リーマン和

数学において、リーマン和とは、積分を有限和で近似する特定の方法である。これは19世紀のドイツの数学者ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられた。非常に一般的な応用例の一つは数値積分であり、グラフ上の関数や直線の面積を近似する際に用いられる。これは矩形法則とも呼ばれる。また、曲線の長さを近似したり、その他の近似にも応用できる。

合計は、測定対象の領域と類似した領域を形成する形状（長方形、台形、放物線、または立方体など、場合によっては極めて小さな形状）に領域を分割し、それぞれの形状の面積を計算し、最後にこれらの小さな面積をすべて合計することによって計算されます。この方法は、微積分学の基本定理によって閉形式の解を容易に見つけることができない場合でも、定積分の数値近似値を求めるために使用できます。

小さな図形で囲まれた領域は、通常、測定対象の領域と完全に同じ形状ではないため、リーマン和は測定対象の面積と異なります。この誤差は、より小さな図形を使用して領域をより細かく分割することで低減できます。図形が小さくなるにつれて、和はリーマン積分に近づきます。

させて${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$閉区間上で定義された関数とする。${\displaystyle [a,b]}$実数のうち、${\displaystyle \mathbb {R} }$、 そして${\displaystyle P=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$分割として​${\displaystyle [a,b]}$つまり $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b.}$$ リーマン和${\displaystyle S}$の${\displaystyle f}$以上${\displaystyle [a,b]}$パーティション付き${\displaystyle P}$は次のように定義される。 $${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i},}$$ どこ$\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$そして${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$[ ^{1 ]} どのよう^な${\displaystyle x_{i}^{*}}$s が選択されます。最終的には、関数がリーマン積分可能であれば、これは問題になりません。$\displaystyle \Delta x_{i}}$ゼロに近づく。

具体的な選択肢${\displaystyle x_{i}^{*}}$さまざまな種類のリーマン和を示します。

• もし${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}}$すべてのiに対して、この方法は左ルール^{[ 2 ] [ 3 ]}であり、左リーマン和を与える。
• もし${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}}$すべてのiに対して、この方法は正しい規則^{[ 2 ] [ 3 ]}であり、正しいリーマン和を与える。
• もし${\displaystyle x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2}$すべてのiに対して、この方法は中点ルール^{[ 2 ] [ 3 ]}であり、中点リーマン和を与えます。
• もし${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\sup f([x_{i-1},x_{i}])}$（つまり、${\textstyle f}$以上${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$) この方法は上限ルールであり、上限リーマン和または上限ダルブー和を与える。
• もし${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\inf f([x_{i-1},x_{i}])}$（つまり、fの下限は${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$)、この方法は下限ルールであり、下限リーマン和または下限ダルブー和を与える。

これらのリーマン和法はすべて、数値積分を行うための最も基本的な方法の一つです。大まかに言えば、関数がリーマン積分可能であるとは、分割が「どんどん細かくなる」につれて、すべてのリーマン和が収束することを意味します。

リーマン和として導出されたものではありませんが、左右のリーマン和の平均を取ることは台形公式であり、台形和が得られます。これは、加重平均を用いて積分を近似する非常に一般的な方法の中で最も単純なものの1つです。これに続いて、シンプソンの公式とニュートン・コーツの公式が複雑さを増していきます。

与えられた分割上の任意のリーマン和（つまり、任意の選択に対して）${\displaystyle x_{i}^{*}}$間${\displaystyle x_{i-1}}$そして${\displaystyle x_{i}}$）は、下側ダルブー和と上側ダルブー和の間に含まれます。これがダルブー積分の基礎を形成し、最終的にはリーマン積分と等価になります。

4つのリーマン和法は、通常、等しいサイズの小区間を用いてアプローチするのが最適です。したがって、区間[ a , b ]は次のように分割されます。${\displaystyle n}$長さがそれぞれ $${\displaystyle \Delta x={\frac {ba}{n}}.}$$

分割されたポイントは次のようになります。 $${\displaystyle a,\;a+\Delta x,\;a+2\Delta x,\;\ldots ,\;a+(n-2)\Delta x,\;a+(n-1)\Delta x,\;b.}$$

左派の支配

左側ルールでは、関数は部分区間の左端点での値で近似されます。これにより、底辺がΔ x、高さがf ( a + i Δ x )の複数の長方形が得られます。これをi = 0, 1, ..., n − 1に対して行い、得られた面積を合計すると、 $$$\displaystyle S_{\mathrm {left} }=\Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right]$.$$

左リーマン和は、この区間でfが単調減少の場合は過大評価となり、単調増加の場合は過小評価となる。この式の誤差は次のようになる。 $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {left} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(ba)^{2}}{2n}},}$$ どこ${\displaystyle M_{1}}$は、絶対値の最大値です。${\displaystyle f^{\prime }(x)}$その期間にわたって。

正しいルール

右のルールでは、関数は部分区間の右端点での値で近似されます。これにより、底辺がΔ x、高さがf ( a + i Δ x )の複数の長方形が得られます。これをi = 1, ..., nに対して行い、得られた面積を合計すると 、$${\displaystyle S_{\mathrm {right} }=\Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

右リーマン和は、fが単調減少の場合は過小評価となり、単調増加の場合は過大評価となる。この式の誤差は次のようになる。 $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {right} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}$$ どこ${\displaystyle M_{1}}$は、絶対値の最大値です。${\displaystyle f^{\prime }(x)}$その期間にわたって。

中点ルール

中点ルールでは、関数は小区間の中点における値で近似されます。これにより、最初の小区間ではf ( a + Δ x /2) 、次の小区間ではf ( a + 3Δ x /2)となり、 f ( b − Δ x /2)まで続きます。結果として得られる面積を合計すると、 $${\displaystyle S_{\mathrm {mid} }=\Delta x\left[f\left(a+{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)+f\left(a+{\tfrac {3\Delta x}{2}}\right)+\dots +f\left(b-{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)\right].}$$

