準凸関数

数学において、準凸関数は、実数関数で、 の形式の任意の集合の逆像が凸集合 となるような区間または実ベクトル空間の凸部分集合上で定義される関数です。単一変数の関数の場合、曲線の任意の区間に沿った最高点は、端点の 1 つです。準凸関数の負の値は、準凸 であると言われています。 ${\displaystyle (-\infty,a)}$

準凸性は、すべての凸関数が準凸でもあるという点で凸性よりも一般的な特性ですが、すべての準凸関数が凸であるとは限りません。単変量 単峰関数は準凸または準凹ですが、複数の引数を持つ関数の場合は必ずしもそうではありません。たとえば、2 次元のローゼンブロック関数は単峰ですが準凸ではなく、星型凸サブレベル セットを持つ関数は準凸でなくても単峰である可能性があります。

実ベクトル空間の凸部分集合上に定義された関数が準凸関数であるとは、すべての関数に対してであり 、${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle x,y\in S}$${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.}$

言葉で言えば、 が、他の 2 つの点の間にある点が、他の 2 つの点よりも関数の値が高くならないことが常に真である場合、 は準凸です。点と、およびそれらの間の点は、直線上の点、またはより一般的にはn次元空間 内の点になる可能性があることに注意してください。${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

準凸関数を定義する別の方法 (概要を参照) は、各サブレベル セット が凸セットである ことを要求することです 。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}}$

さらに

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$

すべてのおよびに対して、は厳密に準凸です。つまり、厳密な準凸性では、他の 2 つの点の間にある点が、他の点のいずれかよりも低い関数の値を与える必要があります。 ${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle \lambda \in (0,1)}$${\displaystyle f}$

準凹関数とは、負の値が準凸である関数であり、厳密な準凹関数とは、負の値が厳密な準凸である関数である。同様に、関数が準凹であるのは、 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.}$

そして厳密に準凹面となるのは

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$

(厳密に) 準凸関数は (厳密に) 凸な下等高線集合を持ち、一方、(厳密に) 準凹関数は (厳密に) 凸な上等高線集合を持ちます。

準凸関数かつ準凹関数である関数は準線型です。

準凹状の特別なケースとして、 の場合、単峰性があり、局所的に最大値が存在します。 ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} }$

準凸関数は、数学的解析、数学的最適化、ゲーム理論、経済学などに応用されています。

非線形最適化において、準凸計画法は、準凸関数の最小値（存在する場合）に収束する 反復法を研究する。準凸計画法は凸計画法の一般化である。^{[1]準凸計画法は「代理」}双対問題の解決に使用され、その双対問題は主問題の準凸閉包を提供するため、ラグランジュ双対問題によって提供される凸閉包よりも厳しい境界を提供する。^[2]理論上は、準凸計画法と凸計画法の問題は妥当な時間で解くことができ、反復回数は問題の次元（および許容される近似誤差の逆数）の多項式のように増加する。^[3]ただし、理論的に「効率的な」方法は、古典的な劣勾配法のために最初に開発された「発散級数」ステップサイズ規則を使用する。発散級数規則を使用する古典的なサブグラディエント法は、サブグラディエント射影法、バンドル降下法、非平滑フィルタ法 などの凸最小化の現代的な方法よりもはるかに遅くなります。

ミクロ経済学では、準凸効用関数は消費者が凸状の選好を持っていることを意味します。準凸関数はゲーム理論、産業組織、 一般均衡理論でも重要であり、特にシオンのミニマックス定理の応用において重要です。シオンの定理はジョン・フォン・ノイマンのミニマックス定理を一般化したもので、偏微分方程式の理論でも使用されます。

• 準凸関数の最大値（すなわち）は準凸である。同様に、厳密な準凸関数の最大値は厳密な準凸である。 ^[4]同様に、準凸関数の最小値は準凸であり、厳密な準凸関数の最小値は厳密な準凸である。${\displaystyle f=\max \left\lbrace f_{1},\ldots ,f_{n}\right\rbrace }$
• 非減少関数との合成:準凸、非減少の場合、は準凸です。同様に、準凹、非減少の場合、は準凹です。${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f=h\circ g}$${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f=h\circ g}$
• 最小化（つまり、準凸、凸集合、つまり準凸）${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)}$

• 同じ定義域で定義された準凸関数の合計は、必ずしも準凸である必要はありません。言い換えれば、 が準凸である場合、 は準凸である必要はありません。${\displaystyle f(x),g(x)}$${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$
• 異なる領域で定義された準凸関数の和（つまり、が準凸である場合）は、準凸である必要はありません。このような関数は、経済学では「加法分解」と呼ばれ、数学的最適化では「分離可能」と呼ばれます。${\displaystyle f(x),g(y)}$${\displaystyle h(x,y)=f(x)+g(y)}$

• すべての凸関数は準凸関数です。
• 凹関数は準凸関数になることができます。たとえば、は凹関数と準凸関数の両方です。${\displaystyle x\mapsto \log(x)}$
• 単調関数はいずれも準凸関数かつ準凹関数です。より一般的には、ある点までは減少し、その点からは増加する関数は準凸関数です (単峰性と比較してください)。
• 床関数は、 凸でも連続でもない準凸関数の例です。${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }$

• 凸関数
• 凹関数
• 対数凹関数
• 複数の複素変数の意味で擬似凸性（一般化凸性ではない）
• 擬似凸関数
• インベックス関数
• 凹面化

• Avriel, M.、Diewert, WE、Schaible, S.、Zang, I.、「一般化された凹面」、Plenum Press、1988 年。
• Crouzeix, J.-P. (2008)。「準凹面」。Durlauf, Steven N.、Blume, Lawrence E (編)。『新パルグレイブ経済学辞典』（第 2 版）。Palgrave Macmillan。pp. 815–816。doi : 10.1057 /9780230226203.1375。ISBN 978-0-333-78676-5。
• シンガー、イヴァン『抽象凸解析』。カナダ数学協会モノグラフおよび上級テキストシリーズ。ワイリー・インターサイエンス出版。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、ニューヨーク、1997年。xxii+491頁 。ISBN 0-471-16015-6 

• SION, M.、「一般的なミニマックス定理について」、Pacific J. Math. 8 (1958)、171-176。
• 数理計画用語集
• 凹関数と準凹関数 - チャールズ・ウィルソン、ニューヨーク大学経済学部
• 準凹面性と準凸面性 - マーティン・J・オズボーン、トロント大学経済学部