確率的オイラーラグランジアン法

数値流体力学において、確率的オイラーラグランジュ法（SELM）^[1]は、熱変動の影響を受ける流体構造相互作用の本質的な特徴を捉えるアプローチであり、解析と扱いやすい数値手法の開発を容易にする近似を導入する。SELMは、連続流体力学場のオイラー記述と弾性構造のラグランジュ記述を利用するハイブリッドアプローチである。熱変動は確率的駆動場を通じて導入される。SPDEの確率場に対しても、変動散逸バランスや統計力学におけるその他の特性などの統計原理を維持するための数値離散化アーティファクトを考慮した数値手法を得るためのアプローチが導入されている。^[1]

一般的に使用されるSELM流体構造方程式は

${\displaystyle \rho {\frac {d{u}}{d{t}}}=\mu \,\Delta u-\nabla p+\Lambda [\Upsilon (V-\Gamma {u})]+\ラムダ +f_{\mathrm {thm} }(x,t)}$

${\displaystyle m{\frac {d{V}}{d{t}}}=-\Upsilon (V-\Gamma {u})-\nabla \Phi [X]+\xi +F_{\mathrm {うーん} }}$

${\displaystyle {\frac {d{X}}{d{t}}}=V.}$

圧力pは流体の非圧縮条件によって決定される。

${\displaystyle \nabla \cdot u=0.\,}$

演算子はオイラー自由度とラグランジュ自由度を結合します。 は、構造のラグランジュ座標の完全なセットの合成ベクトルを表します。 は、構造の構成のポテンシャルエネルギーです。 は、熱変動を考慮した確率的駆動フィールドです。 は、局所的な剛体変形などの制約を課すラグランジュ乗数です。 散逸が結合によってのみ発生し、演算子による相互変換の結果として発生しないことを保証するために、次の随伴条件が課されます 。${\displaystyle \Gamma ,\Lambda }$${\displaystyle X,V}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle f_{\mathrm {thm} },F_{\mathrm {thm} }}$${\displaystyle \lambda ,\xi }$${\displaystyle \Upsilon }$${\displaystyle \Gamma ,\Lambda }$

${\displaystyle \Gamma =\Lambda ^{T}.}$

熱変動は、平均ゼロと共分散構造を持つガウス確率場を通じて導入される。

${\displaystyle \langle f_{\mathrm {thm} }(s)f_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =-\left(2k_{B}{T}\right)\left (\mu \Delta -\Lambda \Upsilon \Gamma \right)\delta (ts).}$

${\displaystyle \langle F_{\mathrm {thm} }(s)F_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =2k_{B}{T}\Upsilon \delta (ts).}$

${\displaystyle \langle f_{\mathrm {thm} }(s)F_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =-2k_{B}{T}\Lambda \Upsilon \delta (ts).}$

簡略化された記述と効率的な数値手法を得るために、小さな時間スケールまたは慣性自由度のダイナミクスを除去するために、さまざまな限界物理領域での近似が検討されてきた。さまざまな限界領域において、SELMフレームワークは、はめ込み境界法、加速ストークス力学、および任意のラグランジュオイラー法に関連付けることができる。SELMアプローチは、統計力学と一致する確率的流体構造ダイナミクスを生み出すことが示されている。特に、SELMダイナミクスは、ギブス-ボルツマンアンサンブルの詳細バランスを満たすことが示されている。一般化座標と追加の並進自由度または回転自由度を含む構造の記述を可能にするさまざまな種類の結合演算子も導入されている。SELM SPDEを数値的に離散化するために、変動散逸バランスや統計力学の他の特性などの統計原理を維持するために離散化アーティファクトを考慮に入れたSPDEの数値確率場を導出するための一般的な方法も導入された。^[1]

^{SELM法は、粘弾性流体や軟質材料[2]} 、 曲がった流体界面内の粒子介在物 ^{[3] [4]} 、その他の微視的システムや工学的デバイスのシミュレーションに使用されてきました。 ^{[5] [6] [7]}

• 浸漬境界法
• ストークス力学
• 流体体積法
• レベルセット法
• マーカーと細胞法

• Mango-Selm : 確率的オイラーラグランジアンおよび浸漬境界法、3D シミュレーション パッケージ、(Python インターフェイス、LAMMPS MD 統合)、P. Atzberger、UCSB