ネヴァンリンナ – ピック補間

複素解析において、複素単位円内の点からなる初期データと内の点からなる目標データが与えられた場合、ネヴァンリンナ・ピック補間問題は、すべての に対して、 データを補間する正則関数を見つけることです。${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$

${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})=z_{i}}$、

すべてに対して制約が適用されます。 ${\displaystyle \left\vert \varphi (\lambda )\right\vert \leq 1}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {D} }$

ゲオルク・ピックとロルフ・ネヴァンリンナは、それぞれ1916年と1919年に独立してこの問題を解き、初期データとターゲットデータで定義された行列が半正定値である場合にのみ補間関数が存在することを示しました。

ネヴァンリンナ・ピック定理は、シュワルツの補題の点一般化を表す。シュワルツの補題の不変形式は、正則関数 に対して、すべての に対して、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {D} }$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {D} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(\lambda _{1})-f(\lambda _{2})}{1-{\overline {f(\lambda _{2})}}f(\lambda _{1})}}\right|\leq \left|{\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}\right|.}$

とすると、この不等式は、次式で与えられる行列が ${\displaystyle f(\lambda _{i})=z_{i}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1-|z_{1}|^{2}}{1-|\lambda _{1}|^{2}}}&{\frac {1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}{1-{\overline {\lambda _{1}}}\lambda _{2}}}\\[5pt]{\frac {1-{\overline {z_{2}}}z_{1}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}&{\frac {1-|z_{2}|^{2}}{1-|\lambda _{2}|^{2}}}\end{bmatrix}}\geq 0,}$

つまり、ピック行列は半正定値です。

これをシュワルツの補題と組み合わせると、 に対して、となる正則関数が存在し、 となるのはピック行列 ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},z_{1},z_{2}\in \mathbb {D} }$${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \to \mathbb {D} }$${\displaystyle \varphi (\lambda _{1})=z_{1}}$${\displaystyle \varphi (\lambda _{2})=z_{2}}$

${\displaystyle \left({\frac {1-{\overline {z_{j}}}z_{i}}{1-{\overline {\lambda _{j}}}\lambda _{i}}}\right)_{i,j=1,2}\geq 0.}$

ネヴァンリンナ・ピック定理は、次のことを述べています。 が与えられたとき、ピック 行列${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},z_{1},\ldots ,z_{n}\in \mathbb {D} }$${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \to {\overline {\mathbb {D} }}}$${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})=z_{i}}$

${\displaystyle \left({\frac {1-{\overline {z_{j}}}z_{i}}{1-{\overline {\lambda _{j}}}\lambda _{i}}}\right)_{i,j=1}^{n}}$

は半正定値です。さらに、関数 は、ピック行列の行列式がゼロである場合にのみ一意です。この場合、はBlaschke 積であり、次数はピック行列の階数に等しくなります ( がすべて同じである自明な場合を除く)。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle z_{i}}$

ドナルド・サラソンによるサラソン補間定理の研究に続いて、ネヴァンリンナ・ピック定理の一般化は作用素理論における活発な研究分野となった。^{[1]サラソンは、}作用素縮約の観点からヒルベルト空間法を用いてネヴァンリンナ・ピック定理の新しい証明を与えた。他のアプローチは、L. ド・ブランジュ、B. Sz.-Nagy、C. Foiasの研究で開発された。

ハーディ空間 H  ^2は再生核ヒルベルト空間であり、その再生核（セゲー核として知られる）は

${\displaystyle K(a,b)=\left(1-b{\bar {a}}\right)^{-1}.\,}$

このため、ピック行列は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \left((1-z_{i}{\overline {z_{j}}})K(\lambda _{j},\lambda _{i})\right)_{i,j=1}^{N}.\,}$

この解決策の説明は、ネヴァンリンナとピックの結果を一般化するためのさまざまな試みのきっかけとなりました。

ネヴァンリンナ・ピック問題は、与えられたデータセットを補間する正則関数を見つける問題に一般化できます。ここで、R は複素平面の任意の領域です。 ${\displaystyle f:R\to \mathbb {D} }$

MBアブラハムスは、 Rの境界が有限個の解析曲線（例えばn  + 1）で構成される場合、補間関数fが存在するのは、

${\displaystyle \left((1-z_{i}{\overline {z_{j}}})K_{\tau }(\lambda _{j},\lambda _{i})\right)_{i,j=1}^{N}\,}$

は、すべてnトーラス内の正の半定値行列です。ここで、 は、集合Rに関連する特定の再生核ヒルベルト空間の集合に対応する再生核です。ピック行列の 1 つがゼロの行列式を持つ場合のみ、 fが一意であることが示されます。${\displaystyle \tau }$${\displaystyle K_{\tau }}$

• ピックの元々の証明は、正の実部を持つ関数に関するものでした。線形分数ケーリー変換の下では、彼の結果は円板から円板への写像に当てはまります。

• Pick-Nevanlinna補間はAllen Tannenbaumによってロバスト制御に導入されました。

• 双円板から円板への正則写像に関するピック・ネヴァンリンナ問題は、ジム・アグラーによって解決されました。${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$

• Agler, Jim ; John E. McCarthy (2002)。ピック補間とヒルベルト関数空間。数学大学院研究。AMS。ISBN 0-8218-2898-3。
• Abrahamse, MB (1979). 「有限連結領域のピック補間定理」.ミシガン数学J. 26 ( 2): 195–203. doi : 10.1307/mmj/1029002212 .
• Tannenbaum, Allen (1980). 「ゲイン係数に不確実性がある線形動的プラントのフィードバック安定化」Int. J. Control . 32 (1): 1–16. doi :10.1080/00207178008922838.