固有値摂動

数学において、固有値摂動問題とは、既知の固有ベクトルと固有値を持つシステムから摂動を受けたシステムの固有ベクトルと固有値を求める問題である。これは、元のシステムの固有ベクトルと固有値がシステムの変化に対してどの程度敏感であるかを調べるのに役立つ。このタイプの分析は、小さな不均一性によって摂動を受けた弦の調和振動の研究において、レイリー卿 によって普及した。 ^[1]${\displaystyle Ax=\lambda x}$${\displaystyle A_{0}x_{0}=\lambda _{0}x_{0}}$${\displaystyle x_{0i},\lambda _{0i},i=1,\dots n}$

この記事の導出は本質的に自己完結的であり、数値線形代数や数値関数解析に関する多くのテキストで見つけることができます。この記事では、単純な固有値の摂動の場合に焦点を当てています（ 固有値の多重度を参照）。

固有値と固有ベクトルの入門的応用として、解を得るために固有値が使用される科学分野が数多くあります。 一般化固有値問題はそれほど普及していませんが、振動の研究の鍵となります。ガラーキン法 や レイリー・リッツ法を使用して、 弦や板などの構造物の振動をモデル化する偏微分方程式の近似解を求めるときに役立ちます。Courant (1943) ^[2]の論文は基本的です。有限要素法は、広く普及している特殊なケースです。

古典力学では、平衡に近い多自由度系の振動を調べるときに、一般化された固有値が現れることがあります 。運動エネルギーは質量行列を提供し、位置ひずみエネルギーは剛性行列を提供します。詳細については、Weinstein（1941年、フランス語） ^[3]のこの記事の最初のセクションを参照してください。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle K}$

どちらの方法でも、質量行列、減衰行列、剛性行列を含む微分方程式系または行列微分方程式 が得られます。減衰効果を無視する場合は を使用し、次の形式の解を求めることができます。 となり、 は一般化固有値問題の解となります。${\displaystyle M{\ddot {x}}+B{\dot {x}}+Kx=0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B}$${\displaystyle K}$${\displaystyle B=0}$${\displaystyle x=e^{i\omega t}u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \omega^{2}}$${\displaystyle -\omega ^{2}Mu+Ku=0}$

一般化固有値問題の解があると仮定すると、

${\displaystyle \mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad ( 0)}$

ここで、 およびは行列です。つまり、i = 1, ..., Nに対して、固有値λ _{0 i}と固有ベクトルx _{0 i}がわかっています。また、固有値が異なっていることも必要です。${\displaystyle \mathbf {K} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {M} _{0}}$

ここで、行列を少し変更したいとします。つまり、次の固有値と固有ベクトルを求めたいのです。

${\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {x} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}\qquad (1)}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} &=\mathbf {K} _{0}+\delta \mathbf {K} \\\mathbf {M} &=\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \end{aligned}}}$

と の摂動はそれぞれとよりはるかに小さくなります。新しい固有値と固有ベクトルは、元の値と固有ベクトルに小さな摂動を加えたものと同じになると予想されます。 ${\displaystyle \delta \mathbf {K} }$${\displaystyle \delta \mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle \mathbf {M} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}\\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\end{aligned}}}$

行列は対称かつ正定値であると仮定し、固有ベクトルを次のようにスケーリングしたと仮定する。

${\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\delta _{ij},\quad }$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{T}\mathbf {M} \mathbf {x} _{j}=\delta _{ij}\qquad (2)}$

ここでδ _{ij は}クロネッカーのデルタである。ここで次の方程式を解こうとする。

${\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {x} _{i}-\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}=0.}$

この記事では、研究を一次摂動に限定します。

（１）に代入すると、

${\displaystyle (\mathbf {K} _{0}+\delta \mathbf {K} )(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i})=\left(\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}\right)\left(\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \right)\left(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\right),}$

これは次のように展開される

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}&+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\\[6pt]&\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\quad \lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{aligned}}}$

（0）（）葉 からキャンセル${\displaystyle \mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+&\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{aligned}}}$

高次の項を取り除くと、これは次のように単純化される。

${\displaystyle \mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (3)}$

言い換えれば、 はもはや 固有値の正確な変化を表すのではなく、その一次近似を表します。${\displaystyle \delta \lambda _{i}}$

行列は対称なので、摂動を受けていない固有ベクトルは直交しており、それを摂動を受けた固有ベクトルの基底として用いる。つまり、 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \delta \mathbf {x} _{i}=\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}\qquad (4)\quad }$と、${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{T}M\delta \mathbf {x} _{i}}$

