におけるオーバーシュートについて記述した訂正を発表した（ネイチャー誌、1899年4月27日、606ページ）。1906年、マキシム・ボシェはオーバーシュートの詳細な数学的解析を行い、「ギブス現象」 ^[¹⁰^]という用語を作り出し、広く普及させた^[⁹^{] 。}

ヘンリー・ウィルブラハムの論文の存在が広く知られるようになった後、1925年にホレイショ・スコット・カースローは、「フーリエ級数（およびその他のいくつかの級数）のこの性質をギブスの現象と呼ぶことはできるが、この性質が最初にギブスによって発見されたと主張することはもはやできない」と述べた。^{[ 11 ]}

説明

ギブス現象とは、非公式には、不連続関数を有限個の連続正弦波で近似することの難しさを反映している。ここで「有限」という言葉を強調することが重要である。なぜなら、フーリエ級数の各部分和は近似する不連続点の周りで必ずオーバーシュートするが、無限個の正弦波を合計する極限ではオーバーシュートしないからである。項を合計するにつれてオーバーシュートのピークは不連続点にどんどん近づいていくため、収束は可能となる。

無限和にはオーバーシュートがないにもかかわらず、オーバーシュート誤差がゼロでない高さに収束するという矛盾はありません。これは、オーバーシュートのピークが不連続点に向かって移動するためです。したがって、ギブス現象は点ごとの収束を示しますが、一様収束は示しません。区分的に連続微分可能な（クラスC ¹）関数の場合、フーリエ級数はジャンプ不連続点を除くすべての点で関数に収束します。ジャンプ不連続点では、ディリクレの定理の結果として、級数はジャンプ不連続点の中点（つまり、ジャンプの両側の関数の極限値の平均）に収束します。^{[ 4 ]}

ギブス現象は、関数の滑らかさがフーリエ係数の減衰率を制御するという原理と密接に関係しています。滑らかな関数のフーリエ係数はより速く減衰し（結果として収束が速くなります）、一方、不連続な関数のフーリエ係数はゆっくりと減衰します（結果として収束が遅くなります）。たとえば、不連続な方形波のフーリエ係数は $({\tfrac {1}{1}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{3}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{5}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{7}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{9}},{\scriptstyle {\text{0}}},\dots )$ 崩壊速度は $\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ 連続三角波のフーリエ係数は $({\tfrac {1}{1^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {-1}{3^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{5^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {-1}{7^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{9^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},\dots )$ はるかに速い速度で崩壊する ${\tfrac {1}{n^{2}}}$ 。

これはギブス現象を部分的にしか説明していません。なぜなら、絶対収束するフーリエ係数を持つフーリエ級数は、ワイエルシュトラスのMテストにより一様収束するため、上記の振動挙動を示すことができないからです。同様に、不連続関数が絶対収束するフーリエ係数を持つことは不可能です。なぜなら、そのような関数は連続関数の一様極限となり、したがって連続となるため、矛盾が生じるからです。フーリエ級数の収束§絶対収束を参照してください。

ソリューション

ギブス現象はアンダーシュートから生じるため、フェイェールカーネルのように決して負にならないカーネルを使用することで解消できる可能性がある。^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

実際には、ギブス現象に関連する困難は、フェイェール和やリース和などのより滑らかなフーリエ級数和法を使用するか、シグマ近似を使用することで軽減できます。連続ウェーブレット変換を使用すると、ウェーブレットギブス現象はフーリエギブス現象を超えることはありません。^{[ 14 ]}また、ハール基底関数を使用した離散ウェーブレット変換を使用すると、連続データのジャンプ不連続点ではギブス現象は全く発生せず、^[¹⁵^]離散の場合には大きな変化点で最小限になります。ウェーブレット解析では、これは一般的にロンゴ現象と呼ばれます。多項式補間設定では、S-ギブスアルゴリズムを使用してギブス現象を軽減できます。^[¹⁶^]

