後退微分法の公式

後退微分公式( BDF )は、常微分方程式の数値積分のための暗黙法のファミリーです。これは、与えられた関数と時間に対して、すでに計算された時点の情報を使用してその関数の導関数を近似し、近似の精度を高める線形多段階法です。これらの方法は、特にスティフ微分方程式の解法に使用されます。この方法は、 1952 年にCharles F. Curtiss とJoseph O. Hirschfelderによって初めて導入されました。^{[1] 1967 年に、この分野は}C. William Gearによって、彼の以前の未発表の研究に基づく独創的な論文で形式化されました。 ^[2]

BDFは初期値問題を解くために使用される。

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

BDFの一般的な式は次のように表される^[3]。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{s}a_{k}y_{n+k}=h\beta f(t_{n+s},y_{n+s}),}$

ここで、 はステップ サイズ、 を表します。は未知の に対して評価されるため、BDF 法は暗黙的であり、各ステップで非線形方程式を解く必要がある場合があります。 係数と は、この方法が可能な限り最大の 次数 を達成するように選択されます。${\displaystyle h}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y_{n+s}}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle s}$

式から始めて、 および を近似します。ここで、 は点 のラグランジュ補間多項式です。これを使用して 1を掛けると、次数 の BDF 法に到達します。 ${\textstyle y'(t_{n+s})=f(t_{n+s},y(t_{n+s}))}$${\displaystyle y(t_{n+s})\approx y_{n+s}}$${\displaystyle y'(t_{n+s})\approx p_{n,s}'(t_{n+s})}$${\displaystyle p_{n,s}(t)}$${\displaystyle (t_{n},y_{n}),\ldots ,(t_{n+s},y_{n+s})}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}$${\displaystyle h}$${\displaystyle s}$

s < 7のsステップBDFは以下の通りである: ^[4]

• BDF1: (これは後退オイラー法です)$${\displaystyle y_{n+1}-y_{n}=hf(t_{n+1},y_{n+1})}$$
• BDF2:$${\displaystyle y_{n+2}-{\tfrac {4}{3}}y_{n+1}+{\tfrac {1}{3}}y_{n}={\tfrac {2}{3}}hf(t_{n+2},y_{n+2})}$$
• BDF3:$${\displaystyle y_{n+3}-{\tfrac {18}{11}}y_{n+2}+{\tfrac {9}{11}}y_{n+1}-{\tfrac {2}{11}}y_{n}={\tfrac {6}{11}}hf(t_{n+3},y_{n+3})}$$
• BDF4:$${\displaystyle y_{n+4}-{\tfrac {48}{25}}y_{n+3}+{\tfrac {36}{25}}y_{n+2}-{\tfrac {16}{25}}y_{n+1}+{\tfrac {3}{25}}y_{n}={\tfrac {12}{25}}hf(t_{n+4},y_{n+4})}$$
• BDF5:$${\displaystyle y_{n+5}-{\tfrac {300}{137}}y_{n+4}+{\tfrac {300}{137}}y_{n+3}-{\tfrac {200}{137}}y_{n+2}+{\tfrac {75}{137}}y_{n+1}-{\tfrac {12}{137}}y_{n}={\tfrac {60}{137}}hf(t_{n+5},y_{n+5})}$$
• BDF6:$${\displaystyle y_{n+6}-{\tfrac {360}{147}}y_{n+5}+{\tfrac {450}{147}}y_{n+4}-{\tfrac {400}{147}}y_{n+3}+{\tfrac {225}{147}}y_{n+2}-{\tfrac {72}{147}}y_{n+1}+{\tfrac {10}{147}}y_{n}={\tfrac {60}{147}}hf(t_{n+6},y_{n+6})}$$

s > 6の方法はゼロ安定ではないので使用できない。^[5]

硬い方程式を解く数値法の安定性は、絶対安定領域によって示されます。BDF 法の場合、これらの領域は以下のグラフに示されています。

理想的には、領域には複素平面の左半分が含まれており、その場合、この方法は A 安定であるといわれます。しかし、次数が 2 を超える線形多段階法はA 安定ではありません。高次の BDF 法の安定領域には、左半平面の大部分、特に負の実軸全体が含まれます。BDF 法は、この種の線形多段階法の中で最も効率的な方法です。^[5]

• Ascher, UM; Petzold, LR (1998)、「常微分方程式と微分代数方程式のコンピュータ手法」、SIAM、フィラデルフィア、ISBN 0-89871-412-5。
• イザールズ、アリエ（1996）、微分方程式の数値解析入門、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-55655-2。
• スーリ、エンドレ、メイヤーズ、デイヴィッド（2003）、数値解析入門、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-00794-1。

• SUNDIALS wiki の BDF メソッド (SUNDIALS は、BDF メソッドおよび同様のアルゴリズムを実装するライブラリです)。