ここで、ε _{ij は}決定されるべき小さな定数です。

同様に、(2)に代入し、高次の項を削除すると、${\displaystyle \delta \mathbf {x} _{j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0j}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}\delta \mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0\quad {(5)}}$

派生は 2 つのフォークで続行できます。

まず（3）から始めます${\displaystyle \quad \mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i};}$

（２）とその一次変形（５）を掛け合わせると 、${\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{T}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}}$

または

${\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}$

これは、を固定した一般化レイリー商の1次摂動であることがわかります。${\displaystyle x_{0i}}$${\displaystyle R(K,M;x_{0i})=x_{0i}^{T}Kx_{0i}/x_{0i}^{T}Mx_{0i},{\text{ with }}x_{0i}^{T}Mx_{0i}=1}$

さらに、 については、この公式を、固有値摂動の境界を与える バウアー・ファイクの定理と比較する必要があります。${\displaystyle M=I}$${\displaystyle \delta \lambda _{i}=x_{0i}^{T}\delta Kx_{0i}}$

（3）をforで乗算すると、 ${\displaystyle x_{0j}^{T}}$${\displaystyle j\neq i}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}$

を に使用します。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}K=\lambda _{0j}\mathbf {x} _{0j}^{T}M{\text{ and }}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0,}$${\displaystyle j\neq i}$

${\displaystyle \lambda _{0j}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.}$

または

${\displaystyle (\lambda _{0j}-\lambda _{0i})\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.}$

固有値は単純であると仮定されているので、${\displaystyle j\neq i}$

${\displaystyle \epsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots N;j=1,\dots N;j\neq i.}$

さらに、(5) ((2) の一次変形) は、 のすべての成分を得る。 ${\displaystyle 2\epsilon _{ii}=2\mathbf {x} _{0i}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta x_{i}=-\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta M\mathbf {x} _{0i}.}$${\displaystyle \delta x_{i}}$

（４）を（３）に代入して整理すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&(5)\\\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&\\({\text{applying }}\mathbf {K} _{0}{\text{ to the sum}})\\\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\lambda _{0j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&({\text{using Eq. }}(1))\end{aligned}}}$

M ₀が正定値のとき、固有ベクトルはM ₀直交なので、左乗算することで合計を削除できます。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\varepsilon _{ii}\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}$

式（１）を再度用いると、

${\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (6)}$

ε _iiを含む2つの項は等しい。なぜなら、(1)を左に掛けると、 ${\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}$

（６）の条項をキャンセルすると、

${\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}$

並べ替えると

${\displaystyle \delta \lambda _{i}={\frac {\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}}}}$

しかし、（２）によれば、この分母は１に等しい。したがって

${\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}.}$

次に、 （単純固有値の 仮定）式（５）を左乗算すると、 ${\displaystyle \lambda _{i}\neq \lambda _{k}}$${\displaystyle i\neq k}$${\displaystyle \mathbf {x} _{0k}^{\top }}$

${\displaystyle \varepsilon _{ik}={\frac {\mathbf {x} _{0k}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0k}}},\qquad i\neq k.}$

または、インデックスの名前を変更します。

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}},\qquad i\neq j.}$

ε _{ii を}求めるには、次の事実を使います。

${\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{\top }\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}=1}$

暗示する：

${\displaystyle \varepsilon _{ii}=-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}.}$

すべての行列がエルミート正定値行列であり、すべての固有値が異なっている場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}\left(1-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}\right)+\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\end{aligned}}}$

無限小の場合、（（3）の高次の項は無視される）。 ${\displaystyle \delta \mathbf {K} }$${\displaystyle \delta \mathbf {M} }$

これまでのところ、これらの高次の項を無視できることは証明されていません。この点は、暗黙の関数定理を使用して導くことができます。次のセクションでは、この定理を使用して 1 次展開を取得する方法をまとめます。

次の段落では、暗黙関数定理（定理の説明）を使用します。連続微分可能関数と可逆ヤコビ行列 について、の 点解から、に近い の解がの形で得られます。ここで は連続微分可能関数です。さらに、 のヤコビ行列は線形システムによって提供されます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m},\;f:(x,y)\mapsto f(x,y)}$${\displaystyle J_{f,b}(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$${\displaystyle f(x,y)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y=g(x)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle J_{f,y}(x,g(x))J_{g,x}(x)+J_{f,x}(x,g(x))=0\quad (6)}$。