ギブス現象の正式な数学的記述

させて ${\textstyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$ ある周期で周期的な、区分的に連続的に微分可能な関数である。 ${\textstyle L>0}$ ある時点で ${\textstyle x_{0}}$ 左端 ${\textstyle f(x_{0}^{-})}$ 右端 ${\textstyle f(x_{0}^{+})}$ 関数の ${\textstyle f}$ 非ゼロのジャンプで異なる ${\textstyle c}$ : $f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})=c\neq 0.$

各正の整数に対して ${\textstyle N}$ ≥ 1 の場合、 ${\textstyle S_{N}f(x)}$ になる ${\textstyle N}$ ^番目の部分フーリエ級数（ ${\textstyle S_{N}}$ （関数に対する数学演算子として扱うことができる。） $S_{N}f(x):=\sum _{-N\leq n\leq N}{\widehat {f}}(n)e^{\frac {i2\pi nx}{L}}={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\right),$

ここでフーリエ係数は $\textstyle {\widehat {f}}(n),a_{n},b_{n}}$ 整数の場合 ${\textstyle n}$ 通常の公式で与えられる ${\widehat {f}}(n):={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(x)e^{-{\frac {i2\pi nx}{L}}}\,dx$ $a_{0}:={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\ dx$ $a_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\,dx$ $b_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\,dx.$

次に $\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{+})+c\cdot (0.089489872236\dots )$ そして $\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}-{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{-})-c\cdot (0.089489872236\dots )$ しかし $\lim _{N\to \infty }S_{N}f(x_{0})={\frac {f(x_{0}^{-})+f(x_{0}^{+})}{2}}.$

より一般的に言えば、 ${\textstyle x_{N}}$ は、に収束する任意の実数列である。 ${\textstyle x_{0}}$ として ${\textstyle N\to \infty }$ ジャンプ ${\textstyle c}$ 正の場合 $\limsup _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\leq f(x_{0}^{+})+c\cdot (0.089489872236\dots )$ そして $\liminf _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\geq f(x_{0}^{-})-c\cdot (0.089489872236\dots ).$

代わりにジャンプ ${\textstyle c}$ 負の場合、上限の交換が必要です( ${\textstyle \limsup }$ )下限値以下( ${\textstyle \liminf }$ ）また、 ${\textstyle \leq }$ そして ${\textstyle \geq }$ 上記の2つの不等式における符号。

ギブス現象の一般論的証明

改めて言うと、 ${\textstyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$ ある周期で周期的な、区分的に連続的に微分可能な関数である。 ${\textstyle L>0}$ 、この関数には、複数のジャンプ不連続点があります。 ${\textstyle x_{i}}$ どこ ${\textstyle i=0,1,2,}$ など。各不連続点において、垂直方向の全跳躍量は ${\textstyle c_{i}}$ 。

それから、 ${\textstyle f}$ 連続関数の和として表現できる ${\textstyle f_{c}}$ 多段階機能 ${\textstyle f_{s}}$ ^{これは、 [}¹⁷^]のような階段関数の合計です。

$f=f_{c}+f_{s},$ $f_{s}=f_{s_{1}}+f_{s_{2}}+f_{s_{3}}+\cdots ,$ $f_{s_{i}}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq x_{i},\\c_{i},&{\text{if }}x>x_{i}.\end{cases}}$

${\textstyle S_{N}f(x)}$ として ${\textstyle N}$ ^{の番目の部分}フーリエ級数の ${\textstyle f=f_{c}+f_{s}=f_{c}+\left(f_{s_{1}}+f_{s_{2}}+f_{s_{3}}+\ldots \right)}$ すべてうまく収束する ${\textstyle x}$ 不連続点付近の点を除く点 ${\textstyle x_{i}}$ 各不連続点の周囲 ${\textstyle x_{i}}$ 、 ${\textstyle f_{s_{i}}}$ 独自のギブス現象のみを持つ（最大振動収束誤差はジャンプの約9%） $c_{i}$ （方形波解析で示されているように）他の関数は連続であるため（ $f_{c}$ ）またはフラットゼロ（ $f_{s_{j}}$ どこ $j\neq i$ その点付近で。これは、ギブス現象があらゆる不連続点で発生することを証明している。

