台形法則

微積分学において、台形則（台形則または台形律とも呼ばれる）^[a]は数値積分、すなわち定積分を近似する手法である。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

台形則は、関数のグラフの下の領域を 台形として近似し、その面積を計算することによって機能します。 ${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (ba)\cdot {\tfrac {1}{2}}(f(a)+f(b)).}$$

台形則は、左右のリーマン和 を平均 化することによって得られる結果と見なすことができ、このように定義されることもあります。積分は、積分区間 を分割し、各サブ区間に台形則を適用して結果を合計することによって、さらに適切に近似することができます。実際には、この「連鎖した」（または「合成」）台形則は、通常、「台形則による積分」という意味です。をの分割として、 を番目のサブ区間の長さ（つまり）とすると、 となります。多くの場合そうで あるように、分割が規則的な間隔を持つ場合、つまり がすべて同じ値を持つ場合、計算効率を高めるために、式を因数分解して簡略化することができます。 ${\displaystyle \{x_{k}\}}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a=x_{0}、x_{1}、x_{N-1}、x_{N}=b}$${\displaystyle \Delta x_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}.}$$${\displaystyle \Delta x_{k}}$${\displaystyle \Delta x,}$${\displaystyle \Delta x}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\right).}$$

パーティションの解像度が高くなるにつれて、近似値はより正確になります (つまり、 が大きいほど、すべてが減少します)。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \Delta x_{k}}$

以下で説明するように、台形則を使用して推定された定積分の値の精度に誤差境界を設定することも可能です。

2016年のサイエンス誌の論文によると、紀元前50年以前のバビロニアでは、黄道に沿った木星の速度を積分するために台形法則が使用されていたと報告されています。^[1]

グリッド間隔が均一でない場合は、次の式を使用することができる 。$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k},}$$${\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}.}$

等間隔のパネル に分割された領域では、かなりの簡略化が行われる可能性がある。 積分の近似は次の ように表される。${\displaystyle N}$$${\displaystyle \Delta x_{k}=\Delta x={\frac {ba}{N}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(f(x_{k-1})+f(x_{k})\right)\\[1ex]&={\frac {\Delta x}{2}}{\Biggl (}f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N-1})+f(x_{N}){\Biggr )}\\[1ex]&=\Delta x\left({\frac {f(x_{N})+f(x_{0})}{2}}+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})\right).\end{aligned}}}$$

合成台形則の誤差は、積分値と数値結果の差です。 $${\displaystyle {\text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {ba}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {ba}{N}}\right)\right]}$$

aとbの間には数ξが存在し、^[2] $${\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(ba)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )}$$

したがって、積分関数が上向きに凹んでいる場合(つまり、2 次導関数が正の場合)、誤差は負になり、台形法則は真の値を過大評価します。これは幾何学的な図からもわかります。台形は曲線の下の領域をすべて含み、曲線の上に広がります。同様に、下向きに凹んでいる関数は、曲線の下の領域は考慮されず、上の領域は考慮されないため、過小評価になります。近似する積分の区間に変曲点が含まれている場合、誤差の符号を識別するのが難しくなります。

N → ∞の漸近誤差推定は次のように与えられます 。この誤差推定のその他の項は、オイラー・マクローリンの和公式によって与えられます。 $${\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(ba)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).}$$

エラーを分析するためには、次のようないくつかの手法が用いられる。^[3]

1. フーリエ級数
2. 残渣計算
3. オイラー・マクローリンの和公式^{[4] [5]}
4. 多項式補間^[6]

台形則の収束速度は関数の滑らかさのクラスの定義を反映しており、その定義として使用できると主張されている。^[7]

まず、 およびと仮定します。 が、 が区間 の 1 つにおける台形則の誤差であるような関数であるとします。すると 、 および ${\displaystyle h={\frac {ba}{N}}}$${\displaystyle a_{k}=a+(k-1)h}$$${\displaystyle g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)\,dx}$$${\displaystyle |g_{k}(h)|}$${\displaystyle [a_{k},a_{k}+h]}$$${\displaystyle {dg_{k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),}$$$${\displaystyle {d^{2}g_{k} \over dt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f''(a_{k}+t).}$$

ここで、が十分に滑らかな場合に が成り立つと仮定します。すると が成立し 、 または と 同等に なります。${\displaystyle \left|f''(x)\right|\leq \left|f''(\xi )\right|,}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \left|f''(a_{k}+t)\right|\leq f''(\xi )}$$${\displaystyle -f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\leq f''(\xi )}$${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2}}.}$