定理の仮定が満たされるとすぐに、のヤコビ行列はの一次展開で計算され 、次式が得られる。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle f(x_{0}+\delta x,y_{0}+\delta y)=0}$

${\displaystyle J_{f,x}(x,g(x))\delta x+J_{f,y}(x,g(x))\delta y=0}$; なので、これは式 と同等です。 ${\displaystyle \delta y=J_{g,x}(x)\delta x}$${\displaystyle (6)}$

前の段落（陰関数の摂動）を、固有値摂動に適した多少異なる表記法で用いる。 を導入し、 ${\displaystyle {\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{2n^{2}}\times \mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n+1}}$

• ${\displaystyle {\tilde {f}}(K,M,\lambda ,x)={\binom {f(K,M,\lambda ,x)}{f_{n+1}(x)}}}$と

${\displaystyle f(K,M,\lambda ,x)=Kx-\lambda x,f_{n+1}(M,x)=x^{T}Mx-1}$暗黙関数定理を使うために、ヤコビアンの可逆性を調べる。 ${\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda ,x}(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})}$

${\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda ,x}(K,M;\lambda _{i},x_{i})(\delta \lambda ,\delta x)={\binom {-Mx_{i}}{0}}\delta \lambda +{\binom {K-\lambda M}{2x_{i}^{T}M}}\delta x_{i}}$. 確かに、

${\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda _{0i},x_{0i}}(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})(\delta \lambda _{i},\delta x_{i})=}$${\displaystyle {\binom {y}{y_{n+1}}}}$展開の導出と同様の計算で導出することができます。

$${\displaystyle \delta \lambda _{i}=-x_{0i}^{T}y,\;{\text{ and }}(\lambda _{0i}-\lambda _{0j})x_{0j}^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y,j=1,\dots ,n,j\neq i\;;}$$ ${\displaystyle {\text{ or }}x_{0j}^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y/(\lambda _{0i}-\lambda _{0j}),{\text{ and }}\;2x_{0i}^{T}M\delta x_{i}=y_{n+1}}$

が単純な固有値である場合、固有ベクトルは正規直交基底を形成するため、任意の右辺に対して 1 つの解が得られるため、ヤコビアンは可逆です。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle x_{0j},j=1,\dots ,n}$

暗黙関数定理は連続的に微分可能な関数を提供するので 、 o表記をほとんど使わない展開 は次のようになる。 ${\displaystyle (K,M)\mapsto (\lambda _{i}(K,M),x_{i}(K,M))}$${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{0i}+\delta x_{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)}$

${\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i};}$ ${\displaystyle \delta x_{i}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}\mathbf {x} _{0j}{\text{ with}}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots n;j=1,\dots n;j\neq i.}$ これは摂動された固有値と固有ベクトルの一次展開であり、証明されています。

これは、行列のエントリの変化の関数として、 λ _iの感度分析を効率的に実行できることを意味します。（行列は対称であるため、K _{k ℓ を変更すると}K _{ℓ k も}変更されるため、(2 − δ _{k ℓ} )項が変わることに注意してください。）

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}&={\frac {\partial }{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}\left(\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\right)=x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right)\\{\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}&={\frac {\partial }{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}\left(\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\right)=-\lambda _{i}x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right).\end{aligned}}}$

同様に

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {x} _{i}}{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}&=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {x_{0j(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right)}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\\{\frac {\partial \mathbf {x} _{i}}{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}&=-\mathbf {x} _{0i}{\frac {x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}}{2}}(2-\delta _{k\ell })-\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {\lambda _{0i}x_{0j(k)}x_{0i(\ell )}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\left(2-\delta _{k\ell }\right).\end{aligned}}}$

