概要 上で述べた差分商の典型的な概念は、より一般的な概念の特殊なケースです。微積分 やその他の高等数学の主要な手段は関数 です。その「入力値」は引数で あり、通常はグラフ上に表現できる点（「P」）です。2つの点の差は、それらのデルタ （ΔP ） として知られており、関数の結果の差も同様です。具体的な表記は、生成の方向によって決まります。
前方差分: Δ F ( P ) = F ( P + Δ P ) − F ( P ); 中心差分: δF ( P ΔP ) − F 1/2 ΔP ) 後方差分：∇F(P) = F(P) − F(P − ΔP)。 一般的には順方向が好まれ、F(P)がベースであり、これに差分（つまり「ΔP」）が加算されます。さらに、
|ΔP|が有限（つまり測定可能）である場合、ΔF(P)は 有限差分 |ΔP|が無限小 私 {\displaystyle \iota } リム Δ P → 0 {\displaystyle \lim _{\Delta P\rightarrow 0}\,\!} ) の場合、ΔF(P) は微小差 として知られ、dP および dF(P) という特定の表記があります (微積分グラフでは、点はほぼ例外なく「x」、F(x) は「y」として識別されます)。 関数の差を点の差で割った値を「差の商」と呼ぶ。
Δ F （ P ） Δ P = F （ P + Δ P ） − F （ P ） Δ P = ∇ F （ P + Δ P ） Δ P 。 {\displaystyle {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {F(P+\Delta P)-F(P)}{\Delta P}}={\frac {\nabla F(P+\Delta P)}{\Delta P}}.\,\!} ΔPが無限小の場合、差分商は導関数 分割差分
もし | Δ P | = 私 : Δ F （ P ） Δ P = d F （ P ） d P = F ′ （ P ） = G （ P ） ; {\displaystyle {\text{もし }}|\Delta P|={\mathit {\iota }}ならば:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {dF(P)}{dP}}=F'(P)=G(P);\,\!} もし | Δ P | > 私 : Δ F （ P ） Δ P = D F （ P ） D P = F [ P 、 P + Δ P ] 。 {\displaystyle {\text{もし }}|\Delta P|>{\mathit {\iota }}ならば：\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {DF(P)}{DP}}=F[P,P+\Delta P].\,\!}
ポイント範囲を定義する ΔPが無限小であろうと有限であろうと、（少なくとも導関数の場合には理論的には）境界がP ± (0.5) ΔP（向きに応じてΔF(P)、δF(P)または∇F(P)）となる点範囲が存在する。
LB = 下限境界; UB = 上限境界; 導関数はそれ自体が関数とみなすことができ、導関数自体も導関数を持つ。したがって、各関数は、導関数または微分化 の連続した次数（「高階」）を持つ。この性質は、すべての差分商に一般化できる。 この順序付けには対応する境界の分割が必要となるため、点の範囲をより小さな等サイズのセクションに分割するのが実用的である。各セクションは中間点（P i P 0 、UB = P ń n 番目の点）は次数/階数に等しい。
LB = P 0 = P 0 + 0Δ 1 P = P ń − (Ń-0)Δ 1 P; P 1 = P 0 + 1Δ 1 P = P ń − (Ń-1)Δ 1 P; P 2 = P 0 + 2Δ 1 P = P ń − (Ń-2)Δ 1 P; P 3 = P 0 + 3Δ 1 P = P ń − (Ń-3)Δ 1 P; ↓ ↓ ↓ ↓ P ń-3 = P 0 + (Ń-3)Δ 1 P = P ń − 3Δ 1 P; P ń-2 = P 0 + (Ń-2)Δ 1 P = P ń − 2Δ 1 P; P ń-1 = P 0 + (Ń-1)Δ 1 P = P ń − 1Δ 1 P; UB = P ń-0 = P 0 + (Ń-0)Δ 1 P = P ń − 0Δ 1 P = P ń ; ΔP = Δ 1 P = P 1 − P 0 = P 2 − P 1 = P 3 − P 2 = ... = P ń − P ń-1 ; ΔB = UB − LB = P ń − P 0 = Δ ń P = ŃΔ 1 P。
Ń = 1）Δ F （ P 0 ） Δ P = F （ P n ´ ） − F （ P 0 ） Δ n ´ P = F （ P 1 ） − F （ P 0 ） Δ 1 P = F （ P 1 ） − F （ P 0 ） P 1 − P 0 。 {\displaystyle {\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta P}}={\frac {F(P_{\acute {n}})-F(P_{0})}{\Delta _{\acute {n}}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}.\,\!}
派生商品として 差分商を導関数として表す場合、P 0 は 本質的に P 1 = P 2 = ... = P ń に等しい（差分は無限小であるため）ため、ライプニッツの記法と導関数表現では P と P 0 または P ń を区別しないことを指摘する以外に説明は不要です。 d F （ P ） d P = F （ P 1 ） − F （ P 0 ） d P = F ′ （ P ） = G （ P ） 。 {\displaystyle {\frac {dF(P)}{dP}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{dP}}=F'(P)=G(P).\,\!} 他にも派生表記法 はありますが、これらは最も広く認知されている標準的な表記法です。
