収束行列

線形代数において、収束行列とは、行列の累乗によってゼロ行列に収束する行列のことです。

行列 Tの連続するべき乗が小さくなると (つまり、T を連続するべき乗で Tのすべての要素がゼロに近づくと)、行列Tはゼロ行列に収束します。非特異行列Aを規則的に分割すると、収束行列Tになります。行列Aを半収束的に分割すると、半収束行列Tになります。一般的な反復法は、Tが収束する場合、すべての初期ベクトルについて収束し、またTが半収束する 場合は、特定の条件下で収束します。

n × n行列T が収束行列であるとは、

各i = 1, 2, ..., nおよびj = 1, 2, ..., nについて。^{[1] [2] [3]}

させて

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Tの累乗を計算すると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} ^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{4}}\\[4pt]0&{\frac {1}{16}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{3}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{64}}&{\frac {3}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{64}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{4}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{256}}&{\frac {1}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{256}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{5}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{1024}}&{\frac {5}{512}}\\[4pt]0&{\frac {1}{1024}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{6}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4096}}&{\frac {3}{1024}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4096}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

そして、一般的には、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&{\frac {k}{2^{2k-1}}}\\[4pt]0&({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

以来

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}=0}$

そして

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {k}{2^{2k-1}}}=0,}$

T は収束行列です。ρ ( T ) = ⁠ であることに留意してください。1/4⁠、ここでρ ( T ) はTのスペクトル半径を表します。なぜなら⁠1/4⁠ はTの唯一の固有値です。

T をn × n行列とします。次の特性は、 T が収束行列であること と同等です。

1. ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0,}$何らかの自然規範のため;
2. ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0,}$すべての自然規範に対して;
3. ${\displaystyle \rho (\mathbf {T} )<1}$;
4. ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}\mathbf {x} =\mathbf {0} ,}$あらゆるxに対して。^{[4] [5] [6] [7]}

一般的な反復法は、線形方程式のシステムを

同等のシステムに変換すると、

ある行列Tとベクトルcに対して、初期ベクトルx ⁽⁰⁾が選択された後、近似解ベクトルの列が計算によって生成される。

である。 ^{[8] [9]} 任意の初期ベクトルx ⁽⁰⁾ ∈に対して、 ( 4 )で定義される数列は、各k ≥ 0およびc ≠ 0に対して、 ρ ( T ) < 1、つまりTが収束行列である場合にのみ、 ( 3 )の唯一の解に収束する。 ^{[10] [11]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \lbrace \mathbf {x} ^{\left(k\right)}\rbrace _{k=0}^{\infty}}$

行列 分割とは、与えられた行列を行列の和または差として表す表現である。上記の線形方程式系（2）において、Aが特異でない場合、行列Aは分割され、差として表される。

となるので、式（2 ）は上記の式（ 4 ）のように書き直すことができる。式（5）は、 B ⁻¹ ≥ 0かつC ≥ 0の場合に限り、A の正規分割である。つまり、B ⁻¹およびC は非負の要素のみを持つ。分割（5）が行列Aの正規分割であり、A ⁻¹ ≥ 0の場合、ρ ( T ) < 1 であり、T は収束行列である。したがって、方法（4）は収束する。^{[12] [13]}

n × n行列T が半収束行列であるとは、次の極限が成り立つときを 言う。

が存在する。^[14] Aが特異である可能性があるが（2）が矛盾しない 場合、つまりb がAの範囲内にある場合、（ 4 ）で定義される数列は、 Tが半収束する場合に限り、すべてのx ⁽⁰⁾ ∈に対して（ 2 ）の解に収束する。この場合、分割（5 ）はAの半収束分割と呼ばれる。^[15]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• ガウス・ザイデル法
• ヤコビ法
• 行列のリスト
• べき零行列
• 連続した過度のリラックス

• バーデン、リチャード L.; フェアーズ、J. ダグラス (1993)、数値解析(第 5 版)、ボストン: プリンドル、ウェーバー、シュミット、ISBN 0-534-93219-3。
• アイザックソン、ユージン、ケラー、ハーバート・ビショップ（1994）、数値解析法、ニューヨーク：ドーバー、ISBN 0-486-68029-0。
• Carl D. Meyer, Jr .; RJ Plemmons (1977 年 9 月)。「行列の収束べき乗と特異線形システムの反復法への応用」。SIAM Journal on Numerical Analysis。14 (4): 699– 705。doi :10.1137/0714047。
• Varga, Richard S. (1960)。「因数分解と正規化反復法」。Langer, Rudolph E. (編)。微分方程式の境界問題。マディソン:ウィスコンシン大学出版局。pp.  121– 142。LCCN  60-60003。
• Varga, Richard S. (1962)、Matrix Iterative Analysis、ニュージャージー：Prentice–Hall、LCCN  62-21277。