信号処理の説明

信号処理の観点から見ると、ギブス現象はローパスフィルタのステップ応答であり、その振動はリンギングまたはリンギングアーティファクトと呼ばれます。実数直線上の信号のフーリエ変換、または周期信号のフーリエ級数（等価的に、円上の信号）を切り捨てることは、理想的な（ブリックウォール）ローパスフィルタで高周波をフィルタリングすることに相当します。これは、元の信号とフィルタのインパルス応答（カーネルとも呼ばれる）との畳み込みとして表すことができ、このインパルス応答はsinc関数です。したがって、ギブス現象は、ヘヴィサイドステップ関数（周期性が不要な場合）または方形波（周期性がある場合）とsinc関数との畳み込みの結果と見なすことができます。sinc関数の振動が、出力のリップルを引き起こします。

ヘヴィサイド階段関数との畳み込みの場合、結果として得られる関数は正確にはsinc関数の積分、つまり正弦積分になります。方形波の場合は、説明はそれほど単純ではありません。階段関数の場合、アンダーシュートの大きさは、最初の負のゼロまでの左裾の積分に正確に等しくなります。単位サンプリング周期の正規化されたsinc関数の場合、これは次のようになります。 ${\textstyle \int _{-\infty }^{-1}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx.}$ したがって、オーバーシュートの大きさは同じであり、右端の積分、または（同等に）負の無限大から最初の正の零点までの積分から1（オーバーシュートしていない値）を引いた値となる。

オーバーシュートとアンダーシュートは次のように理解できます。カーネルは一般的に積分が 1 になるように正規化されているため、定数関数から定数関数へのマッピングになります。そうでない場合はゲインがになります。ある点における畳み込みの値は、入力信号と、カーネルの値である係数 (重み) との線形結合です。

カーネルが非負である場合（例えばガウスカーネルの場合）、フィルタリングされた信号の値は入力値の凸結合となり（係数（カーネル）の積分値は1となり、非負である）、入力信号の最小値と最大値の間に収まります。つまり、アンダーシュートやオーバーシュートは発生しません。一方、カーネルが負の値をとる場合（例えばsinc関数の場合）、フィルタリングされた信号の値は入力値のアフィン結合となり、入力信号の最小値と最大値の範囲外になる可能性があり、ギブス現象のようにアンダーシュートやオーバーシュートが発生します。

より長い展開（より高い周波数でカットオフする）は、周波数領域ではブリックウォールを広げることに相当し、時間領域ではsinc関数を狭め、同じ係数で高さを増やすことに相当し、対応する点間の積分は変化しません。これはフーリエ変換の一般的な特徴です。一方の領域で広げると、もう一方の領域では狭められ、高さが増加します。この結果、sinc関数の振動は狭く高くなり、（畳み込み後のフィルタリングされた関数では）振動は狭くなります（したがって面積は小さくなります）が、振幅は減少しません。任意の有限周波数でカットオフすると、sinc関数は狭くても、末尾の積分は同じになります。これがオーバーシュートとアンダーシュートが持続する理由です。

振動はsinc関数との畳み込みとして解釈できる。
カットオフ値が高くなると、sinc関数は幅が狭くなりますが高さが増し、同じ大きさの末尾積分値を持つため、より高い周波数の振動が発生しますが、その大きさはゼロになりません。

したがって、ギブス現象の特徴は次のように解釈される。

アンダーシュートは、インパルス応答の末尾積分が負になることに起因しており、これは関数が負の値を取るため可能である。
オーバーシュートは対称性によってこれを相殺する（フィルタリングによって全体の積分値は変化しない）。
振動が持続するのは、カットオフを上げるとインパルス応答が狭くなるものの、その積分値は減少しないためである。つまり、振動は不連続点に向かって移動するが、振幅は減少しない。