分割された差として しかし、分割差は、LBとUBの間（両区間を含む）の平均導関数に等しいため、さらに詳しく説明する必要がある。 P （ t n ） = L B + T N − 1 U T − 1 Δ B = U B − U T − T N U T − 1 Δ B ; 。 （ P （ 1 ） = L B 、 P （ u t ） = U B ） 。 F ′ （ P 1 ～ ） = F ′ （ L B < P < U B ） = ∑ T N = 1 U T = ∞ F ′ （ P （ t n ） ） U T 。 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{(tn)}&=LB+{\frac {TN-1}{UT-1}}\Delta B\ =UB-{\frac {UT-TN}{UT-1}}\Delta B;\\[10pt]&{}\qquad {\color {white}.}(P_{(1)}=LB,\ P_{(ut)}=UB){\color {白}.}\\[10pt]F'(P_{\チルダ {a}})&=F'(LB<P<UB)=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}}.\end{aligned}}} この解釈では、Pãは 抽出された関数、つまり P の平均値 (中間値、ただし通常は厳密には中間値ではない) を表し、その具体的な値は、平均化元の関数によって決まります。より厳密には、Pãは微積分学の 平均値の定理 に見られ、それは次のように表されます。 [LB,UB]上で連続で(LB,UB)上で微分可能な任意の関数に対して、区間(LB,UB)内に、区間[LB,UB]の両端を結ぶ割線がPã における接線と平行になるようなPãが存在する 。 本質的に、Pãは LBとUBの間のPの値を表します。したがって、 P 1 ～ := L B < P < U B = P 0 < P < P n ´ {\displaystyle P_{\tilde {a}}:=LB<P<UB=P_{0}<P<P_{\acute {n}}\,\!} これは、平均値の結果と差分を関連付けるものです。 D F （ P 0 ） D P = F [ P 0 、 P 1 ] = F （ P 1 ） − F （ P 0 ） P 1 − P 0 = F ′ （ P 0 < P < P 1 ） = ∑ T N = 1 U T = ∞ F ′ （ P （ t n ） ） U T 、 = D F （ L B ） D B = Δ F （ L B ） Δ B = ∇ F （ U B ） Δ B 、 = F [ L B 、 U B ] = F （ U B ） − F （ L B ） U B − L B 、 = F ′ （ L B < P < U B ） = G （ L B < P < U B ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {DF(P_{0})}{DP}}&=F[P_{0},P_{1}]={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}<P<P_{1})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}},\\[8pt]&={\frac {DF(LB)}{DB}}={\frac {\Delta F(LB)}{\Delta B}}={\frac {\nabla F(UB)}{\Delta B}},\\[8pt]&=F[LB,UB]={\frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB}},\\[8pt]&=F'(LB<P<UB)=G(LB<P<UB).\end{aligned}}} 定義上、LB/P 0 と UB/P ń の間には明確な違いがあるため、ライプニッツ式と導関数式では関数引数の分岐 が必要になります。
高次の差分商
2次 Δ 2 F （ P 0 ） Δ 1 P 2 = Δ F ′ （ P 0 ） Δ 1 P = Δ F （ P 1 ） Δ 1 P − Δ F （ P 0 ） Δ 1 P Δ 1 P 、 = F （ P 2 ） − F （ P 1 ） Δ 1 P − F （ P 1 ） − F （ P 0 ） Δ 1 P Δ 1 P 、 = F （ P 2 ） − 2 F （ P 1 ） + F （ P 0 ） Δ 1 P 2 ; {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{2}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}&={\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{2})-F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}};\end{aligned}}} d 2 F （ P ） d P 2 = d F ′ （ P ） d P = F ′ （ P 1 ） − F ′ （ P 0 ） d P 、 = d G （ P ） d P = G （ P 1 ） − G （ P 0 ） d P 、 = F （ P 2 ） − 2 F （ P 1 ） + F （ P 0 ） d P 2 、 = F 」 （ P ） = G ′ （ P ） = H （ P ） {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}F(P)}{dP^{2}}}&={\frac {dF'(P)}{dP}}={\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&=\ {\frac {dG(P)}{dP}}={\frac {G(P_{1})-G(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&=F''(P)=G'(P)=H(P)\end{aligned}}} D 2 F （ P 0 ） D P 2 = D F ′ （ P 0 ） D P = F ′ （ P 1 < P < P 2 ） − F ′ （ P 0 < P < P 1 ） P 1 − P 0 、 。 ≠ F ′ （ P 1 ） − F ′ （ P 0 ） P 1 − P 0 、 = F [ P 0 、 P 1 、 P 2 ] = F （ P 2 ） − 2 F （ P 1 ） + F （ P 0 ） （ P 1 − P 0 ） 2 、 = F 」 （ P 0 < P < P 2 ） = ∑ T N = 1 ∞ F 」 （ P （ t n ） ） U T 、 = G ′ （ P 0 < P < P 2 ） = H （ P 0 < P < P 2 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{2}F(P_{0})}{DP^{2}}}&={\frac {DF'(P_{0})}{DP}}={\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \neq {\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2}]={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F''(P_{0}<P<P_{2})=\sum _{TN=1}^{\infty }{\frac {F''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G'(P_{0}<P<P_{2})=H(P_{0}<P<P_{2}).\end{aligned}}}
