金融における準モンテカルロ法

金融では、数百または数千の変数の高次元積分がよく発生します。これらの積分は、しきい値 以内で数値的に計算する必要があります。積分が 次元の場合、誤差が最大で であることが保証されている最悪のケースでは、計算の複雑さは通常 のオーダーになります。つまり、この問題は次元の呪いに悩まされています。 1977 年、ウォータールー大学の P. Boyle は、オプションの評価にモンテ カルロ (MC) を使用することを提案しました。^[1] 1992 年の初めから、コロンビア大学のJF Traubと当時大学院生だった S. Paskov は、準モンテ カルロ(QMC) を使用して、ゴールドマン サックスが指定したパラメータで住宅ローン担保証券の価格を算出しました。世界を代表する専門家は QMC を高次元積分に使用すべきではないと考えていましたが、Paskov と Traub は、QMC が MC より 1 ～ 3 桁優れており、他の望ましい属性も備えていることを発見しました。彼らの研究結果は1995年に初めて発表されました^[2]。今日、QMCは金融デリバティブを評価するために金融セクターで広く使用されています。以下の書籍のリストを参照してください。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon ^{-d}}$

QMC はすべての高次元積分の万能薬ではありません。QMC が金融デリバティブに適している理由については、さまざまな説明が提案されています。これは、非常に実りある研究分野であり続けています。

数百または数千の変数の積分は、金融計算では一般的です。これらは、誤差しきい値 内で数値的に近似する必要があります。最大でも誤差の最悪のケースの保証が必要な場合は、積分の計算の複雑さが、被積分関数の次元 で指数関数的になる可能性があることはよく知られています。詳細については、 ^[3] Ch. 3を参照してください。この次元の呪いを解くには、次式で定義されるモンテカルロ(MC)法を使用できます。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle d}$

${\displaystyle \varphi ^{\mathop {\rm {MC}} }(f)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}),}$

ここで、評価ポイントはランダムに選択されます。モンテカルロの期待誤差は のオーダーであることはよく知られています。したがって、誤差のあるアルゴリズムのコストは のオーダーとなり、次元の呪いを破ります。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle n^{-1/2}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon ^{-2}}$

もちろん、計算の実践では疑似ランダム ポイントが使用されます。図 1 は、単位正方形上の 500 個の疑似ランダム ポイントの分布を示しています。

点が存在しない領域と、点が密集している領域があることに注意してください。積分関数を均一に分布した点でサンプリングすることが望ましいでしょう。長方形のグリッドは均一ですが、各直交座標方向に 2 つのグリッド ポイントしかない場合でも、点は存在します。したがって、望ましいのは、できるだけ少ない点を選択し、できるだけ均一にすることです。 ${\displaystyle 2^{d}}$

実は、この要望をまさに扱う、よく発達した数論の部分があります。不一致は均一性からの逸脱の尺度なので、望ましいのは不一致の少ないシーケンス (LDS) です。^[4] 500 LDS ポイントの分布の例を図 2 に示します。

発明者の名を冠した LDS が数多く作成されています。たとえば、次のとおりです。

• ハルトン、
• ハマーズリー、
• ソボル、
• フォーレ、
• ニーダーライター。

一般的に、準モンテカルロ法（QMC法）は次のように定義されます。

${\displaystyle \varphi ^{\mathop {\rm {QMC}} }(f)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}),}$

ここで、はLDS に属します。準モンテカルロという標準用語は、MC がランダムな方法であるのに対し、QMC は純粋に決定論的な方法であるため、やや不適切です。 ${\displaystyle x_{i}}$

LDSの一様分布が望ましい。しかしQMCの最悪の場合の誤差は

${\displaystyle {\frac {(\log n)^{d}}{n}},}$

ここで、 はサンプル点の数です。LDSの理論と文献の参照については^[4]を参照してください。LDS の収束率は、 である MC の期待収束率と対照的です。 が小さい場合、QMC の収束率は MC よりも高速ですが、 が大きい場合、この係数は壊滅的です。たとえば、 の場合、QMC の誤差は に比例します。したがって、世界を代表する専門家の間では、高次元積分には QMC を使用すべきではないと広く信じられていました。たとえば、1992 年に Bratley、Fox、Niederreiter ^{[5] は}、特定の数学の問題に関する広範なテストを実行しました。彼らは、「高次元の問題 (たとえば) では、QMC は M C に比べて実用的な利点はないようです」と結論付けています。1993 年に Rensburg と Torrie ^[6]は、剛体球流体のビリアル係数を計算する際に発生する高次元積分の数値推定について、QMC と MC を比較しました。彼らは、 の場合にのみ QMC が MC よりも効果的であると結論付けています。これからわか​​るように、担保付住宅ローン債務 (CMO) から生じる 360 次元積分のテストでは、まったく異なる結論が導き出されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{-1/2}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle (\log n)^{d}}$${\displaystyle d=360}$${\displaystyle \log n=2}$${\displaystyle 2^{360}}$${\displaystyle d>12}$${\displaystyle d<10}$

