線形近似

数学において、線形近似とは、一般関数を線形関数（より正確にはアフィン関数）を用いて近似することである。線形近似は、方程式の解を求める、あるいは解を近似するための一次手法を生成する有限差分法において広く用いられている。

2回連続微分可能な関数が与えられた場合${\displaystyle f}$1つの実変数の場合、テイラーの定理${\displaystyle n=1}$と述べている $${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+R_{2}}$$ どこ${\displaystyle R_{2}}$は剰余項です。線形近似は剰余項を省略することによって得られます。 $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(xa).}$$

これは、${\displaystyle x}$に十分近い${\displaystyle a}$曲線は、よく観察すると直線に似てくるため、右辺の式は、グラフの接線の方程式に他ならない。${\displaystyle f}$で${\displaystyle (a,f(a))}$このため、このプロセスは接線近似とも呼ばれます。この場合の線形近似は、a の2 階微分が、${\displaystyle f''(a)}$は十分に小さい（ゼロに近い）（つまり、変曲点またはその近傍）です。

もし${\displaystyle f}$区間内で下に凸である${\displaystyle x}$そして${\displaystyle a}$近似値は過大評価になります（その区間では導関数が減少しているため）。${\displaystyle f}$上に凸の場合、近似値は過小評価になります。^{[ 1 ]}

ベクトル変数のベクトル関数の線形近似は、点における導関数をヤコビ行列に置き換えることで、同様の方法で得られます。例えば、微分可能な関数が与えられた場合${\displaystyle f(x,y)}$実数値では、近似値として${\displaystyle f(x,y)}$のために${\displaystyle (x,y)}$近い${\displaystyle (a,b)}$式により $${\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(xa\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(yb\right).}$$

右辺は、グラフに接する平面の方程式です。${\displaystyle z=f(x,y)}$で${\displaystyle (a,b).}$

より一般的なバナッハ空間の場合、 $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(xa)}$$ どこ${\displaystyle Df(a)}$は、のフレシェ微分である。${\displaystyle f}$で${\displaystyle a}$。

関数の線形化を求めよ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x+3}}\ }$で${\displaystyle a=1}$そしてそれを使って数値を近似する${\displaystyle {\sqrt {3.98}}}$そして$\displaystyle {\sqrt {4.05}}}$これらの近似値は過大評価か過小評価か？^{[ 9 ]}

解決

の導関数${\displaystyle f(x)=(x+3)^{1 \over {2}}}$は${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2}}\ (x+3)^{\frac {-1}{2}}\ ={\frac {1}{2{\sqrt {x+3}}}}\ }$そのため、${\displaystyle f(1)=2}$そして${\displaystyle f'(1)={\frac {1}{4}}\ }$これらの値を${\displaystyle L(x)=f(a)+f'(a)(xa)}$線形化は次のようになります。${\displaystyle L(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=2+{\frac {1}{4}}\ (x-1)={\frac {7}{4}}\ +{\frac {x}{4}}\ }$対応する線形近似は$\displaystyle {\sqrt {x+3}}\ \approx {\frac {7}{4}}\ +{\frac {x}{4}}\ }$

特に、$\displaystyle {\sqrt {3.98}}\ \approx {\frac {7}{4}}\ +{\frac {0.98}{4}}\ =1.995}$そして$\displaystyle {\sqrt {4.05}}\approx {\frac {7}{4}}\ +{\frac {1.05}{4}}\ =2.0125}$。

• 二項近似
• オイラー法
• 有限差分法
• 有限差分法
• ニュートン法
• パワーシリーズ
• 二次近似
• テイラーシリーズ

• ワインスタイン、アラン；マースデン、ジェロルド・E. (1984).微積分学 III . ベルリン：シュプリンガー・フェルラーク。p.  775. ISBN 0-387-90985-0。
• ストラング、ギルバート（1991）。微積分。ウェルズリー大学。94 ページ。ISBN 0-9614088-2-0。
• ボック、デイビッド；ホケット、シャーリー・O.（2005）。AP微積分試験の準備方法。ニューヨーク州ハウパウジ：バロンズ教育シリーズ。118ページ。ISBN  0-7641-2382-3。