第三次 Δ 3 F （ P 0 ） Δ 1 P 3 = Δ 2 F ′ （ P 0 ） Δ 1 P 2 = Δ F 」 （ P 0 ） Δ 1 P = Δ F ′ （ P 1 ） Δ 1 P − Δ F ′ （ P 0 ） Δ 1 P Δ 1 P 、 = Δ F （ P 2 ） Δ 1 P − Δ F ′ （ P 1 ） Δ 1 P Δ 1 P − Δ F ′ （ P 1 ） Δ 1 P − Δ F ′ （ P 0 ） Δ 1 P Δ 1 P Δ 1 P 、 = F （ P 3 ） − 2 F （ P 2 ） + F （ P 1 ） Δ 1 P 2 − F （ P 2 ） − 2 F （ P 1 ） + F （ P 0 ） Δ 1 P 2 Δ 1 P 、 = F （ P 3 ） − 3 F （ P 2 ） + 3 F （ P 1 ） − F （ P 0 ） Δ 1 P 3 ; {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{3}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}}&={\frac {\Delta ^{2}F'(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}={\frac {\Delta F''(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {{\frac {\Delta F(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}-{\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{3})-2F(P_{2})+F(P_{1})}{\Delta _{1}P^{2}}}-{\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}};\end{aligned}}} d 3 F （ P ） d P 3 = d 2 F ′ （ P ） d P 2 = d F 」 （ P ） d P = F 」 （ P 1 ） − F 」 （ P 0 ） d P 、 = d 2 G （ P ） d P 2 = d G ′ （ P ） d P = G ′ （ P 1 ） − G ′ （ P 0 ） d P 、 。 = d H （ P ） d P = H （ P 1 ） − H （ P 0 ） d P 、 = G （ P 2 ） − 2 G （ P 1 ） + G （ P 0 ） d P 2 、 = F （ P 3 ） − 3 F （ P 2 ） + 3 F （ P 1 ） − F （ P 0 ） d P 3 、 = F ‴ （ P ） = G 」 （ P ） = H ′ （ P ） = 私 （ P ） ; {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{3}F(P)}{dP^{3}}}&={\frac {d^{2}F'(P)}{dP^{2}}}={\frac {dF''(P)}{dP}}={\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {d^{2}G(P)}{dP^{2}}}\ ={\frac {dG'(P)}{dP}}\ ={\frac {G'(P_{1})-G'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \ \ ={\frac {dH(P)}{dP}}\ ={\frac {H(P_{1})-H(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {G(P_{2})-2G(P_{1})+G(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{dP^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P)=G''(P)=H'(P)=I(P);\end{aligned}}} D 3 F （ P 0 ） D P 3 = D 2 F ′ （ P 0 ） D P 2 = D F 」 （ P 0 ） D P = F 」 （ P 1 < P < P 3 ） − F 」 （ P 0 < P < P 2 ） P 1 − P 0 、 。 ≠ F 」 （ P 1 ） − F 」 （ P 0 ） P 1 − P 0 、 = F ′ （ P 2 < P < P 3 ） − F ′ （ P 1 < P < P 2 ） P 1 − P 0 − F ′ （ P 1 < P < P 2 ） − F ′ （ P 0 < P < P 1 ） P 1 − P 0 P 1 − P 0 、 = F ′ （ P 2 < P < P 3 ） − 2 F ′ （ P 1 < P < P 2 ） + F ′ （ P 0 < P < P 1 ） （ P 1 − P 0 ） 2 、 = F [ P 0 、 P 1 、 P 2 、 P 3 ] = F （ P 3 ） − 3 F （ P 2 ） + 3 F （ P 1 ） − F （ P 0 ） （ P 1 − P 0 ） 3 、 = F ‴ （ P 0 < P < P 3 ） = ∑ T N = 1 U T = ∞ F ‴ （ P （ t n ） ） U T 、 = G 」 （ P 0 < P < P 3 ） = H ′ （ P 0 < P < P 3 ） = 私 （ P 0 < P < P 3 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{3}F(P_{0})}{DP^{3}}}&={\frac {D^{2}F'(P_{0})}{DP^{2}}}={\frac {DF''(P_{0})}{DP}}={\frac {F''(P_{1}<P<P_{3})-F''(P_{0}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \neq {\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-F'(P_{1}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}}-{\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}}}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-2F'(P_{1}<P<P_{2})+F'(P_{0}<P<P_{1})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}]={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P_{0}<P<P_{3})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G''(P_{0}<P<P_{3})\ =H'(P_{0}<P<P_{3})=I(P_{0}<P<P_{3}).\end{aligned}}}