方形波解析

周期が1、ピーク間振幅が-1から1までの2である方形波の加算合成を、高調波の数を増やしながらアニメーションで示します。特に高調波の数が多い場合、ジャンプ不連続点付近での振動としてギブス現象が見られます。

私たちは、 ${\textstyle N}$ ^部分フーリエ級数 ${\textstyle S_{N}f(x)}$ 方形波 ${\textstyle f(x)}$ 周期性 ${\textstyle L}$ そして垂直方向の「完全な」ジャンプの不連続性 ${\textstyle c}$ から ${\textstyle y=y_{0}}$ で ${\textstyle x=x_{0}}$ 奇数の場合は ${\textstyle N}$ 非常に似ているので、次のケースを扱いましょう。 ${\textstyle N}$ 等しく：

$S_{N}f(x)=\left(y_{0}+{\frac {c}{2}}\right)+{\frac {2c}{\pi }}\left(\sin(\omega (x-x_{0}))+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega (x-x_{0}))+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin((N-1)\omega (x-x_{0}))\right)$

と ${\textstyle \omega ={\frac {2\pi }{L}}}$ . ( ${\textstyle N=2N'}$ どこ ${\textstyle N'}$ は非ゼロの正弦波フーリエ級数成分の数なので、それを使用する文献があります ${\textstyle N'}$ の代わりに ${\textstyle N}$ .) 代入 ${\textstyle x=x_{0}}$ （不連続点）より、 $S_{N}f(x_{0})=\left(y_{0}+{\frac {c}{2}}\right)={\frac {f(0^{-})+f(0^{+})}{2}}={\frac {y_{0}+(y_{0}+c)}{2}}$ 上記の通りである。（残る最初の項はフーリエ級数の平均値のみである。）

次に、不連続点付近の振動の最初の最大値を見つける。 ${\textstyle x=x_{0}}$ の1階微分と2階微分をチェックすることで ${\textstyle S_{N}f(x)}$ 最大値の最初の条件は、1階微分がゼロになることである。

${\frac {d}{dx}}S_{N}f(x)={\frac {2c}{\pi }}\left(\cos(\omega (x-x_{0}))+\cos(3\omega (x-x_{0}))+\cdots +\cos((N-1)\omega (x-x_{0}))\right)={\frac {c}{\pi }}{\frac {\sin(N\omega (x-x_{0}))}{\sin(\omega (x-x_{0}))}}=0$

ここで、2番目の等式はラグランジュの三角関数の恒等式の1つから得られる。この条件を解くと、 ${\textstyle x-x_{0}=k\pi /(N\omega )=kL/(2N)}$ 整数の場合 ${\textstyle k}$ 倍数を除く ${\textstyle N\omega }$ ゼロ分母を避けるために、 ${\textstyle k=1,2,\ldots ,N\omega -1,N\omega +1,\ldots }$ そして、それらのネガティブな側面も許容される。

の2階微分 ${\textstyle S_{N}f(x)}$ で ${\textstyle x-x_{0}=kL/(2N)}$ は

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}S_{N}f(x)={\frac {c\omega }{\pi }}\left({\frac {N\cos(N\omega (x-x_{0}))\sin(\omega (x-x_{0}))-\sin(N\omega (x-x_{0}))\cos(\omega (x-x_{0}))}{\sin ^{2}(\omega (x-x_{0}))}}\right),$ $\left.{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}S_{N}f(x)\right\vert _{x_{0}+kL/(2N)}={\begin{cases}{\frac {2c}{L}}{\frac {N}{\sin(k\pi /N)}},&{\text{if }}k{\text{ is even,}}\\[4pt]{\frac {2c}{L}}{\frac {-N}{\sin(k\pi /N)}},&{\text{if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}$

