粒子細胞

研究対象となる実際のシステムは、含まれる粒子の数という点で非常に大規模な場合が多い。シミュレーションを効率的に行うため、あるいはそもそもシミュレーションを可能にするために、いわゆるスーパー粒子が用いられる。スーパー粒子（またはマクロ粒子）とは、多数の実際の粒子を表す計算上の粒子である。プラズマシミュレーションの場合は数百万個の電子やイオン、流体シミュレーションの場合は渦要素などがこれに該当する。ローレンツ力による加速度は電荷質量比のみに依存するため、粒子の数をリスケールすることが可能であり、スーパー粒子は実際の粒子と同じ軌道を描く。

スーパー粒子に対応する実粒子の数は、粒子の運動に関する十分な統計データを収集できるように選択する必要がある。系内の異なる粒子種（例えば、イオンと中性粒子）の密度に大きな差がある場合は、それぞれに実粒子とスーパー粒子の比率を個別に設定することができる。

超粒子を用いた場合でも、シミュレーション対象となる粒子の数は通常非常に多く（10⁵以上^）、粒子移動処理は各粒子ごとに個別に実行する必要があるため、PICの中で最も時間のかかる部分となることが多い。そのため、プッシャーには高い精度と速度が求められ、さまざまなスキームの最適化に多大な労力が費やされている。

粒子移動に使用されるスキームは、暗黙的ソルバーと明示的ソルバーの 2 つのカテゴリに分類できます。暗黙的ソルバー (例えば、暗黙的オイラー法) は既に更新された場から粒子の速度を計算しますが、明示的ソルバーは前のタイム ステップの古い力のみを使用するため、より単純で高速ですが、より小さなタイム ステップが必要です。PIC シミュレーションでは、2 次明示的法であるリープフロッグ法が使用されます。 ^{[ 6 ]}また、ニュートン・ローレンツ方程式の磁場を打ち消すBoris アルゴリズムも使用されます。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}

プラズマ応用においては、リープフロッグ法は以下の形式をとる。 $${\displaystyle {\frac {\mathbf {x} _{k+1}-\mathbf {x} _{k}}{\Delta t}}=\mathbf {v} _{k+1/2},}$$$${\displaystyle {\frac {\mathbf {v} _{k+1/2}-\mathbf {v} _{k-1/2}}{\Delta t}}={\frac {q}{m}}\left(\mathbf {E} _{k}+{\frac {\mathbf {v} _{k+1/2}+\mathbf {v} _{k-1/2}}{2}}\times \mathbf {B} _{k}\right),}$$

添え字は${\displaystyle k}$前のタイムステップの「古い」量を指します。${\displaystyle k+1}$次のタイムステップから更新された数量へ（つまり${\displaystyle t_{k+1}=t_{k}+\Delta t}$）そして速度は通常の時間ステップの間隔で計算されます。$t_k$。

上記の式に代入されるボリス方式の式は以下のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{k+1}&=\mathbf {x} _{k}+{\Delta t}\mathbf {v} _{k+1/2},\\\mathbf {v} _{k+1/2}&=\mathbf {u} '+q'\mathbf {E} _{k},\end{整列}}}$$

どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} '&=\mathbf {u} +(\mathbf {u} +(\mathbf {u} \times \mathbf {h} ))\times \mathbf {s} ,\\\mathbf {u} &=\mathbf {v} _{k-1/2}+q'\mathbf {E} _{k},\\\mathbf {h} &=q'\mathbf {B} _{k},\\\mathbf {s} &=2\mathbf {h} /(1+h^{2})\\q'&=\Delta t\cdot {\frac {q}{2m}}.\end{aligned}}}$$

ボリスアルゴリズムは、その優れた長期精度により、荷電粒子の進行に関する事実上の標準となっています。非相対論的ボリスアルゴリズムの優れた長期精度は、シンプレクティックではないにもかかわらず位相空間の体積を保存するという事実によるものであることが認識されています。シンプレクティックアルゴリズムに通常関連付けられるエネルギー誤差のグローバルな上限は、ボリスアルゴリズムでも依然として成り立ち、プラズマのマルチスケールダイナミクスに有効なアルゴリズムとなっています。また、相対論的ボリスプッシュを改良して、体積を保存し、交差するE場とB場で一定速度解を持つようにできることも示されています ^{[ 9 ]} 。

マクスウェル方程式（より一般的には偏微分方程式（PDE））を解くために最も一般的に用いられる方法は、以下の3つのカテゴリーのいずれかに属します。

• 有限差分法（FDM）
• 有限要素法（FEM）
• スペクトル法

FDM（有限差分法）では、連続領域が離散的な点のグリッドに置き換えられ、そのグリッド上で電場と磁場が計算されます。次に、導関数は隣接するグリッド点の値の差で近似され、偏微分方程式が代数方程式に変換されます。

有限要素法（FEM）を用いると、連続領域は離散的な要素メッシュに分割されます。偏微分方程式は固有値問題として扱われ、まず各要素に局在する基底関数を用いて試行解が計算されます。その後、必要な精度に達するまで最適化を行い、最終的な解を求めます。

