ブロックLU分解

線形代数において、ブロック LU 分解は、ブロック行列を下ブロック三角行列Lと上ブロック三角行列Uに分解する行列分解です。この分解は、数値解析においてブロック行列式の複雑さを軽減するために使用されます。

ブロックLDU分解

{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&0\\CA^{-1}&I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&0\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\\0&I\end{pmatrix}}

ブロック行列を考えてみましょう:

{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\CA^{-1}\end{pmatrix}}\,A\,{\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}},

ここで、行列は非特異であると仮定され、適切な次元を持つ単位行列であり、要素がすべてゼロである行列です。 ${\begin{matrix}A\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}I\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}0\end{matrix}}$

上記の式を半行列を使って書き直すこともできます。

{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}\\CA^{-{\frac {*}{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{\frac {*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}}B\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}},

ここで、ブロック行列のシュアー補数は次のように定義される。 ${\begin{matrix}A\end{matrix}}$

{\begin{matrix}Q=D-CA^{-1}B\end{matrix}}

半行列はコレスキー分解またはLDL分解によって計算できる。半行列は以下を満たす。

{\begin{matrix}A^{\frac {1}{2}}\,A^{\frac {*}{2}}=A;\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A^{\frac {1}{2}}\,A^{-{\frac {1}{2}}}=I;\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A^{-{\frac {*}{2}}}\,A^{\frac {*}{2}}=I;\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}Q^{\frac {1}{2}}\,Q^{\frac {*}{2}}=Q.\end{matrix}}

したがって、

{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=LU,

どこ

LU={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}&0\\CA^{-{\frac {*}{2}}}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{\frac {*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}}B\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}}.

この行列は代数的に次のように分解できる。 ${\begin{行列}LU\end{行列}}$

L={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}&0\\CA^{-{\frac {*}{2}}}&Q^{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\mathrm {~~および~~} U={\begin{pmatrix}A^{\frac {*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}}B\\0&Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}}.