マルチカノニカルアンサンブル

統計学と物理学において、マルチカノニカルアンサンブル（マルチカノニカルサンプリングまたはフラットヒストグラムとも呼ばれる）は、メトロポリス-ヘイスティングスアルゴリズムを使用して、積分対象が複数の局所的最小値を持つ大まかな地形を持つ積分を計算するマルコフ連鎖モンテカルロサンプリング手法です。状態密度の逆数に従って状態をサンプリングしますが、^[1]これは事前にわかっているか、WangとLandauのアルゴリズムなどの他の手法を使用して計算する必要があります。^{[2]マルチカノニカルサンプリングは、}イジングモデルやスピングラスなどのスピンシステムにとって重要な手法です。^{[1] [3] [4]}

スピン系のような自由度の高い系では、モンテカルロ積分が必要である。この積分では、重要度サンプリング、特にメトロポリスアルゴリズムが非常に重要な手法である。^[3]しかし、メトロポリスアルゴリズムは、ベータが温度の逆数である状態に従って状態をサンプリングする。これは、エネルギースペクトル上のエネルギー障壁を克服するのが指数関数的に難しいことを意味する。^[1]ポッツモデルのように複数の局所エネルギー最小値を持つ系では、アルゴリズムが系の局所最小値で行き詰まるため、サンプリングが困難になる。^[3]このため、他のアプローチ、つまり他のサンプリング分布が求められる。 ${\displaystyle \exp(-\beta E)}$${\displaystyle \デルタE}$

マルチカノニカル アンサンブルは、メトロポリス アルゴリズムのサンプリング分布とは逆に、システムの状態密度の逆数によって与えられるサンプリング分布を持つメトロポリス-ヘイスティングス アルゴリズムを使用します。 ^[1]この選択により、平均して、各エネルギーでサンプリングされる状態の数は一定になります。つまり、エネルギーに関する「平坦なヒストグラム」を持つシミュレーションです。これにより、エネルギー障壁を克服することが難しくなくなるアルゴリズムが実現します。メトロポリス アルゴリズムに対するもう 1 つの利点は、サンプリングがシステムの温度に依存しないことです。つまり、1 回のシミュレーションですべての温度の熱力学的変数を推定できます (したがって、「マルチカノニカル」という名前が付けられています。複数の温度)。これは、一次相転移の研究における大きな進歩です。^[1]${\displaystyle \exp(-\beta E)}$

マルチカノニカルアンサンブルを実行する際の最大の問題は、状態密度を事前に知っておく必要があることです。^{[2] [3]}マルチカノニカルサンプリングへの重要な貢献の1つは、収束中に状態密度を計算しながら、マルチカノニカルアンサンブルに漸近的に収束するWangとLandauのアルゴリズムでした。 ^[2]

マルチカノニカルアンサンブルは物理システムに限定されず、コスト関数Fを持つ抽象システムにも適用できます。Fに関する状態密度を使用することで、この方法は高次元積分の計算や局所最小値の検出に汎用的になります。^[5]

における構成によって特徴付けられるシステムとその位相空間、およびシステムの位相空間から 1 次元空間への「コスト」関数F、つまりFのスペクトルについて考えます。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle F(\Omega )=\Gamma =[\Gamma _{\min },\Gamma _{\max }]}$

位相空間上の 平均量を計算するには、積分を評価する必要があります。${\displaystyle \langle Q\rangle }$

${\displaystyle \langle Q\rangle =\int _{\Omega }Q({\boldsymbol {r}})P_{r}({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}}$

ここで、各状態の重み（例えば、均一に分布した状態に対応）です。 ${\displaystyle P_{r}({\boldsymbol {r}})}$${\displaystyle P_{r}({\boldsymbol {r}})=1/V}$

Qが特定の状態に依存せず、特定のFの状態の値にのみ依存する場合、の式はディラックのデルタ関数を加えることでf上で積分でき、次のように表すことが できます。${\displaystyle F({\boldsymbol {r}})=F_{\boldsymbol {r}}}$${\displaystyle \langle Q\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle Q\rangle &=\int _{\Gamma _{\min }}^{\Gamma _{\max }}\int _{\Omega }Q(F_{\boldsymbol {r}})P_{r}(F_{\boldsymbol {r}})\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}\,df\\&=\int _{\Gamma _{\min }}^{\Gamma _{\max }}Q(f)\int _{\Omega }\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})P_{r}(F_{\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}\,df\\&=\int _{\Gamma _{\min }}^{\Gamma _{\max }}Q(f)P(f)\,df\\\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle P(f)=\int _{\Omega }P_{r}(r)\delta (f-F({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}}}$

F の周辺分布です。

システムの自由度が大きい場合、 の解析的表現を得ることは難しいことが多く、の計算にはモンテカルロ積分が一般的に用いられる。最も単純な定式化では、この方法ではN個の一様分布状態を選択し、推定量${\displaystyle \langle Q\rangle }$${\displaystyle \langle Q\rangle }$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}\in \Omega }$

${\displaystyle {\overline {Q}}_{N}=\sum _{i=1}^{N}Q({\boldsymbol {r}}_{i})VP_{r}({\boldsymbol {r}}_{i})}$

を計算すると、大数の強い法則によりほぼ確実に に収束します。 ${\displaystyle \langle Q\rangle }$${\displaystyle {\overline {Q}}_{N}}$${\displaystyle \langle Q\rangle }$

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }{\overline {Q}}_{N}=\langle Q\rangle .}$

