フォン・ノイマン安定性解析

数値解析において、フォン・ノイマン安定性解析（フーリエ安定性解析とも呼ばれる）は、線形偏微分方程式に適用される有限差分スキームの安定性をチェックするために使用される手順である。^{[ 1 ]}この解析は数値誤差のフーリエ分解に基づいており、1947年に英国の研究者ジョン・クランクとフィリス・ニコルソンによって簡単に説明された後、ロスアラモス国立研究所で開発された。^{[ 2 ]}この方法は、支配方程式を定義する関数が現在の時刻で評価される明示的な時間積分 の一例である。その後、この方法は、ジョン・フォン・ノイマンが共著した論文^{[ 3 ]}でより厳密に扱われ、より厳密なクーラント・フリードリヒス・レヴィ条件を模倣した「ヒューリスティック手順」として説明されている。

数値スキームの安定性は、数値誤差と密接に関係しています。有限差分スキームは、計算のある時間ステップで発生した誤差が、計算の継続に伴って誤差を増幅させない場合に安定です。中立安定スキームとは、計算を進めても誤差が一定のままであるスキームのことです。誤差が減衰し、最終的に減衰する場合、数値スキームは安定であると言われます。逆に、誤差が時間とともに増大する場合、数値スキームは不安定であると言われます。数値スキームの安定性は、フォン・ノイマン安定性解析を実行することによって調べることができます。時間依存問題の場合、安定性は、厳密微分方程式の解が有界である限り、数値法が有界解を生成することを保証します。一般に、安定性の調査は、特に検討対象の方程式が非線形である場合は困難です。

特定のケースでは、フォン・ノイマン安定性は、ラックス・リヒトマイヤーの意味での安定性（ラックス等価定理で使用される）にとって必要かつ十分条件です。すなわち、偏微分方程式と有限差分スキームのモデルが線形であること、偏微分方程式が周期境界条件を持つ定数係数であり、独立変数が 2 つしかないこと、そしてスキームが 2 つ以下の時間レベルを使用することです。^{[ 4 ]}フォン・ノイマン安定性は、はるかに幅広いケースで必要となります。その相対的な単純さから、スキームで使用されるステップサイズに対する制約（もしあれば）を推測するために、より詳細な安定性解析の代わりにフォン・ノイマン安定性がよく使用されます。

フォン・ノイマン法は、誤差をフーリエ級数に分解することに基づいている。この手順を説明するために、一次元熱方程式を考えてみよう。$$\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$ 空間区間上で定義される${\displaystyle L}$表記法 $${\displaystyle u_{j}^{n}=u(x_{j},t^{n})}$$ どこ${\displaystyle x_{j}}$は特定のx値であり、$t^n$はt値のシーケンスです。

熱方程式^{[ 5 ]}を離散化すると次のようになる。

どこ $${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\left(\Delta x\right)^{2}}}}$$

そして解決策は$u_j^n$離散方程式の近似解は解析解に近似する${\displaystyle u(x,t)}$グリッド上の偏微分方程式の。

丸め誤差を定義する${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}}$として $${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}=N_{j}^{n}-u_{j}^{n}}$$ どこ$u_j^n$は、丸め誤差がない場合に計算される離散化方程式（ 1 ）の解であり、${\displaystyle N_{j}^{n}}$これは有限精度演算で得られた数値解です。正確な解は$u_j^n$離散化された方程式を厳密に満たす必要があり、誤差は${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}}$離散化された方程式も満たさなければならない。^{[ 6 ]}ここでは、${\displaystyle N_{j}^{n}}$もこの式を満たします（これは機械精度の場合に限ります）。したがって

は誤差の漸化式です。式（ 1）と（2）は、誤差と数値解の両方が時間に関して同じ増加または減少挙動を示すことを示しています。周期境界条件を持つ線形微分方程式の場合、誤差の空間的変動は、に関して有限フーリエ級数に展開できます。${\displaystyle x}$区間内${\displaystyle L}$、 として

波数​${\displaystyle k_{m}={\frac {\pi m}{L}}}$と${\displaystyle m=-M,\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots ,M}$そして${\displaystyle M=L/\Delta x}$誤差の時間依存性は、誤差の振幅が${\displaystyle E_{m}}$は時間の関数である。誤差は時間とともに指数関数的に増加または減少するという仮定がよく用いられるが、これは安定性解析には必ずしも必要ではない。

境界条件が周期的でない場合、有限フーリエ積分を使用することができます。${\displaystyle x}$:

誤差の差分方程式は線形であるため（級数の各項の挙動は級数自体の挙動と同じである）、典型的な項の誤差の増加を考慮すれば十分である。

フーリエ級数が使用される場合、または

フーリエ積分が使用される場合。

フーリエ級数はフーリエ積分の特殊な場合とみなせるため、フーリエ積分の式を用いて議論を進めていきます。

誤差のこの形式のみを使用して安定性特性を研究することができ、一般性は損なわれません。誤差が時間ステップでどのように変化するかを調べるには、次の点に注意した後、式（5b）を式（2） に代入します。$${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{j}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j}^{n+1}&=E_{m}(t+\Delta t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j+1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x+\Delta x)}\\\epsilon _{j-1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x-\Delta x)},\end{aligned}}}$$ （簡略化後）

ご紹介します${\displaystyle \theta =k_{m}\Delta x\in [-\pi ,\pi ]}$そして、アイデンティティを使用する $${\displaystyle \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {e^{i\theta /2}-e^{-i\theta /2}}{2i}}\qquad \rightarrow \qquad \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=-{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }-2}{4}}}$$ 式（6）は次のように書ける。

増幅率を定義する

誤差が有界であるための必要十分条件は、${\displaystyle |G|\leq 1.}$ したがって、式（7）と（8）から、安定性の条件は次のように与えられる。

用語に注意してください${\displaystyle 4r\sin ^{2}(\theta /2)}$は常に正である。したがって、式（9）を満たすためには：

上記の条件がすべての場合に成り立つためには${\displaystyle m}$（したがってすべて）${\displaystyle \sin ^{2}(\theta /2)}$) 正弦波項が取り得る最大値は 1 であり、その特定の選択において上限閾値条件が満たされる場合、すべてのグリッド点についても同様となるため、次のようになります。

式（11 ）は、一次元熱方程式に適用されるFTCSスキームの安定性要件を示しています。これは、与えられた${\displaystyle \Delta x}$許容値${\displaystyle \Delta t}$式（ 10 ）を満たすのに十分小さい必要がある。

同様の解析により、線形移流に対するFTCSスキームは無条件に不安定であることが示される。