ヴァンデルモンド行列

線型代数学において、ヴァンデルモンド行列は、アレクサンドル＝テオフィル・ヴァンデルモンドにちなんで名付けられた、各行に等比数列の項を持つ行列である。 ${\displaystyle (m+1)\times (n+1)}$

${\displaystyle V=V(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{m})={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}}$

の要素は、すべてのゼロベースのインデックスとに対して、数 のj^乗です。^[1]一部の著者は、ヴァンデルモンド行列を上記の行列の転置として定義しています。 ^{[2] [3]}${\displaystyle V_{i,j}=x_{i}^{j}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

正方ヴァンデルモンド行列の行列式（ の場合）は、ヴァンデルモンド行列式またはヴァンデルモンド多項式と呼ばれます。その値は次のとおりです。 ${\displaystyle n=m}$

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq m}(x_{j}-x_{i}).}$

すべてが異なる（2 つが等しくない）場合にのみ、これはゼロ以外となり、Vandermonde 行列は可逆になります。 ${\displaystyle x_{i}}$

多項式補間問題は、与えられたデータ点 に対して を満たす多項式を見つけることです。この問題は、次のように、ヴァンデルモンド行列を用いて線形代数の観点から再定式化できます。 は、行列乗算 を介して点 における の値を計算します。ここで、 は係数のベクトル、 は値のベクトルです (どちらも列ベクトルとして記述されます)。 ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$${\displaystyle p(x_{0})=y_{0},\ldots ,p(x_{m})=y_{m}}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{m},y_{m})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle x=x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{m}}$${\displaystyle Va=y}$${\displaystyle a=(a_{0},\ldots,a_{n})}$${\displaystyle y=(y_{0},\ldots ,y_{m})=(p(x_{0}),\ldots ,p(x_{m}))}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p(x_{0})\\p(x_{1})\\\vdots \\p(x_{m})\end{bmatrix}}.}$$とが異なる場合、V は非ゼロの行列式を持つ正方行列、つまり可逆行列である。したがって、Vとyが与えられれば、方程式の係数を解くことで必要な を求めることができる: ^[4]${\displaystyle n=m}$${\displaystyle x_{0},\dots ,\ x_{n}}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle Va=y}$

${\displaystyle a=V^{-1}y}$。

つまり、多項式の係数から値への写像は行列Vを持つ全単射の線型写像であり、補間問題は一意に解けます。この結果は、一解定理と呼ばれ、多項式に対する中国剰余定理の特殊なケースです。

統計学において、この式は、ヴァンデルモンド行列が多項式回帰の設計行列であることを意味します。 ${\displaystyle Va=y}$

数値解析では、ガウス消去法で単純に方程式を解くと、時間計算量がO( n ³ )のアルゴリズムになります。ヴァンデルモンド行列の構造を利用すると、ニュートンの差分法^[5] (またはラグランジュ補間公式^{[6] [7]} ) を使用して方程式を O( n ² ) 時間で解くことができ、これによりのUL 分解も得られます。結果として得られるアルゴリズムは、 が悪条件であっても、非常に正確な解を生成します。[ 2 ^] (多項式補間を参照) ${\displaystyle Va=y}$ ${\displaystyle V^{-1}}$${\displaystyle V}$

ヴァンデルモンド行列式は対称群の表現論で使われる。^[8]

値が有限体に属する場合、ヴァンデルモンド行列式はムーア行列式とも呼ばれ、 BCH コードやリード・ソロモン誤り訂正コードの理論において重要な特性を持ちます。 ${\displaystyle x_{i}}$

離散フーリエ変換は、特定のヴァンデルモンド行列、DFT行列によって定義されます。ここで、は1のn乗根になるように選択されます。高速フーリエ変換は、この行列と時間のベクトルの積を計算します。^[9]${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$

量子ホール効果の物理理論では、ヴァンデルモンド行列式は、充填係数 1 のラフリン波動関数がスレーター行列式に等しいことを示しています。これは、分数量子ホール効果の充填係数が 1 と異なる場合には当てはまりません。

多面体の幾何学において、ヴァンデルモンド行列は、巡回多面体の任意の -面の正規化された体積を与える。具体的には、がに対応する 巡回多面体の -面 である場合、${\displaystyle k}$${\displaystyle F=C_{d}(t_{i_{1}},\dots ,t_{i_{k+1}})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C_{d}(T)\subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle T=\{t_{1}<\cdots <t_{N}\}\subset \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mathrm {nvol} (F)={\frac {1}{k!}}\prod _{1\leq m<n\leq k+1}{(t_{i_{n}}-t_{i_{m}})}.}$$