Woźniakowski の 1991 年の論文^[7]は、積分の平均ケース複雑度と QMC の関係を示し、QMC への新たな関心につながりました。Woźniakowski の結果は、科学雑誌でかなり取り上げられました。^{[8] [9]} 1992 年の初めに、ニューヨーク大学の IT Vanderhoof は Woźniakowski の結果に気づき、Woźniakowski の同僚であるコロンビア大学のJF Traubに、ゴールドマン サックスによって設定されたパラメータを持つ CMO を提供しました。この CMO には、それぞれ 360 次元積分の計算を必要とする 10 のトランシェがありました。Traub は、Ph.D. の学生 Spassimir Paskov に、CMO について QMC と MC を比較するように依頼しました。1992 年に Paskov は FinDer と呼ばれるソフトウェア システムを構築し、広範なテストを実行しました。コロンビアの研究グループが驚き、当初は信じられなかったことに、パスコフは QMC が常にさまざまな点で MC より優れていると報告した。詳細は以下に示す。予備的な結果は、1993 年秋と 1994 年春にパスコフとトラウブによってウォール街の複数の企業に提示された。これらの企業は当初、金融デリバティブの価格設定において QMC が MC より優れているという主張に懐疑的だった。1994 年 1 月の Scientific American 誌に掲載されたトラウブとウォズニアコフスキーによる記事^[9]では、理論的な問題が議論され、「特定の金融問題をテストして得られた予備的な結果は、実際の決定論的手法の優位性を示唆している」と報告されている。1994 年秋、パスコフはコロンビア大学コンピューター サイエンス レポートを執筆し、1997 年に若干修正された形で発表された。^[10]

1995年秋、パスコフとトラウブはThe Journal of Portfolio Management に論文 ^[11]を発表しました。彼らはMCと2つのQMC法を比較しました。2つの決定論的手法は、ソボルとハルトンの低乖離点を使用しました。より優れたLDSが後に作成されたため、ソボルとハルトンのシーケンスの比較は行われません。実験では、10トランシェCMOにおけるMCとQMCのパフォーマンスに関して次の結論が導き出されました。

• QMC法はMC法よりも収束が著しく速い。
• MCは初期シードに敏感であり、
• QMC の収束は MC の収束よりもスムーズです。これにより、QMC の自動終了が容易になります。

要約すると、QMC は、精度、信頼度、計算速度の点で CMO の MC を上回ります。

この論文に続いて、多くの研究者によるテスト報告が行われ、さまざまな高次元ファイナンス問題においてQMCがMCより優れているという結論に至った。これには、CaflischとMorokoff (1996)、^[12] Joy、Boyle、Tan (1996)、^[13] NinomiyaとTezuka (1996)、^[14] PapageorgiouとTraub (1996)、^[15] Ackworth、BroadieとGlasserman (ドイツ語版Wikipedia) (1997) の論文が含まれる。^[16]

CMO ^[15]のさらなるテストは、FinDerソフトウェアシステムの改良版を開発したAnargyros Papageorgiouによって実施されました。新しい結果は次のとおりです。

• サンプルポイント数が少ない:最も難しいCMOトランシェの場合、S. Tezuka ^[17]による一般化Faure LDSを使用したQMCは、わずか170ポイントで精度を達成します。MCでは、同じ精度を得るために2700ポイントが必要です。これが意味するのは、将来の金利と期限前返済率が不明であるため、金融機関は の精度で満足しているということです。${\displaystyle 10^{-2}}$${\displaystyle 10^{-2}}$
• 多数のサンプルポイント：サンプルサイズと精度の要求が大きくなるにつれて、QMCのMCに対する利点はさらに増幅されます。特に、QMCは中程度のサンプルサイズではMCよりも20～50倍高速であり、高精度が求められるQMCではMCよりも最大1000倍高速になることがあります^{[15] 。}

現在、QMCがMCを上回ると報告されている最高の次元は65536（です。^[18] このソフトウェアは、すべての次元に対してプロパティAを満たし、隣接する次元に対してプロパティA'を満たすSobol'シーケンスを生成するSobol'シーケンスジェネレータです。 ${\displaystyle 2^{16})}$SobolSeq65536

この記事でこれまでに報告された結果は経験的なものです。いくつかの理論的説明が提案されています。これは非常に研究が盛んな分野であり、強力な新しい概念を生み出していますが、明確な答えはまだ得られていません。