したがって、最初の最大値は ${\textstyle x=x_{0}+L/(2N)}$ （ ${\textstyle k=1}$ ）そして ${\textstyle S_{N}f(x)}$ この ${\textstyle x}$ 値は $S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=\left(y_{0}+{\frac {c}{2}}\right)+{\frac {2c}{\pi }}\left(\sin \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right)\right)$

正規化されたsinc関数を導入すると ${\textstyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$ のために ${\textstyle x\neq 0}$ これを次のように書き換えることができます。 $S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+c\left[{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{N}}\right)+{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {3}{N}}\right)+\cdots +{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {(N-1)}{N}}\right)\right].$

十分に大きい ${\textstyle N}$ 角括弧内の式は、積分のリーマン和近似である。 ${\textstyle \int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\ dx}$ （より正確には、間隔を空けた中点ルール近似です） ${\tfrac {2}{N}}$ )sinc関数は連続であるため、この近似は次のように積分に収束します。 $N\to \infty$ したがって、

${\begin{aligned}\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)&=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+c\int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\,dx\\[8pt]&=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+{\frac {c}{\pi }}\int _{x=0}^{1}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,d(\pi x)\\[8pt]&=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+{\frac {c}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(t)}{t}}\ dt\quad =\quad (y_{0}+c)+c\cdot (0.089489872236\dots ),\end{aligned}}$

これは前のセクションで主張された通りである。同様の計算により、

$\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}-{\frac {L}{2N}}\right)=-c\int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\,dx=y_{0}-c\cdot (0.089489872236\dots ).$

結果

ギブス現象は、オーバーシュートやアンダーシュートによるクリッピング、振動によるリンギングといったアーティファクトを引き起こすため、好ましくない現象である。ローパスフィルタリングの場合、異なるローパスフィルタを用いることで、これらのアーティファクトを低減または除去することができる。

MRIにおいて、ギブス現象は、信号強度が著しく異なる隣接領域が存在する場合にアーチファクトを引き起こします。これは脊髄MRIで最もよく見られ、ギブス現象によって脊髄空洞症のように見えることがあります。

ギブス現象は、画像の離散フーリエ変換において十字パターンアーティファクトとして現れます^{[ 18 ]。}ほとんどの画像（顕微鏡写真や写真など）では、画像の上部/下部と左側/右側の境界間に急激な不連続性があります。フーリエ変換で周期境界条件を課すと、このジャンプ不連続性は逆空間の軸に沿った周波数の連続体（つまり、フーリエ変換における強度の十字パターン）として表されます。

また、この記事では主に、部分フーリエ級数のみを使用して時間領域でアーティファクトのない不連続性を構築しようとすることの難しさに焦点を当てていますが、逆フーリエ変換はフーリエ変換と非常に似ているため、部分フーリエ級数のみを使用して周波数領域で不連続性を構築しようとすることにも同様に困難があることを考慮することも重要です。したがって、たとえば、理想化されたブリックウォールフィルタと矩形フィルタは周波数領域で不連続性を持つため、時間領域での正確な表現には、必然的に無限に長い sincフィルタのインパルス応答が必要になります。有限のインパルス応答では、カットオフ周波数付近の周波数応答にギブスリップリングが発生しますが、このリップリングは、有限のインパルス応答フィルタにウィンドウ処理を施すことで低減できます（ただし、遷移帯域が広くなります）。^[¹⁹^]

注記

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参考文献

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外部リンク

ウィキメディア・コモンズにあるギブス現象関連のメディア
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プランドーニ、パオロ、「ギブス現象」。
Radaelli-Sanchez, Ricardo、およびRichard Baraniuk、「ギブス現象」。The Connexions Project。（クリエイティブ・コモンズ表示ライセンス）
Horatio S Carslaw : Introduction to the theory of Fourier's series and integrals.pdf (introductiontot00unkngoog.pdf ) at archive.org
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