正方ヴァンデルモンド行列の行列式はヴァンデルモンド多項式またはヴァンデルモンド行列式と呼ばれる。その値は多項式である。

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}$

すべてが異なる場合にのみ、ゼロ以外になります。 ${\displaystyle x_{i}}$

ヴァンデルモンド行列式は、以前は判別式と呼ばれることがありましたが、現在の用語では、多項式の判別式は根のヴァンデルモンド行列式の平方です。ヴァンデルモンド行列式はの交代形式であり、2 つを交換すると符号が変わるため、の順序に依存します。対照的に、判別式は順序に依存しないため、ガロア理論によれば、判別式はの係数の多項式関数になります。 ${\displaystyle p(x)=(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \det(V)}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \det(V)^{2}}$${\displaystyle p(x)}$

行列式の公式は、以下の 3 つの方法で証明されます。最初の方法では、多項式の性質、特に多変数多項式の一意の因数分解の性質を使用します。概念的には単純ですが、抽象代数の初歩的ではない概念が関係しています。2 番目の証明は、ベクトル空間の基底変換と線形マップの行列式の線型代数の概念に基づいています。その過程で、ヴァンデルモンド行列のLU 分解を計算します。3 番目の証明はより初歩的ですが、より複雑で、基本的な行と列の演算のみを使用します。

最初の証明は多項式の性質に依存します。

ライプニッツの公式により、は の多項式であり、係数は整数である。 - 番目の列のすべての要素の全次数は である。したがって、ライプニッツの公式により、行列式のすべての項の全次数は である。 ${\displaystyle \det(V)}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle (i-1)}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle 0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}};}$

(つまり、行列式はこの次数の同次多項式です)。

に対して をに代入すると、2つの等しい行を持つ行列が得られ、したがって行列式はゼロになります。したがって、因子定理において行列式を1変量と見なすと、はの約数であることがわかります。したがって、すべての および に対して、はの約数であることがわかります。${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle x_{i},}$${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$${\displaystyle \det(V).}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$${\displaystyle \det(V).}$

これをさらに強化して、 の約数すべての積が の約数であることを示します。確かに、を因数とする多項式とすると、ある多項式 に対してが の別の因数である場合、 をに代入すると はゼロになります。この代入後に因数がゼロになる場合、因数はゼロではないままであるためです。したがって、因数定理により、はを割り切り、 は を割り切ります。${\displaystyle \det(V)}$${\displaystyle \det(V).}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x_{i}-x_{j}}$${\displaystyle p=(x_{i}-x_{j})\,q,}$${\displaystyle q.}$${\displaystyle x_{k}-x_{l}}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{l}.}$${\displaystyle \{x_{i},x_{j}\}\neq \{x_{k},x_{l}\},}$${\displaystyle q}$${\displaystyle x_{i}-x_{j}}$${\displaystyle x_{k}-x_{l}}$${\displaystyle q,}$${\displaystyle (x_{i}-x_{j})\,(x_{k}-x_{l})}$${\displaystyle p.}$

このプロセスを1から繰り返していくと、それはすべての積で割り切れる。 ${\displaystyle \det(V),}$${\displaystyle \det(V)}$${\displaystyle x_{i}-x_{j}}$${\displaystyle i<j;}$

${\displaystyle \det(V)=Q\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),}$

ここで は多項式です。との積はすべて同じ次数 なので、この多項式は実際には定数です。 の対角要素の積は であり、これはのすべての因数の第 1 項を取ることによって得られる単項式でもあるため、この定数は 1 です。これにより が証明され、証明は終了です。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$${\displaystyle \det(V)}$${\displaystyle n(n+1)/2}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x_{1}x_{2}^{2}\cdots x_{n}^{n}}$${\displaystyle \textstyle \prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$${\displaystyle Q=1,}$

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

F を、 Fに係数を持つn次以下の多項式全体とFベクトル空間を含む体とする。 ${\displaystyle x_{i},}$${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \varphi :P_{n}\to F^{n+1}}$

によって定義される 線型写像である

${\displaystyle p(x)\mapsto (p(x_{0}),p(x_{1}),\ldots ,p(x_{n}))}$。

ヴァンデルモンド行列は、およびの標準基底に関する行列である。${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle F^{n+1}.}$

の基底を変えることは、ヴァンデルモンド行列に基底変換行列M（右から）を掛けることに等しい。Mの行列式が${\displaystyle P_{n}}$1 .

