ボックススプライン

数値解析や近似理論といった数学の分野では、ボックススプラインは複数の変数からなる 区分多項式 関数です。 ^{[1]ボックススプラインは}基底スプライン（Bスプライン）の多変量一般化として考えられており、多変量近似/補間によく使用されます。幾何学的には、ボックススプラインは低次元空間に投影された超立方体の影（X線）です。^{[2]ボックススプラインと単体スプラインは、一般}多面体の影として定義される多面体スプラインの特殊なケースとしてよく研究されています。

ボックススプラインは、通常行列に集められたベクトルの集合に対して定義される多変量関数である。 ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} )}$${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d},}$${\displaystyle \mathbf {\Xi } :=\left[\xi _{1}\dots \xi _{N}\right].}$

ベクトルの数が定義域の次元と同じ場合（つまり、）、ボックススプラインは、のベクトルによって形成される平行六面体の（正規化された）指示関数になります。 ${\displaystyle N=d}$${\displaystyle \mathbf {\Xi } }$

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} ):={\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}\chi _{\mathbf {\ Xi } }(\mathbf {x} )={\begin{cases}{\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}&{\text{if }}\mathbf {x} =\sum _{n=1}^{d}{t_{n}\xi _{n}}{\text{ }}0\ leq t_{n}<1\\0&{\text{その他}}.\end{cases}}}$

ボックススプラインが再帰的に定義される場合、または一般的には、新しい方向を追加する場合： ^[1]${\displaystyle \xi,}$${\displaystyle \mathbf {\Xi } ,}$${\displaystyle N>d,}$

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } \cup \xi }(\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}M_{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} - t\xi )\,{\rm {d}}t.}$

ボックススプラインは、単位超立方体の指示関数を に投影したときの影として解釈できます。この見方では、ベクトルはの標準基底（つまり、超立方体の辺）の幾何学的投影です。${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$${\displaystyle \xi \in \mathbf {\Xi } }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

緩和分布を考慮すると、単一方向ベクトルに関連付けられたボックススプラインは、 に対して でサポートされるディラックのような一般化関数です。一般ボックススプラインは、単一ベクトルボックススプラインに関連付けられた分布の畳み込みとして定義されます。 ${\displaystyle t\xi}$${\displaystyle 0\leq t<1}$

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }=M_{\xi _{1}}\ast M_{\xi _{2}}\ast \dots \ast M_{\xi _{N}}.}$

• から除去しても残りの方向がに及ばなくなる方向の最小数を とします。このとき、ボックススプラインの連続度は次のようになります。[ ^1]${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \Xi}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \kappa -2}$${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }\in C^{\kappa -2}(\mathbb {R} ^{d})}$
• (およびスパン内のベクトル)のとき、ボックス スプラインは、方向ベクトル のミンコフスキー和によって形成される内のゾノトープをサポートとするコンパクトにサポートされた関数です。${\displaystyle N\geq d}$${\displaystyle \Xi}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \xi \in \mathbf {\Xi } }$
• ゾノトープは中心対称なので、ボックススプラインのサポートはその中心に対して対称です。${\displaystyle \mathbf {c} _{\Xi }:={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N}\xi _{n}.}$
• ボックススプラインのフーリエ変換は、次元で次のように表される。${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\hat {M}}_{\Xi }(\omega )=\exp(-j\mathbf {c} _{\Xi }\cdot \omega )\prod _{n=1}^{ N}\オペレーター名 {sinc} (\xi _{n}\cdot \omega ).}$

アプリケーションでは、格子上の 1 つ以上のボックス スプラインのシフトの線形結合が使用されます。このようなスプラインは、精緻化可能であり、定義上シフト不変であるため、単体スプラインの線形結合よりも効率的です。そのため、多くのサブディビジョン サーフェス構築の出発点となります。

ボックススプラインは超平面配置の特徴付けに役立っています。^[3]また、ボックススプラインは多面体の体積を計算するためにも使用できます。^[4]

多次元信号処理の文脈では、ボックススプラインは、非直交サンプリング格子^[5]や、情報理論的に最適なサンプリング格子を多数含む結晶格子（ルート格子）に合わせた多変量補間カーネル（再構成フィルタ）を提供できます。 ^[6]一般に、最適球パッキング格子と球被覆格子^[7]は、2次元、3次元、および高次元での多変量関数のサンプリングに便利です。^[8] 2次元設定では、3方向ボックススプライン^[9]が六角形にサンプリングされた画像の補間に使用されます。3次元設定では、4方向^[10]と6方向^{[11]のボックススプラインが、それぞれ（最適な）}体心立方格子と面心立方格子でサンプリングされたデータの補間に使用されます。^[5] 7方向ボックススプライン^[12]は、表面のモデリングに使用されており、直交格子^[13]や体心立方格子[ ^{14 ]上のデータの補間に使用できます。4方向[10]}と6方向^[11]のボックススプラインを高次元に一般化すると^{[15]、ルート}格子上のスプラインを構築するために使用できます。^{[16]ボックススプラインは、六角スプライン[17]}とボロノイスプライン^[18]の重要な要素ですが、これらは精緻化できません。

ボックススプラインは高次元フィルタリング、特に高速バイラテラルフィルタリングや非局所平均アルゴリズムに応用されています。^[19]さらに、ボックススプラインは効率的な空間可変（つまり非畳み込み）フィルタの設計にも使用されます。^[20]

ボックススプラインは、ボックススプライン空間によって生成されるスプライン空間がX線変換やラドン変換の下で閉じているため、断層撮影再構成問題のコンテキストで画像表現に有用な基底関数です。 ^{[21] [22]}このアプリケーションでは、信号がシフト不変空間で表現されている一方で、投影はボックススプラインの非一様変換に​​よって閉じた形式で得られます。^[21]

画像処理の分野では、ボックススプラインフレームはエッジ検出に効果的であることが示されています。^[23]