この収束の典型的な問題の 1 つは、 Qの分散が非常に高くなる可能性があり、妥当な結果を得るために多大な計算労力が必要になることです。

この収束を改善するために、メトロポリス・ヘイスティングスアルゴリズムが提案されました。一般的に、モンテカルロ法の考え方は、任意の分布に従って状態をサンプリングし、適切な推定量を使用することで、重要度サンプリングを使用して推定量の収束を改善することです。 ${\displaystyle {\overline {Q}}_{N}}$${\displaystyle \pi ({\boldsymbol {r}})}$

${\displaystyle {\overline {Q}}_{N}=\sum _{i=1}^{N}Q({\boldsymbol {r}}_{i})\pi ^{-1}({\boldsymbol {r}}_{i})P_{r}({\boldsymbol {r}}_{i})}$。

この推定量は、任意の分布から抽出されたサンプルの平均の推定量を一般化します。したがって、が均一分布の場合、上記の均一サンプリングで使用される推定量に対応します。 ${\displaystyle \pi ({\boldsymbol {r}})}$

システムが熱浴と接触している物理システムである場合、各状態はボルツマン係数に従って重み付けされます。モンテカルロでは、正準集団はに比例するように選択することで定義されます。この状況では、推定量は単純な算術平均に対応します。 ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$${\displaystyle P_{r}({\boldsymbol {r}}_{i})\propto \exp(-\beta F_{\boldsymbol {r}})}$${\displaystyle \pi ({\boldsymbol {r}})}$${\displaystyle P_{r}({\boldsymbol {r}}_{i})}$

${\displaystyle {\overline {Q}}_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}Q({\boldsymbol {r}}_{i})}$

歴史的に、これは、元々のアイデア^[6]が、メトロポリス-ヘイスティングスアルゴリズムを使用して、重みがボルツマン因子によって与えられる熱浴と接触しているシステムの平均を計算するというものであったために起こりました。[ ^3]${\displaystyle P({\boldsymbol {x}})\propto \exp(-\beta E({\boldsymbol {r}}))}$

多くの場合、標本分布が重み分布として選択されますが、必ずしもそうである必要はありません。正準アンサンブルが効率的な選択ではない状況の 1 つは、収束するのに任意の長い時間がかかる場合です。^[1] これが起こる状況の 1 つは、関数 F に複数の局所的最小値がある場合です。局所的最小値を持つ特定の領域を離れるためのアルゴリズムの計算コストは​​、コスト関数の最小値の値とともに指数関数的に増加します。つまり、最小値が深いほど、アルゴリズムがそこで費やす時間が長くなり、離れるのが難しくなります (局所的最小値の深さとともに指数関数的に増加します)。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle P_{r}}$

コスト関数の極小値に陥らないようにする 1 つの方法は、サンプリング手法を極小値に対して「見えない」ようにすることです。これがマルチカノニカル アンサンブルの基礎です。

マルチカノニカルアンサンブルは、標本分布を次のように選択することによって定義されます。

${\displaystyle \pi ({\boldsymbol {r}})\propto {\frac {1}{P(F_{\boldsymbol {r}})}}}$

ここで、は上で定義したFの周辺分布である。この選択の結果、与えられた値fを持つサンプルの平均数m(f)は次のように与えられる。 ${\displaystyle P(f)}$

${\displaystyle m(f)=\int _{\Omega }\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})\pi ({\boldsymbol {r}})P_{r}({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}\propto \int _{\Omega }\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})P_{r}({\boldsymbol {r}}){\frac {1}{P(F_{\boldsymbol {r}})}}d{\boldsymbol {r}}={\frac {1}{P(f)}}\int _{\Omega }\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})P_{r}({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=1}$

つまり、サンプルの平均数はfに依存しません。すべてのコストf は、確率の多寡に関係なく、均等にサンプリングされます。これが「フラット ヒストグラム」という名前につながっています。熱浴と接触するシステムの場合、サンプリングは温度に依存せず、1 回のシミュレーションですべての温度を調べることができます。

他のモンテカルロ法と同様に、 から抽出されるサンプルには相関関係があります。相関関係の典型的な測定値は、トンネル時間です。トンネル時間は、シミュレーションがFのスペクトルの最小値と最大値の間を往復するために必要なマルコフステップ（マルコフ連鎖）の数によって定義されます。トンネル時間を使用する理由の 1 つは、スペクトルを横切るときに状態密度の最大値の領域を通過するため、プロセスの相関がなくなることです。一方、往復を使用すると、システムがすべてのスペクトルを訪れることが保証されます。 ${\displaystyle P({\boldsymbol {r}})}$

ヒストグラムは変数F上で平坦であるため、マルチカノニックアンサンブルはF値の 1 次元線上の拡散プロセス（つまりランダムウォーク）として見ることができます。プロセスの詳細なバランスは、プロセスにドリフトがないことを示しています。 ^[7]これは、局所ダイナミクスにおけるトンネル時間は拡散プロセスとしてスケーリングされ、したがってトンネル時間はスペクトルのサイズNの 2 乗でスケーリングされる必要があることを意味します。

${\displaystyle \tau _{tt}\propto N^{2}}$

しかし、いくつかのシステム（最も典型的なのはイジングモデル）では、スケーリングは重大な減速の影響を受けます。それは、特定のシステムによって異なります。^[4]${\displaystyle N^{2+z}}$${\displaystyle z>0}$

非局所ダイナミクスは、スケーリングを二次スケーリングに改善し^[8]（Wolffアルゴリズムを参照）、臨界減速を克服するために開発された。しかし、イジングモデルのようなスピンシステムで臨界減速の影響を受けない局所ダイナミクスが存在するかどうかは、まだ未解決の問題である。