多項式、、、 … は、それぞれ次数 0、 1、 …、nの単項式である。単項式基底上のそれらの行列は、すべての対角要素が 1 に等しい上三角行列Uである（単項式が次数の増加順に並べられている場合）。したがって、この行列は、行列式が 1 である基底変換行列である。この新しい基底上の の行列は、 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle x-x_{0}}$${\displaystyle (x-x_{0})(x-x_{1})}$${\displaystyle (x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{n-1})}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&\ldots &0\\1&x_{1}-x_{0}&0&\ldots &0\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})&\ldots &(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})\cdots (x_{n}-x_{n-1})\end{bmatrix}}}$。

したがって、ヴァンデルモンド行列式はこの行列の行列式に等しくなり、対角要素の積になります。

これは望ましい等式を証明します。さらに、VのLU 分解は次のように得られます。 ${\displaystyle V=LU^{-1}}$

3 番目の証明は、行列の列に別の列のスカラーの積を加算しても行列式は変化しないという事実に基づいています。

したがって、最初の列を除く各列から、前の列に を掛けたものを減算しても、行列式は変化しません。（これらの減算は、まだ変更されていない列を減算するために、最後の列から開始して行う必要があります）。これにより、行列は次のようになります。 ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&0&0&0&\cdots &0\\1&x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\1&x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}}$

ラプラス展開の公式を第1行に適用すると、 が得られる。 ${\displaystyle \det(V)=\det(B)}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}}$

の - 行目のすべての要素はの因数を持つので、これらの因数を取り去ると、 ${\displaystyle i}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x_{i+1}-x_{0}}$

${\displaystyle \det(V)=(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})\cdots (x_{n}-x_{0}){\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}=\prod _{1<i\leq n}(x_{i}-x_{0})\det(V')}$、

ここで、は のヴァンデルモンド行列です。このプロセスをこの小さなヴァンデルモンド行列に対して繰り返すと、最終的に となるすべてのの積としての目的の表現が得られます。 ${\displaystyle V'}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle \det(V)}$${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$${\displaystyle i<j}$

• m × n の矩形ヴァンデルモンド行列で、m ≤ n となる行列の階数がmである場合、かつその場合のみ、すべてのx _iが異なる。
• m ≥ n となるm × n矩形ヴァンデルモンド行列の階数が n となるのは、異なるx iがn_個ある場合のみです。
• 正方ヴァンデルモンド行列は、 x _iが異なる場合にのみ逆行列が成り立つ。逆行列の明示的な公式は知られている（下記参照）。^{[10] [3] [11]}

応用で説明したように、を満たす多項式補間問題は、唯一の解 を持つ行列方程式 と同等です。補間問題を解く他の既知の公式があり、これは唯一の と同等でなければならない ため、逆行列 の明示的な公式を与える必要があります。特に、ラグランジュ補間は、逆行列 の列が ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$${\displaystyle p(x_{0})=y_{0},\ldots ,p(x_{n})=y_{n}}$${\displaystyle Va=y}$${\displaystyle a=V^{-1}y}$${\displaystyle a=V^{-1}y}$${\displaystyle V^{-1}}$

$${\displaystyle V^{-1}={\begin{bmatrix}1&x_{0}&\dots &x_{0}^{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\[.5em]1&x_{n}&\dots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}^{-1}=L={\begin{bmatrix}L_{00}&\!\!\!\!\cdots \!\!\!\!&L_{0n}\\\vdots &&\vdots \\L_{n0}&\!\!\!\!\cdots \!\!\!\!&L_{nn}\end{bmatrix}}}$$

ラグランジュ多項式の係数である

${\displaystyle L_{j}(x)=L_{0j}+L_{1j}x+\cdots +L_{nj}x^{n}=\prod _{0\leq i\leq n \atop i\neq j}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {f(x)}{(x-x_{j})\,f'(x_{j})}}\,,}$