単純なケースは です。ただし、[1] (Wikipedia WIMSの紹介を参照) などのオンラインツール や Sage SageMath を使用して、固有値と固有ベクトルを計算することができます。最小の固有値 と明示的な計算が得られます。さらに、関連付けられている固有ベクトルは です。これはユニタリベクトルではないため、および が得られます 。したがって、この例では、または であることを確認しました。 ${\displaystyle K={\begin{bmatrix}2&b\\b&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \lambda =-\left[{\sqrt {b^{2}+1}}+1\right]}$${\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}={\frac {-x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$${\displaystyle {\tilde {x}}_{0}=[x,-({\sqrt {x^{2}+1}}+1))]^{T}}$${\displaystyle x_{01}x_{02}={\tilde {x}}_{01}{\tilde {x}}_{02}/\|{\tilde {x}}_{0}\|^{2}}$${\displaystyle \|{\tilde {x}}_{0}\|^{2}=2{\sqrt {x^{2}+1}}({\sqrt {x^{2}+1}}+1)}$${\displaystyle {\tilde {x}}_{01}{\tilde {x}}_{02}=-x({\sqrt {x^{2}+1}}+1)}$${\displaystyle x_{01}x_{02}=-{\frac {x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}}$${\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}=2x_{01}x_{02}}$${\displaystyle \delta \lambda =2x_{01}x_{02}\delta b}$

上記の例では、非摂動システムと摂動システムの両方に対称行列が含まれており、線形独立な固有ベクトルの存在が保証されていることに注意してください。非対称行列を含む固有値問題では、線形独立な固有ベクトルを持つことは保証されませんが、と が同時に対角化可能であることが十分な条件です。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle \mathbf {M} }$

固有値問題の摂動に関するRellichの技術レポート ^[4]には、いくつかの例が示されています。基本的な例は第2章にあります。レポートは archive.orgからダウンロードできます。ここでは、固有ベクトルが厄介な動作をする例を示します。

次の行列 およびについて考えます。 に対して、行列 は固有値 に属する固有ベクトルを持ちます。に対してがそれぞれに属する任意の正規化固有ベクトルである場合、 はに対して実数であるため、 が として極限に向かうような方法で を定義することは明らかに不可能です。には として極限がないため、${\displaystyle B(\epsilon )=\epsilon {\begin{bmatrix}\cos(2/\epsilon )&,\sin(2/\epsilon )\\\sin(2/\epsilon )&,s\cos(2/\epsilon )\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A(\epsilon )=I-e^{-1/\epsilon ^{2}}B;}$ ${\displaystyle A(0)=I.}$${\displaystyle \epsilon \neq 0}$${\displaystyle A(\epsilon )}$${\displaystyle \Phi ^{1}=[\cos(1/\epsilon ),-\sin(1/\epsilon )]^{T};\Phi ^{2}=[\sin(1/\epsilon ),-\cos(1/\epsilon )]^{T}}$${\displaystyle \lambda _{1}=1-e^{-1/\epsilon ^{2})},\lambda _{2}=1+e^{-1/\epsilon ^{2})}}$${\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}$${\displaystyle \epsilon \neq 0}$${\displaystyle u^{j}(\epsilon ),j=1,2,}$${\displaystyle \lambda _{j}(\epsilon ),j=1,2}$${\displaystyle u^{j}=e^{\alpha _{j}(\epsilon )}\Phi ^{j}(\epsilon )}$${\displaystyle \alpha _{j},j=1,2}$${\displaystyle \epsilon \neq 0.}$${\displaystyle \alpha _{1}(\epsilon )}$${\displaystyle u^{1}(\epsilon )}$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0,}$${\displaystyle |u^{1}(\epsilon )|=|\cos(1/\epsilon )|}$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0.}$

この例では、 が連続しているだけでなく、すべての次数の連続導関数も持っていることに注意してください。 Rellich は、次の重要な結果を導き出しています。 << 一般に、個々の固有ベクトルは、演算子が摂動パラメータに依存していても、摂動パラメータに連続的に依存しないため、固有ベクトルではなく、同じ固有値に属するすべての固有ベクトルによって張られる空間を扱う必要があります。 >> ${\displaystyle A_{jk}(\epsilon )}$${\displaystyle A(\epsilon )}$

この例は前の例ほど厄介ではありません。が2x2単位行列で、任意のベクトルが固有ベクトルであるとすると、 は1つの固有ベクトルとなります。しかし、次のような小さな摂動を加えると、 ${\displaystyle [K_{0}]}$${\displaystyle u_{0}=[1,1]^{T}/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle [K]=[K_{0}]+{\begin{bmatrix}\epsilon &0\\0&0\end{bmatrix}}}$

すると、固有ベクトルはおよびとなり、 に対して定数となるためは定数となり、ゼロにはなりません。 ${\displaystyle v_{1}=[1,0]^{T}}$${\displaystyle v_{2}=[0,1]^{T}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \|u_{0}-v_{1}\|}$

• 摂動論（量子力学）
• バウアー・ファイクの定理

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