ウェイア標準形

数学、線型代数において、ウェイア標準形（ウェイアきょうせいか、Weyr standard form）とは、（ある意味で）交換する行列に「良い」特性を誘導する正方行列である。また、特に単純な構造を持ち、ウェイア形式となる条件はかなり弱いため、交換行列のクラスを研究するのに適したツールとなっている。正方行列がウェイア標準形であるとは、行列がウェイア標準形を定義する構造を持つ場合である。ウェイア形式は、1885年にチェコの数学者エドゥアルト・ウェイアによって発見された。 ^{[1] [2] [3]ウェイア形式は数学者の間では人気がなく、}ジョルダン標準形という 名前で知られる、密接に関連しているが異なる標準形に隠れてしまった。^[3]ウィアー形式は、1885年にウィアーが最初に発見して以来、何度も再発見されている。 ^[4] この形式は、修正ジョーダン形式、並べ替えられたジョーダン形式、第二ジョーダン形式、 H形式など、さまざまな名前で呼ばれてきた。^[4]現在の用語は、 1999年にアメリカ数学月刊誌に掲載された論文でシャピロが導入した。^{[4] [5]}

最近、Weyr 行列のいくつかの応用が発見されました。特に興味深いのは、生物数学における系統発生不変量の研究における Weyr 行列の応用です。

固有値 を持つ基本的なWeyr行列は、次の形式の行列 である。整数分割が存在する。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}=n}$のと ​${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots \geq n_{r}\geq 1}$

をブロック行列（ブロックは 行列）として見ると、次の3つの特徴が存在します。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle r\times r}$ ${\displaystyle (W_{ij})}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle W_{ij}}$${\displaystyle n_{i}\times n_{j}}$

1. 主な対角ブロックはのスカラー行列です。${\displaystyle W_{ii}}$${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$ ${\displaystyle \lambda I}$${\displaystyle i=1,\ldots,r}$
2. 最初の超対角ブロックは、の縮小された行階段形式（つまり、単位行列の後にゼロ行が続く）の完全な列ランク行列です。${\displaystyle W_{i,i+1}}$ ${\displaystyle n_{i}\times n_{i+1}}$${\displaystyle i=1,\ldots,r-1}$
3. Wの他のすべてのブロックはゼロです (つまり、の場合)。${\displaystyle W_{ij}=0}$${\displaystyle j\neq i,i+1}$

この場合、 はWeyr 構造を持つと言えます。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle (n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})}$

以下は基本的な Weyr マトリックスの例です。

この行列では、および です。Weyr構造も同様です。また、 ${\displaystyle n=9}$${\displaystyle n_{1}=4,n_{2}=2,n_{3}=2,n_{4}=1}$${\displaystyle W}$${\displaystyle (4,2,2,1)}$

そして

を正方行列とし、をの異なる固有値とします。 が 次の形式である 場合、 は Weyr 形式である (または Weyr 行列である)と言います。${\displaystyle W}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

ここで、 は の 固有値を持つ基本的な Weyr 行列です。 ${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$

次の図は、3 つの基本的な Weyr 行列ブロックで構成される一般的な Weyr 行列の例を示しています。左上隅の基本 Weyr 行列は、固有値が 4 である構造 (4,2,1) を持ち、中央のブロックは、固有値が -3 である構造 (2,2,1,1) を持ち、右下隅のブロックは、固有値が 0 である構造 (3, 2) を持ちます。

ウェイア標準形式は、各ウェイア基本ブロックの単純な順列によってジョルダン形式と次のように関連しています。各ウェイアサブブロックの最初のインデックスは、最大のジョルダン連鎖を形成します。これらの行と列を消した後、各新しいサブブロックの最初のインデックスは、2番目に大きいジョルダン連鎖を形成します。以下同様です。^[6]${\displaystyle W=P^{-1}JP}$${\displaystyle J}$${\displaystyle P}$

ウェイア形式が行列の標準形であることは、次の結果から導かれます。^[3] 代数的に閉じた体上の各正方行列は、その基本ブロックの順列を除いて一意であるウェイア行列に類似しています。この行列はのウェイア（標準）形式と呼ばれます。${\displaystyle A}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$

を代数的に閉じた体上のの正方行列とし、の異なる固有値を とします。ジョルダン・シュヴァレー分解定理によれば、 はの形式のブロック対角行列に 類似しています。${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\lambda _{1}I+N_{1}&&&\\&\lambda _{2}I+N_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&\lambda _{k}I+N_{k}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}I&&&\\&\lambda _{2}I&&\\&&\ddots &\\&&&\lambda _{k}I\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}N_{1}&&&\\&N_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&N_{k}\\\end{bmatrix}}=D+N}$

ここで、は対角行列、はべき零行列、 であり、をサブブロック に縮約することが正当化されます。したがって、 Weyr 形式に縮約する問題は、べき零行列を Weyr 形式に縮約する問題に帰着します。これは、一般化された固有空間分解定理につながります。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle N}$${\displaystyle [D,N]=0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle N_{i}}$