ここで です。これは簡単に証明できます。多項式はに対してを満たすことは明らかですが、 に対しては を満たすため、積、つまり単位行列を計算できます。 ${\displaystyle f(x)=(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})}$${\displaystyle L_{j}(x_{i})=0}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle L_{j}(x_{j})=1}$${\displaystyle VL=[L_{j}(x_{i})]_{i,j=0}^{n}=I}$

前述のように、ヴァンデルモンド行列は、値 （ は異なる点）に基づいて次数の多項式の係数を求める線形代数補間問題を記述します。 が異なっていない場合は、この問題には一意の解がありません（対応するヴァンデルモンド行列は特異です）。ただし、繰り返し点における導関数の値を指定すると、問題は一意の解を持つことができます。たとえば、問題 ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle p(x_{1}),\,...,\,p(x_{n})}$${\displaystyle x_{1},\,...,\,x_{n}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\begin{cases}p(0)=y_{1}\\p'(0)=y_{2}\\p(1)=y_{3}\end{cases}}}$

ここで、 は、となるすべての に対して一意の解を持ちます。一般に、 は（必ずしも異なるとは限らない）数であり、簡単のために等しい値は隣接していると仮定します。 ${\displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$${\displaystyle y_{1}\neq y_{3}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$

${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{m_{1}},\ x_{m_{1}+1}=\cdots =x_{m_{2}},\ \ldots ,\ x_{m_{k-1}+1}=\cdots =x_{m_{k}}}$

ここで 、とが異なる。対応する補間問題は ${\displaystyle m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{k}=n,}$${\displaystyle x_{m_{1}},\ldots ,x_{m_{k}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}p(x_{m_{1}})=y_{1},&p'(x_{m_{1}})=y_{2},&\ldots ,&p^{(m_{1}-1)}(x_{m_{1}})=y_{m_{1}},\\p(x_{m_{2}})=y_{m_{1}+1},&p'(x_{m_{2}})=y_{m_{1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{2}-m_{1}-1)}(x_{m_{2}})=y_{m_{2}},\\\qquad \vdots &&&\qquad \vdots \\p(x_{m_{k}})=y_{m_{k-1}+1},&p'(x_{m_{k}})=y_{m_{k-1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{k}-m_{k-1}-1)}(x_{m_{k}})=y_{m_{k}}.\end{cases}}}$

この問題に対応する行列は合流型ヴァンデルモンド行列と呼ばれ、次のように表される。 の場合、（ と表記）に対して一意となる。 ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$${\displaystyle m_{\ell }<i\leq m_{\ell +1}}$${\displaystyle 0\leq \ell \leq k-1}$${\displaystyle m_{0}=0}$

${\displaystyle V_{i,j}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<i-m_{\ell },\\[6pt]{\dfrac {(j-1)!}{(j-(i-m_{\ell }))!}}x_{i}^{j-(i-m_{\ell })}&{\text{if }}j\geq i-m_{\ell }.\end{cases}}}$

このヴァンデルモンド行列の一般化により、この行列は非特異行列となり、方程式系に一意の解が存在し、ヴァンデルモンド行列のその他の特性のほとんどを備えています。この行列の行は、元のヴァンデルモンド行の導関数（ある順序）です。

この式を導く別の方法は、 が互いに近づくときに、ヴァンダーモンド行列の極限を取ることです。たとえば、 の場合を得るには、元のヴァンダーモンド行列の 2 行目から 1 行目を減算し、 とします。これにより、合流型ヴァンダーモンド行列の対応する行が得られます。これにより、与えられた値と導関数を持つ一般化補間問題が、異なる点を持つ元の場合の極限として導かれます。 を与えることは、小さい に対してを与えることと同様です。幾何学者は、配置空間 のコンパクト化として知られる、合流点をその接線に沿って追跡する問題を研究してきました。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$${\displaystyle x_{2}\to x_{1}}$${\displaystyle p(x_{i}),p'(x_{i})}$${\displaystyle p(x_{i}),p(x_{i}+\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$

• コンパニオン行列 § 対角化可能性
• シューア多項式– 一般化
• 交互行列
• ラグランジュ多項式
• ロンスキアン
• 行列のリスト
• 有限体上のムーア行列式
• ヴィエタの公式

• Ycart、Bernard (2013)、「数学的エポニミーの事例: ヴァンデルモンド行列式」、Revue d'Histoire des Mathématiques、13、arXiv : 1204.4716、Bibcode :2012arXiv1204.4716Y。

• ProofWiki の Vandermonde 行列