Roe ソルバー

Phil Roeによって考案されたRoe 近似リーマン ソルバーは、ゴドゥノフ スキームに基づく近似リーマン ソルバーであり、ある離散化された時空計算領域上の 2 つの計算セルと間のインターフェイスにおけるセル間数値フラックスまたはゴドゥノフ フラックスの推定値を求めます。${\displaystyle F_{i+{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle U_{i+1}}$

1つの空間次元における保存則の集合を表す非線形双曲偏微分方程式系は、次のように表される。

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {U}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}})}{\partial x}}=0.}$

連鎖律を第2項に適用すると、準線形双曲系が得られる。

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {U}}}{\partial t}}+A({\boldsymbol {U}}){\frac {\partial {\boldsymbol {U}}}{\partial x}}=0,}$

ここで、 はフラックスベクトルのヤコビ行列です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}})}$

Roe 法は、2 つのセル間で一定であると想定される行列を見つけることから成ります。これにより、リーマン問題は各セル インターフェイスで真の線形双曲システムとして解くことができます。Roe 行列は次の条件に従う必要があります。 ${\displaystyle {\tilde {A}}({\boldsymbol {U}}_{i},{\boldsymbol {U}}_{i+1})}$

• 実固有値で対角化可能: 新しい線形システムが真に双曲的であることを保証します。
• 正確なヤコビアンとの一貫性：${\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{i},{\boldsymbol {U}}_{i+1}\rightarrow {\boldsymbol {U}}}$${\displaystyle {\tilde {A}}({\boldsymbol {U}}_{i},{\boldsymbol {U}}_{i+1})=A({\boldsymbol {U}})}$
• 保全:${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i+1}-{\boldsymbol {F}}_{i}={\tilde {A}}({\boldsymbol {U}}_{i+1}-{\boldsymbol {U}}_{i})}$

フィル・ローは、いくつかの保存則のシステムに対してそのような行列を見つけるためのパラメータベクトル法を導入した。^[1]

2 つのセル間のインターフェイスに対応する Roe 行列が見つかると、準線形システムを真の線形システムとして解くことによってセル間フラックスが与えられます。

• リーマンソルバー

• Toro, EF (1999)、「Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics」、Springer-Verlag。