この式の誤差は $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}},}$$ どこ${\displaystyle M_{2}}$は、絶対値の最大値です。${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$この区間において、この誤差は台形和の誤差の半分であり、したがって中央リーマン和はリーマン和に最も正確に近づく方法である。

台形公式

台形公式では、関数は小区間の左端と右端における値の平均によって近似されます。面積公式を使用すると${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})}$平行な辺b ₁とb ₂を持ち、高さがhの台形の場合、結果として得られる面積を合計すると次のようになります。 $${\displaystyle S_{\mathrm {trap} }={\tfrac {1}{2}}\Delta x\left[f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

この式の誤差は $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}$$ どこ${\displaystyle M_{2}}$は、絶対値の最大値です。${\displaystyle f''(x)}$。

関数の台形和で得られる近似値は、その関数の左辺和と右辺和の平均と同じである。

領域上の一次元リーマン和の場合${\displaystyle [a,b]}$部分区間の最大サイズがゼロに縮小するにつれて（つまり、部分区間のノルムの極限がゼロに近づくにつれて）、一部の関数ではすべてのリーマン和が同じ値に収束します。この極限値が存在する場合、それは定義域上の関数の定リーマン積分として定義されます。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\|\Delta x\|\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}.}$$

有限サイズの領域において、部分区間の最大サイズがゼロに縮小すると、部分区間の数は無限大になります。有限分割の場合、リーマン和は常に極限値の近似値であり、分割が細かくなるほど近似精度が向上します。以下の動画は、部分区間の数を増やす（同時に最大部分区間サイズを小さくする）ことで、曲線下の「面積」をより正確に近似できることを示しています。

• 
  左リーマン和
• 
  右リーマン和
• 
  中リーマン和

ここで赤い関数は滑らかな関数であると仮定されているため、小区間の数が無限大に近づくにつれて、3つのリーマン和はすべて同じ値に収束します。

右リーマン和とx ↦ x ²の積分の比較${\textstyle [0,2]}$。

曲線y = x²^の下の領域を[0, 2] 上で視覚的に表現したもの。原始関数を用いると、この領域は正確に${\textstyle {\dfrac {8}{3}}}$。

右リーマン和を用いて、区間 [0, 2] における曲線y = x ²の下の面積を近似します。関数は単調増加であるため、右リーマン和は和の各項が寄与する面積を常に過大評価します（そして、その過大評価は最大になります）。

x ↦ x ²の右リーマン和の値${\textstyle [0,2]}$長方形の数が増えるにつれて、正確な面積に近づきます。${\textstyle {\dfrac {8}{3}}}$。

例えば、[0, 2] における曲線y = x ²の下の面積は、リーマンの方法を用いて手順的に計算することができる。

区間[0, 2]はまずn個の小区間に分割され、それぞれの小区間には幅が与えられます。${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$これらはリーマン長方形（以下「ボックス」）の幅です。右リーマン和を使用するため、ボックスのx座標のシーケンスは次のようになります。${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$したがって、箱の高さの順序は次のようになります。${\displaystyle x_{1}^{2},x_{2}^{2},\ldots ,x_{n}^{2}}$重要な事実として、${\displaystyle x_{i}={\tfrac {2i}{n}}}$、 そして${\displaystyle x_{n}=2}$。

各ボックスの面積は${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}\times x_{i}^{2}}$したがって、n番目の右リーマン和は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {2}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2i}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2n}{n}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left(1+\dots +i^{2}+\dots +n^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}.\end{aligned}}}$$

n → ∞の極限を考えると、ボックスの数が増えるにつれて近似値が曲線下の面積の実際の値に近づくと結論付けられます。したがって、次のようになります。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right)={\frac {8}{3}}.}$$

この方法は、より機械的な方法で計算された定積分と一致する。 $${\displaystyle \int _{0}^{2}x^{2}\,dx={\frac {8}{3}}.}$$

関数は区間内で連続かつ単調増加するため、右リーマン和は積分を最も過大評価します（一方、左リーマン和は積分を最も過小評価します）。この事実は図から直感的に明らかであり、関数の性質が積分の推定精度にどのように影響するかを示しています。右リーマン和と左リーマン和は単純ですが、台形公式やシンプソンの公式などのより高度な積分推定法に比べて精度が低い場合が多いです。

例の関数は容易に原始関数を見つけることができるため、リーマン和による積分の推定はほとんど学術的な演習に過ぎません。しかし、すべての関数が原始関数を持つわけではないため、和による積分の推定は実用上重要であることを覚えておく必要があります。

リーマン和の基本的な考え方は、領域を分割して複数の部分に分け、各部分の「大きさ」にその部分における関数の値（例えば、関数が取る値）を掛け合わせ、それらの積をすべて合計するというものです。この考え方は、1次元以上の領域における関数のリーマン和にも一般化できます。

直感的には、領域を分割するプロセスは理解しやすいが、領域をどのように分割するかの技術的な詳細は、一次元の場合よりもはるかに複雑になり、領域の幾何学的形状の側面が関係する。^{[ 4 ]}

• 反微分
• オイラー法と中点法、微分方程式を解くための関連手法
• ルベーグ積分
• リーマン積分、分割が無限に細かくなるときのリーマン和の極限
• シンプソンの法則は、基本的なリーマン和や台形公式よりも強力な数値計算法である。
• 台形公式、左右のリーマン和の平均に基づく数値計算法

• ワイスタイン、エリック・W. 「リーマン・スム」。マスワールド。
• リーマン和の収束を示すシミュレーション