また、高速フーリエ変換（FFT）などのスペクトル法を用いると、偏微分方程式を固有値問題に変換できますが、この場合、基底関数は高次のものであり、領域全体でグローバルに定義されます。この場合、領域自体は離散化されず、連続のままです。ここでも、基底関数を固有値方程式に代入して試行解を求め、最適化することで、初期試行パラメータの最適値を決定します。

「粒子インセル」という名称は、プラズマのマクロ量（数密度、電流密度など）がシミュレーション粒子に割り当てられる方法（すなわち、粒子重み付け）に由来する。粒子は連続領域上のどこにでも配置できるが、マクロ量は場と同様にメッシュ点上でのみ計算される。マクロ量を求めるには、粒子が形状関数によって決定される特定の「形状」を持つと仮定する必要がある。 $${\displaystyle S(\mathbf {x} -\mathbf {X} ),}$$

どこ${\displaystyle \mathbf {x} }$は粒子の座標であり、${\displaystyle \mathbf {X} }$観測点。形状関数の最も簡単でよく使われる選択肢は、いわゆるクラウド・イン・セル（CIC）スキームで、これは一次（線形）重み付けスキームです。スキームが何であれ、形状関数は次の条件を満たす必要があります。 ^{[ 10 ]} 空間等方性、電荷保存、高次項の精度向上（収束）。

フィールドソルバーから得られるフィールドはグリッドポイント上でのみ決定されるため、パーティクルムーバーでパーティクルに作用する力を計算するために直接使用することはできず、フィールド重み付けを介して補間する必要があります。 $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} )=\sum _{i}\mathbf {E} _{i}S(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} ),}$$

添え字は${\displaystyle i}$グリッド点にラベルを付けます。粒子に作用する力が自己無撞着に得られるようにするには、グリッド点上の粒子の位置からマクロ量を計算する方法と、グリッド点から粒子の位置へ場を補間する方法も、両方ともマクスウェル方程式に現れるため、一貫している必要があります。何よりも、場の補間スキームは運動量を保存する必要があります。これは、粒子と場に対して同じ重み付けスキームを選択し、同時に場ソルバーの適切な空間対称性（つまり、自己力がないことと作用反作用の法則を満たすこと）を確保することによって達成できます^{[ 10 ]。}

フィールドソルバーは自己力を排除する必要があるため、セル内では粒子によって生成されるフィールドは粒子からの距離が減少するにつれて減少する必要があり、したがってセル内の粒子間力は過小評価されます。これは、荷電粒子間のクーロン衝突を利用してバランスを取ることができます。大きなシステムのすべてのペアの相互作用をシミュレートすると計算コストが高すぎるため、代わりにいくつかのモンテカルロ法が開発されました。広く使用されている方法はバイナリ衝突モデル^{[ 11 ]}で、粒子はセルごとにグループ化され、次にこれらの粒子がランダムにペアになり、最後にペアが衝突します。

実際のプラズマでは、荷電粒子と中性粒子の衝突などの弾性衝突から、電子と中性粒子の電離衝突などの非弾性衝突、化学反応まで、さまざまな反応が関与する可能性があり、それぞれ個別に処理する必要があります。荷電粒子と中性粒子の衝突を扱う衝突モデルのほとんどは、すべての粒子が衝突確率に関する情報を持つ直接モンテカルロ法、またはすべての粒子を解析せず、代わりに各荷電粒子の最大衝突確率を使用するヌル衝突法^{[ 12 ] [ 13 ]}のいずれかを使用しています。

あらゆるシミュレーション手法と同様に、PICにおいても、対象となる時間スケールおよび長さスケールの現象が適切に解像されるよう、時間ステップとグリッドサイズを適切に選択する必要があります。さらに、時間ステップとグリッドサイズは、コードの実行速度と精度にも影響を与えます。

明示的な時間積分スキーム（最も一般的に使用されるリープフロッグ法など）を用いた静電プラズマシミュレーションでは、グリッドサイズに関して2つの重要な条件があります。${\displaystyle \Delta x}$そして時間ステップ${\displaystyle \Delta t}$ソリューションの安定性を確保するためには、以下の条件を満たす必要があります。 $${\displaystyle \Delta x<3.4\lambda _{D},}$$$${\displaystyle \Delta t\leq 2\omega _{pe}^{-1},}$$

これは、一次元非磁化プラズマの調和振動を考慮すると導出できる。後者の条件は厳密に必要だが、エネルギー保存に関する実際的な考慮事項から、係数2を1桁小さい数に置き換える、はるかに厳しい制約を使用することが示唆される。${\displaystyle \Delta t\leq 0.1\omega _{pe}^{-1},}$典型的な例である。^{[ 10 ] [ 14 ]}プラズマの自然時間スケールはプラズマ周波数​​の逆数で与えられることは、驚くべきことではない。${\displaystyle \omega _{pe}^{-1}}$そして長さスケールはデバイ長による。${\displaystyle \lambda _{D}}$。

明示的な電磁プラズマシミュレーションの場合、時間ステップはCFL条件も満たす必要があります。 $${\displaystyle \Delta t<\Delta x/c,}$$ どこ${\displaystyle \Delta x\sim \lambda _{D}}$、 そして${\displaystyle c}$光速のことです。