線形行列不等式

凸最適化において、線形行列不等式（LMI）は次の形式の表現である。

${\displaystyle \operatorname {LMI} (y):=A_{0}+y_{1}A_{1}+y_{2}A_{2}+\cdots +y_{m}A_{m}\succeq 0\,}$

どこ

• ${\displaystyle y=[y_{i}\,,~i\!=\!1,\dots ,m]}$実数ベクトルである。
• ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}}$は対称行列であり、${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$
• ${\displaystyle B\succeq 0}$は一般化不等式であり、対称行列の部分空間内の半正定値円錐に属する半正定値行列であることを意味します。${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {S} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {S} }$

この線形行列不等式は、上の 凸制約を指定します。 ${\displaystyle y}$

LMI が実行可能かどうか (たとえば、LMI( y ) ≥ 0となるベクトルyが存在するかどうか) を判定したり、LMI 制約付きの凸最適化問題を解決したりするための効率的な数値手法があります。制御理論、システム同定、信号処理における多くの最適化問題は、 LMI を使用して定式化できます。また、LMI は多項式二乗和にも応用されています。プロトタイプの主半正定値計画と双対半正定値計画は、この LMI を支配する主凸錐と双対凸錐に従う実線形関数の最小化です。

凸最適化における大きな進歩は、内点法の導入でした。これらの方法は一連の論文で開発され、 Yurii NesterovとArkadi Nemirovskiの研究における LMI 問題の文脈で真に興味深いものとなりました。

• 半正定値計画法
• スペクトラヘドロン
• フィンスラーの補題

• Y. Nesterov と A. Nemirovsky、「凸計画法における内点多項式法」、 SIAM、1994 年。

• S. Boyd、L. El Ghaoui、E. Feron、および V. Balakrishnan、「システムと制御理論における線形行列不等式」(PDF 形式の書籍)
• C. Scherer と S. Weiland、「制御における線形行列不等式」