撮影方法

境界値問題は、StoerとBulirsch ^{[ 2 ]}（セクション7.3.1）によって次のように与えられています。

$${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2}(t),\quad w(0)=4,\quad w(1)=1}$$

初期値問題$${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2}(t),\quad w(0)=4,\quad w'(0)=s}$$s = −1, −2, −3, ..., −100 について解かれ、 F ( s ) = w (1; s ) − 1 が図 2 にプロットされています。Fのプロットを調べると、−8 と −36 付近に根があることがわかります。w ( t ; s ) のいくつかの軌跡が図1に示されています。

StoerとBulirsch ^{[ 2 ]}は、代数的方法によって見つけることができる2つの解が存在すると述べている。

これらは初期条件w ′(0) = −8 およびw ′(0) = −35.9 (近似値) に対応します。

シューティング法は固有値問題の解法にも使用できる。量子調和振動子の時間独立シュレーディンガー方程式を考えてみよう。$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi _{n}''(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x).}$$量子力学では、規格化可能な波動関数を求める。${\displaystyle \psi _{n}(x)}$境界条件に従う対応するエネルギー$${\displaystyle \psi _{n}(x\rightarrow +\infty )=\psi _{n}(x\rightarrow -\infty )=0.}$$この問題は解析的に解いてエネルギーを求めることができる。${\displaystyle E_{n}=n+1/2}$のために${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$しかし、これはシューティング法の優れた例証としても機能します。この方法を適用するには、まずシュレーディンガー方程式の一般的な性質をいくつか確認する必要があります。

• もし${\displaystyle \psi _{n}(x)}$は固有関数なので、${\displaystyle C\psi _{n}(x)}$任意の非ゼロ定数に対して${\displaystyle C}$。
• の${\displaystyle n}$第 1 励起状態${\displaystyle \psi _{n}(x)}$もっている${\displaystyle n}$根元${\displaystyle \psi _{n}(x)=0}$。
• たとえ${\displaystyle n}$、${\displaystyle n}$第 1 励起状態${\displaystyle \psi _{n}(x)=\psi _{n}(-x)}$対称性があり、原点においてゼロではない。
• 奇数の場合${\displaystyle n}$、${\displaystyle n}$第 1 励起状態${\displaystyle \psi _{n}(x)=-\psi _{n}(-x)}$反対称であるため、原点でゼロとなる。

見つけるために${\displaystyle n}$第 1 励起状態${\displaystyle \psi _{n}(x)}$そしてそのエネルギー${\displaystyle E_{n}}$射撃方法は次のとおりです。

1. エネルギーを推測する${\displaystyle E_{n}}$。
2. シュレーディンガー方程式を積分します。例えば、中心差分法を用います。$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\psi _{n}^{i+1}-2\psi _{n}^{i}+\psi _{n}^{i-1}}{{\Delta x}^{2}}}+{\frac {1}{2}}(x^{i})^{2}\psi _{n}^{i}=E_{n}\psi _{n}^{i}.}$$
   • もし${\displaystyle n}$偶数、セット${\displaystyle \psi _{0}}$任意の数（例えば）${\displaystyle \psi _{n}^{0}=1}$—波動関数は積分後に正規化できます）そして対称性を使用して残りのすべてを見つけます${\displaystyle \psi _{n}^{i}}$。
   • もし${\displaystyle n}$奇妙だ、セット${\displaystyle \psi _{n}^{0}=0}$そして${\displaystyle \psi _{n}^{1}}$任意の数（例えば）${\displaystyle \psi _{n}^{1}=1}$— 波動関数は積分後に正規化できます）そして残りのすべてを見つけます${\displaystyle \psi _{n}^{i}}$。
3. の根を数える${\displaystyle \psi _{n}}$そしてエネルギーの推測を洗練させる${\displaystyle E_{n}}$。
   • もしあるなら${\displaystyle n}$根の数が少ない、または推定エネルギーが低すぎる場合は、エネルギーを増やしてプロセスを繰り返します。
   • より多い場合${\displaystyle n}$根の場合、推測されたエネルギーが高すぎるので、それを下げてプロセスを繰り返します。

エネルギーの推定は二分法を用いて行うことができ、エネルギー差が十分に小さくなった時点で処理を終了できる。その後、その区間内の任意のエネルギーを正しいエネルギーとみなすことができる。