代数的に閉じた体上の のべき零正方行列が与えられた場合、次のアルゴリズムはとなる可逆行列と Weyr 行列を生成します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W=C^{-1}AC}$

ステップ1

させて${\displaystyle A_{1}=A}$

ステップ2

1. の ヌル空間の基底を計算します。${\displaystyle A_{1}}$
2. のヌル空間の基底を - 次元ベクトル空間 の基底に 拡張します。${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F^{n}}$
3. これらの基底ベクトルからなる行列を形成します 。${\displaystyle P_{1}}$
4. を計算します。はサイズ− nullity の正方行列です 。${\displaystyle P_{1}^{-1}A_{1}P_{1}={\begin{bmatrix}0&B_{2}\\0&A_{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (A_{1})}$

ステップ3

がゼロ以外の場合は、 で手順 2 を繰り返します。 ${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{2}}$

1. のヌル空間の基底を計算します 。${\displaystyle A_{2}}$
2. の零空間の基底を 次元− 零性 を持つベクトル空間の基底に拡張します。${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (A_{1})}$
3. これらの基底ベクトルからなる行列を形成します 。${\displaystyle P_{2}}$
4. を計算します。はサイズが− nullity − nullityの正方行列です 。${\displaystyle P_{2}^{-1}A_{2}P_{2}={\begin{bmatrix}0&B_{3}\\0&A_{3}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (A_{1})}$${\displaystyle (A_{2})}$

ステップ4

最初のゼロ行列が得られるまで、ステップ 1 と 2 のプロセスを継続して、徐々に小さくなる正方行列 と関連する可逆行列を取得します。 ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},\ldots }$${\displaystyle A_{r}}$

ステップ5

の Weyr 構造は、=ゼロです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle (n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle (A_{i})}$

ステップ6

1. 行列を計算します(ここで、 は適切なサイズの単位行列です)。${\displaystyle P=P_{1}{\begin{bmatrix}I&0\\0&P_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\0&P_{3}\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}I&0\\0&P_{r}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle I}$
2. を計算します。は次の形式の行列です。${\displaystyle X=P^{-1}AP}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}0&X_{12}&X_{13}&\cdots &X_{1,r-1}&X_{1r}\\&0&X_{23}&\cdots &X_{2,r-1}&X_{2r}\\&&&\ddots &\\&&&\cdots &0&X_{r-1,r}\\&&&&&0\end{bmatrix}}}$。

ステップ7

基本的な行演算を使用して、積が形式の行列となるような適切なサイズの可逆行列を見つけます。 ${\displaystyle Y_{r-1}}$${\displaystyle Y_{r-1}X_{r,r-1}}$${\displaystyle I_{r,r-1}={\begin{bmatrix}I\\O\end{bmatrix}}}$

ステップ8

diag を設定し、 を計算します。この行列では、-ブロックは です。 ${\displaystyle Q_{1}=}$${\displaystyle (I,I,\ldots ,Y_{r-1}^{-1},I)}$${\displaystyle Q_{1}^{-1}XQ_{1}}$${\displaystyle (r,r-1)}$${\displaystyle I_{r,r-1}}$

ステップ9

ブロックより上のすべてのブロックにのみが含まれる行列となるような、基本行列の積として形成される行列を求めます。 ${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{1}^{-1}Q_{1}^{-1}XQ_{1}R_{1}}$${\displaystyle I_{r,r-1}}$${\displaystyle 0}$

ステップ10

列に対して手順 8 と 9 を繰り返し、何らかの可逆行列による共役を介してブロックを に変換します。このブロックを使用して、基本行列の積による共役を介して上記のブロックをクリアします 。 ${\displaystyle r-1}$${\displaystyle (r-1,r-2)}$${\displaystyle I_{r-1,r-2}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle R_{2}}$

ステップ11

による共役を使用して、列に対してこれらのプロセスを繰り返します。結果の行列はWeyr 形式になります。 ${\displaystyle r-2,r-3,\ldots ,3,2}$${\displaystyle Q_{3},R_{3},\ldots ,Q_{r-2},R_{r-2},Q_{r-1}}$${\displaystyle W}$

ステップ12

しましょう 。それから。 ${\displaystyle C=P_{1}{\text{diag}}(I,P_{2})\cdots {\text{diag}}(I,P_{r-1})Q_{1}R_{1}Q_{2}\cdots R_{r-2}Q_{r-1}}$${\displaystyle W=C^{-1}AC}$

ウィアー形式のよく知られた応用例をいくつか以下に挙げる。^[3]

1. ウェイル形式は、2 つの可換行列によって生成される部分代数の次元が最大 であると主張するゲルステンハーバーの定理の証明を簡略化するために使用できます。${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$
2. 有限行列の集合は、同時対角化可能な行列に摂動できる場合、近似同時対角化可能であると言われます。Weyr 形式は、さまざまなクラスの行列の近似同時対角化可能性を証明するために使用されます。近似同時対角化可能性の特性は、生物数学における系統発生不変量の研究に応用されています。
3. ウェイル形式は、可換複素行列のすべてのk組の多様体の既約性の証明を簡略化するために使用できます。