トレフツ法

数学において、トレフツ法は、ドイツの数学者エーリッヒ・トレフツ（1888年 - 1937年^） にちなんで名付けられた偏微分方程式の数値解法である。これは有限要素法の一種である。

ハイブリッド トレフツ有限要素法は、1970 年代後半に J. ジロウシェクによって導入されて以来、大幅に進歩しました。^[1]従来の有限要素解析法では、問題を支配する微分方程式を変分 関数に変換し、そこから要素の節点特性 (フィールド変数と呼ばれる) を求めます。これは、微分方程式に近似解を代入し、有限要素剛性マトリックスを生成することで解決できます。このマトリックスを連続体内のすべての要素と組み合わせて、グローバル剛性マトリックスを取得します。^[2]このグローバル マトリックスに適切な境界条件を適用し、それに続いてフィールド変数を解くことで数学的プロセスが完了し、その後、数値計算を使用して実際のエンジニアリング問題を解決できます。^{[1] [3]}

関数を解く上で重要な点は、各要素領域上の特性を独立に定義するため、与えられた境界条件を満たし、要素間の連続性を満たす解を見つけることです。^[1]

ハイブリッド トレフツ法は、想定される変位場と変分関数の定式化において、従来の有限要素法と異なります。従来の方法 (レイリー リッツ数学的手法に基づく) とは対照的に、トレフツ法 (トレフツ数学的手法に基づく) では、変位場が 2 つの独立したコンポーネントで構成されていると想定しています。つまり、支配的な微分方程式を満たし、要素領域内の電位の変化を近似するために使用される要素内変位場と、要素の境界で定義される要素間連続条件を具体的に満たす適合フレーム フィールドです。ここでのフレーム フィールドは、従来の有限要素法で使用されるものと同じですが、要素の境界で厳密に定義されます。そのため、この方法の命名法では「ハイブリッド」という用語が使用されています。想定される解場は支配的な微分方程式のみを満たすため、変分関数には境界条件を考慮するための追加の項を含める必要があります。^{[1] [3]}

従来の方法と比較したハイブリッド Trefftz 法の主な利点は次のとおりです。

1. この定式化では要素境界に沿った積分のみを要求しており、要素境界には曲線または多項式形状を使用することができる。
2. 変分関数を通して要素間の連続性を満たさない要素の展開基底を提示し、
3. この方法では、局所解関数を試行関数として使用することで、亀裂特異要素または有孔要素の開発が可能になります。^{[1] [3]}

この修正有限要素法は、弾性、キルヒホッフ板、厚板、一般的な3次元固体力学、反対称固体力学、ポテンシャル問題、シェル、弾性力学問題、幾何学的に非線形な板の曲げ、過渡熱伝導解析など、さまざまなアプリケーションでますます人気が高まっています。 ^{[1] [3]}現在、オーストラリアのキャンベラにあるオーストラリア国立大学（ANU）の工学情報技術学部（FEIT）で進行中の研究を通じて、定常、非乱流、非圧縮、ニュートン流体の流れのアプリケーションに適用されています。 ハイブリッドトレフツ法は、ポルトガルのリスボン工科大学、 Instituto Superior Técnicoで進行中の研究プロジェクトを通じて、水和した軟組織や水飽和多孔質媒体の計算モデル化など、いくつかの分野にも適用されています。

• Qin, QH (2000)、The Trefftz Finite and Boundary Element Method、サウサンプトン、イギリス：WIT Press、pp. 1–55
• Connor, JJ; Brebbia, CA (1976)、流体流れの有限要素法（第 3 版）、ブリストル、イギリス：Newnes-Butterworths
• Qin, QH (2004)、「弾塑性のためのハイブリッドトレフツ有限要素法の定式化」、応用数学モデリング、29 (2): 235–252、doi : 10.1016/j.apm.2004.09.004

• 「トレフツ法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ポルトガル、リスボンの高技術研究所におけるハイブリッド-トレフツ研究プロジェクト