N 次Δ n ´ F （ P 0 ） = F （ n ´ − 1 ） （ P 1 ） − F （ n ´ − 1 ） （ P 0 ） 、 = F （ n ´ − 2 ） （ P 2 ） − F （ n ´ − 2 ） （ P 1 ） Δ 1 P − F （ n ´ − 2 ） （ P 1 ） − F （ n ´ − 2 ） （ P 0 ） Δ 1 P 、 = F （ n ´ − 3 ） （ P 3 ） − F （ n ´ − 3 ） （ P 2 ） Δ 1 P − F （ n ´ − 3 ） （ P 2 ） − F （ n ´ − 3 ） （ P 1 ） Δ 1 P Δ 1 P 。 − F （ n ´ − 3 ） （ P 2 ） − F （ n ´ − 3 ） （ P 1 ） Δ 1 P − F （ n ´ − 3 ） （ P 1 ） − F （ n ´ − 3 ） （ P 0 ） Δ 1 P Δ 1 P 、 = ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})&=F^{({\acute {n}}-1)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-1)}(P_{0}),\\[10pt]&={\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{3})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad -{\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&=\cdots \end{aligned}}} Δ n ´ F （ P 0 ） Δ 1 P n ´ = ∑ 私 = 0 N ´ （ − 1 N ´ − 私 ） （ N ´ 私 ） F （ P 0 + 私 Δ 1 P ） Δ 1 P n ´ ; ∇ n ´ F （ P n ´ ） Δ 1 P n ´ = ∑ 私 = 0 N ´ （ − 1 私 ） （ N ´ 私 ） F （ P n ´ − 私 Δ 1 P ） Δ 1 P n ´ ; {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose {\acute {N}}-I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{0}+I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\\[10pt]&{\frac {\nabla ^{\acute {n}}F(P_{\acute {n}})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}\\[10pt]&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{\acute {n}}-I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\end{aligned}}} d n ´ F （ P 0 ） d P n ´ = d n ´ − 1 F ′ （ P 0 ） d P n ´ − 1 = d n ´ − 2 F 」 （ P 0 ） d P n ´ − 2 = d n ´ − 3 F ‴ （ P 0 ） d P n ´ − 3 = ⋯ = d n ´ − r F （ r ） （ P 0 ） d P n ´ − r 、 = d n ´ − 1 G （ P 0 ） d P n ´ − 1 = d n ´ − 2 G ′ （ P 0 ） d P n ´ − 2 = d n ´ − 3 G 」 （ P 0 ） d P n ´ − 3 = ⋯ = d n ´ − r G （ r − 1 ） （ P 0 ） d P n ´ − r 、 。 = d n ´ − 2 H （ P 0 ） d P n ´ − 2 = d n ´ − 3 H ′ （ P 0 ） d P n ´ − 3 = ⋯ = d n ´ − r H （ r − 2 ） （ P 0 ） d P n ´ − r 、 。 = d n ´ − 3 私 （ P 0 ） d P n ´ − 3 = ⋯ = d n ´ − r 私 （ r − 3 ） （ P 0 ） d P n ´ − r 、 = F （ n ´ ） （ P ） = G （ n ´ − 1 ） （ P ） = H （ n ´ − 2 ） （ P ） = 私 （ n ´ − 3 ） （ P ） = ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{\acute {n}}F(P_{0})}{dP^{\acute {n}}}}&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}F'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-2}F''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-3}F'''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}G(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-2}G'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}G''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}G^{(r-1)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad ={\frac {d^{{\acute {n}}-2}H(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}H'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}H^{(r-2)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ =\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}I(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}I^{(r-3)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P)=G^{({\acute {n}}-1)}(P)=H^{({\acute {n}}-2)}(P)=I^{({\acute {n}}-3)}(P)=\cdots \end{aligned}}} D n ´ F （ P 0 ） D P n ´ = F [ P 0 、 P 1 、 P 2 、 P 3 、 … 、 P n ´ − 3 、 P n ´ − 2 、 P n ´ − 1 、 P n ´ ] 、 = F （ n ´ ） （ P 0 < P < P n ´ ） = ∑ T N = 1 U T = ∞ F （ n ´ ） （ P （ t n ） ） U T = F （ n ´ ） （ L B < P < U B ） = G （ n ´ − 1 ） （ L B < P < U B ） = ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{\acute {n}}F(P_{0})}{DP^{\acute {n}}}}&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},\ldots ,P_{{\acute {n}}-3},P_{{\acute {n}}-2},P_{{\acute {n}}-1},P_{\acute {n}}],\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P_{0}<P<P_{\acute {n}})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F^{({\acute {n}})}(P_{(tn)})}{UT}}\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(LB<P<UB)=G^{({\acute {n}}-1)}(LB<P<UB)=\cdots \end{aligned}}}
分割差を適用する 分割差分法の最も典型的な応用例は定積分を表すことであり、これは有限差分に他ならない。
∫ L B U B G （ p ） d p = ∫ L B U B F ′ （ p ） d p = F （ U B ） − F （ L B ） 、 = F [ L B 、 U B ] Δ B 、 = F ′ （ L B < P < U B ） Δ B 、 = G （ L B < P < U B ） Δ B 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{LB}^{UB}G(p)\,dp&=\int _{LB}^{UB}F'(p)\,dp=F(UB)-F(LB),\\[10pt]&=F[LB,UB]\Delta B,\\[10pt]&=F'(LB<P<UB)\Delta B,\\[10pt]&=\ G(LB<P<UB)\Delta B.\end{aligned}}} 平均値、導関数表現形式は、古典的な積分表記と同じ情報をすべて提供するため、平均値形式が好ましい表現となる場合があります。例えば、標準ASCIIテキストのみをサポート/受け入れる記述環境や、平均導関数のみが必要な場合（ 楕円積分 で平均半径を求める場合など）などです。これは、技術的には0と、またはπ {\displaystyle \pi \,\!} 2 π {\displaystyle 2\pi \,\!} π 2 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}}
∫ 0 2 π F ′ （ p ） d p = 4 ∫ 0 π 2 F ′ （ p ） d p = F （ 2 π ） − F （ 0 ） = 4 （ F （ π 2 ） − F （ 0 ） ） 、 = 2 π F [ 0 、 2 π ] = 2 π F ′ （ 0 < P < 2 π ） 、 = 2 π F [ 0 、 π 2 ] = 2 π F ′ （ 0 < P < π 2 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }F'(p)\,dp&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}F'(p)\,dp=F(2\pi )-F(0)=4(F({\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})-F(0)),\\[10pt]&=2\pi F[0,2\pi ]=2\pi F'(0<P<2\pi ),\\[10pt]&=2\pi F[0,{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}]=2\pi F'(0<P<{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}).\end{aligned}}} これは、反復積分 や多重積分 （
∫ C L C U ∫ B L B U ∫ A L A U F ′ （ r 、 q 、 p ） d p d q d r = ∑ T C = 1 U C = ∞ （ ∑ T B = 1 U B = ∞ （ ∑ T A = 1 U A = ∞ F ′ （ R （ t c ） : Q （ t b ） : P （ t 1 ） ） Δ A U A ） Δ B U B ） Δ C U C 、 = F ′ （ C L < R < C U : B L < Q < B U : A L < P < A U ） Δ A Δ B Δ C 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad \int _{CL}^{CU}\int _{BL}^{BU}\int _{AL}^{AU}F'(r,q,p)\,dp\,dq\,dr\\[10pt]&=\sum _{T\!C=1}^{U\!C=\infty }\left(\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }F^{'}(R_{(tc)}:Q_{(tb)}:P_{(ta)}){\frac {\Delta A}{U\!A}}\right){\frac {\Delta B}{U\!B}}\right){\frac {\Delta C}{U\!C}},\\[10pt]&=F'(C\!L<R<CU:BL<Q<BU:AL<P<\!AU)\Delta A\,\Delta B\,\Delta C.\end{aligned}}} したがって、
F ′ （ R 、 Q : A L < P < A U ） = ∑ T A = 1 U A = ∞ F ′ （ R 、 Q : P （ t 1 ） ） U A ; {\displaystyle F'(R,Q:AL<P<AU)=\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R,Q:P_{(ta)})}{U\!A}};\,\!} そして
F ′ （ R : B L < Q < B U : A L < P < A U ） = ∑ T B = 1 U B = ∞ （ ∑ T A = 1 U A = ∞ F ′ （ R : Q （ t b ） : P （ t 1 ） ） U A ） 1 U B 。 {\displaystyle F'(R:BL<Q<BU:AL<P<AU)=\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R:Q_{(tb)}:P_{(ta)})}{U\!A}}\right){\frac {1}{U\!B}}.\,\!}