および、 および​${\displaystyle g_{k}'(0)=0}$${\displaystyle g_{k}(0)=0}$$${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}''(x)dx=g_{k}'(t)}$$$${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).}$$

これら の結果を用いて、 $${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}\leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}}$$$${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}\leq g_{k}(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}}$$

見つけ られるように${\displaystyle t=h}$$${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}.}$$

全ての局所誤差項を合計すると、 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.}$$

しかし、私たちはまた 、 $${\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)\leq \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}},}$$

となることによって

$${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.}$$

したがって、総誤差は

$${\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.}$$

台形則は周期関数に対して急速に収束します。これはオイラー・マクローリンの和公式から簡単に導かれる結果で、 が周期 で連続的に微分可能である場合、 となり、は 番目のベルヌーイ多項式の周期的拡大となります。^[8]周期性により、端点での導関数は打ち消され、誤差は となります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int _{0}^{T}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0))-(-1)^{p}h^{p}\int _{0}^{T}{\tilde {B}}_{p}(x/T)f^{(p)}(x)\,dx}$$${\displaystyle h:=T/N}$${\displaystyle {\tilde {B}}_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle O(h^{p})}$

同様の効果は、ガウス関数、指数関数的に修正されたガウス関数、および積分限界での導関数が無視できるその他の関数などのピーク状関数にも適用できます。^[9]ガウス関数の完全積分を台形則で1%の精度で評価するには、わずか4点しか使用できません。^[10] シンプソンの定理では、同じ精度を達成するには1.8倍の点が必要です。^{[10] [11]}

オイラー・マクローリンの総和公式を高次元に拡張する努力はいくつかなされてきたが、^[12]高次元での台形則の急速な収束の最も直接的な証明は、問題をフーリエ級数の収束の問題に還元することである。この推論は、が連続導関数を持つ次元空間上で周期的である場合、収束速度は であることを示す。非常に大きな次元の場合、 はモンテカルロ積分がおそらくより良い選択であることを示すが、2 次元および 3 次元の場合、等間隔サンプリングが効率的である。これは計算固体物理学で利用されており、逆格子のプリミティブセル上の等間隔サンプリングは モンクホルスト・パック積分として知られている。^[13]${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle O(h^{p/d})}$

C ²に含まれない関数の場合、上記の誤差境界は適用できません。それでも、そのような大まかな関数の誤差境界を導くことはできますが、これは通常、上記の挙動よりも関数評価の回数に応じて収束が遅くなります。興味深いことに、この場合、台形則は、同じ関数評価回数に対してシンプソン則よりも鋭い境界を持つことがよくあります。 ^[14]${\displaystyle N}$${\displaystyle O(N^{-2})}$

台形則はニュートン・コーツの公式と呼ばれる数値積分公式の族の1つであり、その中点則は台形則に似ています。シンプソンの法則も同じ族の1つであり、2回連続微分可能な関数については一般に台形則よりも収束が速いですが、すべての特定の場合にそうとは限りません。しかし、より粗い関数（より弱い平滑条件を持つ関数）のさまざまなクラスについては、台形則は一般にシンプソンの法則よりも収束が速いです。^[14]

さらに、周期関数をその周期にわたって積分すると台形則は非常に正確になる傾向があり、さまざまな方法で分析することができます。^{[7] [11]}ピーク関数でも同様の効果が期待できます。^{[10] [11]}

しかし、非周期関数の場合、ガウス積分法やクレンショウ・カーティス積分法などの不等間隔の点を用いる方法の方が一般にはるかに正確です。クレンショウ・カーティス積分法は、任意の積分を周期積分で表現するための変数変換と見なすことができ、その時点で台形則を正確に適用できます。

次の積分が与えられます。 $${\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}{5xe^{-2x}{dx}}}$$

解決

• ガウス積分
• ニュートン・コーツの公式
• 長方形法
• ロンバーグ法
• シンプソンの法則
• ボルテラ積分方程式 § 台形則を用いた数値解法

ウィキブックAレベル数学には、台形の定理に関するページがあります。

• 台形の公式。IP ミソフスキー、『数学百科事典』、M. ハゼウィンケル編
• 台形則積分の収束に関する注釈
• Boost.Math が提供する台形求積法の実装