QMC が金融に適している理由の考えられる説明は次のとおりです。前述の CMO のトランシェについて考えてみましょう。積分は、360 か月間隔で 30 年の住宅ローンのバスケットから予想される将来のキャッシュ フローを示します。割引された貨幣価値のため、将来の時間を表す変数はますます重要ではなくなります。独創的な論文^[19]で、I. Sloan と H. Woźniakowski は 重み付き空間のアイデアを導入しました。これらの空間では、連続する変数への依存性は重みによって緩和できます。重みが十分に急速に減少すると、最悪のケースが保証されていても次元の呪いは解消されます。この論文は、積分やその他の問題の扱いやすさに関する膨大な研究につながりました^[20] 。 問題が扱いやすいのは、その複雑さが順序であり、次元に依存しない場合です。 ${\displaystyle \epsilon ^{-p}}$${\displaystyle p}$

一方、有効次元は、高次元積分の難しさの指標として、Caflisch、Morokoff、Owen ^[21]によって提案されました。その目的は、金融における超高次元積分の近似における準モンテカルロ法 (QMC) の驚くべき成功を説明することでした。彼らは、積分対象の有効次元が低いため、QMC はモンテカルロ法 (MC) よりもはるかに高速であると主張しました。Caflisch ら^[21]の主張の影響は大きかった。QMC の誤差と有効次元の関係を扱った論文は数多くあります。^{[22] [23]}

QMCは、有効次元が高い特定の関数に対しては機能しないことが知られています。^[5] しかし、有効次元が低いことは、QMCがMCに勝ち、高次元積分が扱いやすくなるための必要条件ではありません。 2005年に、手塚^[24]は 、すべて最大有効次元が に等しい変数 の関数のクラスを示しました 。 これらの関数では、QMCの収束率は のオーダーであるため、非常に高速です。ここで、 は関数評価の回数です。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n^{-1}}$${\displaystyle n}$

QMCは、等方性問題、つまりすべての変数が同等に重要である問題に対して、MCや他の方法よりも優れていることもあります。たとえば、PapageorgiouとTraub ^{[25]は、物理学者BD Keister [26]}が提案したモデル統合問題に関するテスト結果を報告しました。

${\displaystyle \left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{d/2}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\cos(\|x\|)e^{-\|x\|^{2}}\,dx,}$

ここで、 はユークリッドノルム、 は を表す。Keister は、標準的な数値計算法では 程度の相対誤差を得るために約 220,000 点必要だったと報告している。一般化されたフォーレ低乖離数列^[17] (QMC-GF)を使用した QMC 計算では、同じ相対誤差を得るために 500 点しか使用しなかった。同じ積分を までの値の範囲でテストした。その誤差は ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle d=25}$${\displaystyle 10^{-2}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=100}$

${\displaystyle c\cdot n^{-1},}$

${\displaystyle c<110}$ここで、は の評価回数です。これは、誤差が に比例する MC 法と比較できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n^{-1/2}}$

これらは経験的な結果である。理論的研究において、パパゲオルギウ^[27]は、上で定義した積分を含む次元等方積分のクラスに対するQMCの収束率が次のオーダーであることを証明した。 ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {\log n}}{n}}.}$

これは、モンテカルロの 予想収束率と比較して最悪のケースが保証されており、このタイプの積分に対する QMC の優位性を示しています。${\displaystyle n^{-1/2}}$

別の理論的研究において、パパゲオルギウ^[28]はQMCの高速収束のための十分条件を提示した。この条件は等方性および非等方性の問題に適用され、特に計算金融における多くの問題に当てはまる。彼は最悪の場合でもQMCの収束率が次のオーダーである関数のクラスを提示した。

${\displaystyle n^{-1+p(\log n)^{-1/2}}}$、

ここで、は関数のクラスに依存する定数です。 ${\displaystyle p\geq 0}$

しかし、これは十分な条件に過ぎず、次のセクションで提起する主要な疑問は未解決のままです。

1. どの高次元積分問題において QMC が MC より優れているかを特徴付けます。
2. QMC が MC より優れている金融商品の種類を特徴付けます。

• 金融におけるモンテカルロ法
• 歴史シミュレーション（金融）

• ブルーノ・デュピア(1998)。モンテカルロ: 価格設定とリスク管理のための方法論とアプリケーション。リスク。ISBN 1-899332-91-X。
• ポール・グラッサーマン（2003年）。金融工学におけるモンテカルロ法。Springer - Verlag。ISBN 0-387-00451-3。
• ピーター・イェッケル（2002年）。『モンテカルロ法による金融』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-471-49741-X。
• ドン・L・マクレイシュ（2005年）。モンテカルロシミュレーションとファイナンス。ISBN 0-471-67778-7。
• Christian P. Robert、George Casella (2004)。モンテカルロ統計手法。ISBN 0-387-21239-6。

• スプレッドシートはダウンロード可能です。マルコ・ディアス教授、PUC-Rio