参考文献 ↑ Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). Calculus With Applications . Springer. p. 119. ISBN 978-1-4614-7946-8 。 ↑ シャーリー・O・ホケット、デビッド・ボック（2005）。 バロンズ AP微積分対策ガイド 。バロンズ教育シリーズ 。44 ページ 。ISBN 978-0-7641-2382-5 。↑ マーク・ライアン (2010). 『微積分入門』（Calculus Essentials For Dummies ）. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp. 41–47 . ISBN 978-0-470-64269-6 。↑カーラ・ニール 、 R・グスタフソン、ジェフ・ヒューズ（2012）。 プレカリキュラス 。センゲージ・ラーニング。p. 133。ISBN 978-0-495-82662-0 。1 2 3 Michael Comenetz (2002). Calculus: The Elements . World Scientific. pp. 71–76 および 151–161. ISBN 978-981-02-4904-5 。↑ モーリッツ・パッシュ (2010)。 モーリッツ・パッシュによる数学の基礎に関するエッセイ 。スプリンガー。 p. 157.ISBN 978-90-481-9416-2 。↑ Frank C. Wilson; Scott Adamson (2008). 応用微積分 . Cengage Learning. p. 177. ISBN 978-0-618-61104-1 。1 2 タマラ・レフコート・ルビー、ジェームズ・セラーズ、リサ・コルフ、ジェレミー・ヴァン・ホーン、マイク・マン（2014）。Kaplan AP Calculus AB & BC 2015。Kaplan Publishing。p. 299。ISBN 978-1-61865-686-5 。1 2 Thomas Hungerford; Douglas Shaw (2008). Contemporary Precalculus: A Graphing Approach . Cengage Learning. pp. 211–212 . ISBN 978-0-495-10833-7 。1 2スティーブン・G ・ クランツ（2014）。 解析学の基礎 。CRC Press。p. 127。ISBN 978-1-4822-2075-9 。↑ Andreas Griewank; Andrea Walther (2008). Evaluating Derivatives: Principles and Techniques of Algorithmic Differentiation, Second Edition . SIAM. pp. 2–. ISBN 978-0-89871-659-7 。↑ セルジュ・ラング (1968). 分析 1. アディソン・ウェスリー出版. p. 56 . ↑ Brian D. Hahn (1994). Fortran 90 for Scientists and Engineers . Elsevier. p. 276. ISBN 978-0-340-60034-4 。↑ クリストファー・クラパム、ジェームズ・ニコルソン（2009）。 『オックスフォード数学簡約辞典 』オックスフォード大学出版局、 313 ページ 。ISBN 978-0-19-157976-9 。↑ ドナルド・C・ベンソン、『より滑らかな小石：数学的探求』 、オックスフォード大学出版局、2003年、176ページ。 
![{\displaystyle {\text{もし }}|\Delta P|>{\mathit {\iota }}ならば：\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {DF(P)}{DP}}=F[P,P+\Delta P].\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a9ce0612b2a5b0e4c2e0866c35c11b2e64c811)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{(tn)}&=LB+{\frac {TN-1}{UT-1}}\Delta B\ =UB-{\frac {UT-TN}{UT-1}}\Delta B;\\[10pt]&{}\qquad {\color {white}.}(P_{(1)}=LB,\ P_{(ut)}=UB){\color {白}.}\\[10pt]F'(P_{\チルダ {a}})&=F'(LB<P<UB)=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f856f510e32d4991b600e7822810ac090e2f2b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {DF(P_{0})}{DP}}&=F[P_{0},P_{1}]={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}<P<P_{1})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}},\\[8pt]&={\frac {DF(LB)}{DB}}={\frac {\Delta F(LB)}{\Delta B}}={\frac {\nabla F(UB)}{\Delta B}},\\[8pt]&=F[LB,UB]={\frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB}},\\[8pt]&=F'(LB<P<UB)=G(LB<P<UB).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d11d71d39b0cac5f743df7f793b5423a220627)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{2}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}&={\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{2})-F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7653e6ebfe8b3047239f1f8ceca7a6b11a4c706d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}F(P)}{dP^{2}}}&={\frac {dF'(P)}{dP}}={\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&=\ {\frac {dG(P)}{dP}}={\frac {G(P_{1})-G(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&=F''(P)=G'(P)=H(P)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4c034760e8831db35c8be43466dca9801cc899)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{2}F(P_{0})}{DP^{2}}}&={\frac {DF'(P_{0})}{DP}}={\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \neq {\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2}]={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F''(P_{0}<P<P_{2})=\sum _{TN=1}^{\infty }{\frac {F''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G'(P_{0}<P<P_{2})=H(P_{0}<P<P_{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd944930910885fd11b60397bc2fce4f2bf801f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{3}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}}&={\frac {\Delta ^{2}F'(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}={\frac {\Delta F''(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {{\frac {\Delta F(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}-{\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{3})-2F(P_{2})+F(P_{1})}{\Delta _{1}P^{2}}}-{\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ef9fc1aa01c46effe4ddf371f9b183da1d1dcf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{3}F(P)}{dP^{3}}}&={\frac {d^{2}F'(P)}{dP^{2}}}={\frac {dF''(P)}{dP}}={\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {d^{2}G(P)}{dP^{2}}}\ ={\frac {dG'(P)}{dP}}\ ={\frac {G'(P_{1})-G'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \ \ ={\frac {dH(P)}{dP}}\ ={\frac {H(P_{1})-H(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {G(P_{2})-2G(P_{1})+G(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{dP^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P)=G''(P)=H'(P)=I(P);\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f3dd2ad0b83746c1a0246f73bc1f0927b75619)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{3}F(P_{0})}{DP^{3}}}&={\frac {D^{2}F'(P_{0})}{DP^{2}}}={\frac {DF''(P_{0})}{DP}}={\frac {F''(P_{1}<P<P_{3})-F''(P_{0}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \neq {\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-F'(P_{1}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}}-{\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}}}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-2F'(P_{1}<P<P_{2})+F'(P_{0}<P<P_{1})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}]={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P_{0}<P<P_{3})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G''(P_{0}<P<P_{3})\ =H'(P_{0}<P<P_{3})=I(P_{0}<P<P_{3}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30ba44a0f50679c97f5b387af7dd11daf4d39ba)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})&=F^{({\acute {n}}-1)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-1)}(P_{0}),\\[10pt]&={\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{3})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad -{\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&=\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7dad583886237ae513ff67ad188c2030d3ea91)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose {\acute {N}}-I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{0}+I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\\[10pt]&{\frac {\nabla ^{\acute {n}}F(P_{\acute {n}})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}\\[10pt]&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{\acute {n}}-I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9194c3bb135c82365145f40c4ad16c647502c6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{\acute {n}}F(P_{0})}{dP^{\acute {n}}}}&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}F'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-2}F''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-3}F'''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0}) {n}}-r}}},\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}G(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-2}G'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}G''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}G^{(r-1)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad ={\frac {d^{{\acute {n}}-2}H(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}H'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}H^{(r-2)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ =\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}I(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}I^{(r-3)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P)=G^{({\acute {n}}-1)}(P)=H^{({\acute {n}}-2)}(P)=I^{({\acute {n}}-3)}(P)=\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd455f469966afb9e49acbfb7fd63550be318a4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{\acute {n}}F(P_{0})}{DP^{\acute {n}}}}&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},\ldots ,P_{{\acute {n}}-3},P_{{\acute {n}}-2},P_{{\acute {n}}-1},P_{\acute {n}}],\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P_{0}<P<P_{\acute {n}})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F^{({\acute {n}})}(P_{(tn)})}{UT}}\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(LB<P<UB)=G^{({\acute {n}}-1)}(LB<P<UB)=\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b375b60c7bae7c49c83567c022255d106be66acb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{LB}^{UB}G(p)\,dp&=\int _{LB}^{UB}F'(p)\,dp=F(UB)-F(LB),\\[10pt]&=F[LB,UB]\Delta B,\\[10pt]&=F'(LB<P<UB)\Delta B,\\[10pt]&=\ G(LB<P<UB)\Delta B.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997fd5c4d756e16ef9ffc40d18a4645961c4d0bd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }F'(p)\,dp&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}F'(p)\,dp=F(2\pi )-F(0)=4(F({\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})-F(0)),\\[10pt]&=2\pi F[0,2\pi ]=2\pi F'(0<P<2\pi ),\\[10pt]&=2\pi F[0,{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}]=2\pi F'(0<P<{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b8dfc785bfb525d1d7f054c11c4a579514d919)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad \int _{CL}^{CU}\int _{BL}^{BU}\int _{AL}^{AU}F'(r,q,p)\,dp\,dq\,dr\\[10pt]&=\sum _{T\!C=1}^{U\!C=\infty }\left(\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }F^{'}(R_{(tc)}:Q_{(tb)}:P_{(ta)}){\frac {\Delta A}{U\!A}}\right){\frac {\Delta B}{U\!B}}\right){\frac {\Delta C}{U\!C}},\\[10pt]&=F'(C\!L<R<CU:BL<Q<BU:AL<P<\!AU)\Delta A\,\Delta B\,\Delta C.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276c5ed447c4e5489b878266550a21b6aabc6a12)
