セティ・スキバポイント

Sethi-Skiba点[ ^{1] [2] [3] [4]}はDNSS点とも呼ばれ、最適制御問題で複数の最適解が現れる場合に発生します。Sethi-Skiba点は最適制御問題における無差別点であり、この点から問題には複数の異なる最適解が存在します。このような点に関する詳しい議論はGrassら^{[2] [5] [6]で見つけることができます。}

ここで特に興味深いのは、自律的な割引無限時間最適制御問題である。 ^[2]これらの問題は次のように定式化できる。

${\displaystyle \max _{u(t)\in \Omega }\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}\varphi \left(x(t),u(t)\right)dt}$

st

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f\left(x(t),u(t)\right),x(0)=x_{0},}$

ここで、は割引率、はそれぞれ時間 における状態変数と制御変数であり、関数と は引数 に関して連続的に微分可能であり、時間 に明示的に依存しないと仮定されます。は実行可能な制御の集合であり、時間 からも明示的に独立しています。さらに、積分は任意の許容解 に対して収束すると仮定されます。 1 次元の状態変数 を伴うこのような問題では、初期状態は、そこから出発するシステムが複数の最適解または均衡を示す場合、セティ・スキバ点と呼ばれます。したがって、少なくとも の近傍では、システムは に対して 1 つの均衡に移動し、 に対して別の均衡に移動します。この意味で、 は、システムが 2 つの均衡のどちらにも移動できる無差別点です。 ${\displaystyle \rho >0}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \left(x(.),u(.)\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x>x_{0}}$${\displaystyle x<x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

2次元最適制御問題については、Grassら^[5]とZeilerら^[7]がDNSS曲線を示す例を示している。

セティ・スキバポイントの応用に関する参考文献としては、Caulkins et al.、^[8] Zeiler et al.、^[9] Carboni and Russu ^{[10]などがある。}

1977年にSuresh P. Sethiが初めてこのような無差別点を特定しました。 ^[11]さらに、Skiba、^[12] Sethi、^{[13] [14] [15]} DeckertとNishimura ^{[16]は経済モデルにおけるこれらの無差別点を調査しました。Grassら[5]}によって導入されたDNSS（Deckert、Nishimura、Sethi、Skiba）ポイントという用語は、これらの著者の貢献を（アルファベット順に）認識しています。これらの無差別点は、以前の文献ではSkibaポイントまたはDNSポイントとも呼ばれていました。^[5]

この動作を示す簡単な問題は、およびで与えられます。Grass ら^[5]では、最適パスはまたは のいずれかであるため、この問題では が Sethi-Skiba ポイントであることが示されています。 の場合、最適パスは であり、 の場合、最適パスは であることに注意してください。 ${\displaystyle \varphi \left(x,u\right)=xu,}$ ${\displaystyle f\left(x,u\right)=-x+u,}$${\displaystyle \オメガ =\left[-1,1\right]}$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \left(1-e^{-t}\right)}$${\displaystyle \left(-1+e^{-t}\right)}$${\displaystyle x_{0}$${\displaystyle x(t)=-1+e^{-t\left(x_{0}+1\right)}}$${\displaystyle x_{0}>0}$${\displaystyle x(t)=1+e^{-t\left(x_{0}-1\right)}}$

さらなる詳細と拡張については、Grass et al. ^{[5]を参照してください。}