ジョルダン・シュヴァレー分解

それ${\displaystyle x_{s}}$そして${\displaystyle x_{n}}$は多項式である${\displaystyle x}$これは特に、それらが、と可換な任意の演算子と可換であることを意味する。${\displaystyle x}$この観察結果が、一意性証明の根拠となっている。

させて${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ジョルダン・シュヴァレー分解で、${\displaystyle x_{s}}$そして（したがって）${\displaystyle x_{n}}$は多項式である${\displaystyle x}$。 させて${\displaystyle x=x_{s}'+x_{n}'}$は任意のジョルダン・シュヴァレー分解とする。${\displaystyle x_{s}-x_{s}'=x_{n}'-x_{n}}$、 そして${\displaystyle x_{s}',x_{n}'}$両方とも通勤${\displaystyle x}$したがって、${\displaystyle x_{s},x_{n}}$これらは多項式なので${\displaystyle x}$可換な冪零演算子の和は再び冪零であり、可換な対角化可能な演算子の和は再び対角化可能である（なぜなら、それらは同時に代数的閉包上で対角化可能だからである）。${\displaystyle K}$）対角化可能かつ冪零である唯一の演算子は零演算子であるため、${\displaystyle x_{s}-x_{s}'=0=x_{n}-x_{n}'}$。

条件を示すために${\displaystyle x}$分離可能な多項式の積である最小多項式を持つことが必要であると仮定すると、${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$は、ジョルダン・シュヴァレー分解である。${\displaystyle p}$分離可能な最小多項式である${\displaystyle x_{s}}$二項定理を用いて確認すると、${\displaystyle p(x_{s}+x_{n})}$次のように書くことができます${\displaystyle x_{n}y}$どこ${\displaystyle y}$は、ある多項式である。${\displaystyle x_{s},x_{n}}$さらに、一部の人にとって${\displaystyle \ell \geq 1}$、${\displaystyle x_{n}^{\ell }=0}$。 したがって${\displaystyle p(x)^{\ell }=x_{n}^{\ell }y^{\ell }=0}$したがって、最小多項式は${\displaystyle x}$分割しなければならない${\displaystyle p^{\ell }}$。 として${\displaystyle p^{\ell }}$は分離可能な多項式の積です（つまり、${\displaystyle p}$）、したがって、最小多項式です。

基底体が完全体でない場合、最小多項式が分離可能な多項式の積にならない可能性があるため、ジョルダン・シュヴァレー分解が存在しない可能性がある。そのような最も単純な例は次のとおりである。${\displaystyle p}$素数とする。${\displaystyle k}$特性の不完全な場である${\displaystyle p,}$（例えば${\displaystyle k=\mathbb {F} _{p}(t)}$）そして選択する${\displaystyle a\in k}$それは${\displaystyle p}$力。${\displaystyle V=k[X]/\left(X^{p}-a\right)^{2},}$させて${\displaystyle x={\overline {X}}}$商の像とし、${\displaystyle T}$になる${\displaystyle k}$-線形演算子は、${\displaystyle x}$で${\displaystyle V}$最小多項式は正確に${\displaystyle \left(X^{p}-a\right)^{2}}$これは分離不可能で平方数です。ジョルダン・シュヴァレー分解の条件の必然性（前節で示したとおり）により、この演算子はジョルダン・シュヴァレー分解を持ちません。少なくとも平方数を含まない部分と冪零部分への分解が存在しない理由を具体的に見てみると参考になります。

多項式の代わりに${\displaystyle \left(X^{p}-a\right)^{2}}$同じ構成が${\displaystyle {X^{p}}-a}$結果として得られる演算子${\displaystyle T}$主定理により、依然としてジョルダン・シュヴァレー分解は認められない。しかし、${\displaystyle T}$半単純である。自明な分解${\displaystyle T=T+0}$したがって表現する${\displaystyle T}$半単純演算子と冪零演算子の和として表され、どちらも の多項式である。${\displaystyle T}$。

この構成は、テイラーの定理の代数的類似物を使用して、ニュートン法の変形を介して特定の代数的性質を持つ要素を見つけるという点で、ヘンゼルの補題に似ています。この形式は、（Geck 2022）から引用されています。

させて${\displaystyle x}$最小多項式を持つ${\displaystyle p}$そして、これが分離可能な多項式の積であると仮定します。この条件は、何らかの分離可能な多項式が存在することを要求するのと同等です。${\displaystyle q}$そのため${\displaystyle q\mid p}$そして${\displaystyle p\mid q^{m}}$一部の人にとって${\displaystyle m\geq 1}$ベズーの補題により、多項式が存在する。${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$そのため${\displaystyle {uq+{vq'}}=1}$これは再帰を定義するために使用できます。${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-v(x_{n})q(x_{n})}$から始める${\displaystyle x_{0}=x}$貸す${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$は、多項式である演算子の代数である。${\displaystyle x}$帰納法により、すべての に対して が成り立つことが確認できる。${\displaystyle n}$:

• ${\displaystyle x_{n}\in {\mathfrak {X}}}$各ステップで多項式が適用されるため、
• ${\displaystyle q(x_{n})\in q(x)^{2^{n}}\cdot {\mathfrak {X}}}$なぜなら${\displaystyle q(x_{n+1})=q(x_{n})+q'(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})+(x_{n+1}-x_{n})^{2}h}$一部の人にとって${\displaystyle h\in {\mathfrak {X}}}$（テイラーの定理の代数版による）。定義により${\displaystyle x_{n+1}}$だけでなく${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$これは、${\displaystyle q(x_{n+1})=q(x_{n})^{2}(u(x_{n})+v(x_{n})^{2}h)}$それは確かに${\displaystyle q(x)^{2^{n+1}}\cdot {\mathfrak {X}}}$帰納仮説により、
• ${\displaystyle x_{n}-x\in q(x)\cdot {\mathfrak {X}}}$なぜなら${\displaystyle x_{n+1}-x=(x_{n+1}-x_{n})+(x_{n}-x)}$そして両方の用語は${\displaystyle q(x)\cdot {\mathfrak {X}}}$1つ目は前述の点から、2つ目は帰納的仮説から導かれる。

したがって、${\displaystyle 2^{n}\geq m}$、${\displaystyle q(x_{n})=0}$2ポイント目以降${\displaystyle p\mid q^{m}}$そして${\displaystyle p(x)=0}$最小多項式は${\displaystyle x_{n}}$分割する${\displaystyle q}$したがって分離可能である。さらに、${\displaystyle x_{n}}$多項式になります${\displaystyle x}$最初のポイントと${\displaystyle x_{n}-x}$3 番目の点では冪零になります (実際には、${\displaystyle (x_{n}-x)^{m}=0}$）。 したがって、${\displaystyle x=x_{n}+(x-x_{n})}$ジョルダン・シュヴァレー分解は${\displaystyle x}$証明終了

この証明は、完全に初等的であることに加えて、アルゴリズム的であるという利点があります。ケイリー・ハミルトンの定理により、${\displaystyle p}$は、${\displaystyle x}$そして多くの状況において、${\displaystyle q}$から判断できる${\displaystyle p}$[ ^{3 ]}それ^から${\displaystyle v}$ユークリッドの互除法を用いて決定することができる。多項式を適用する反復${\displaystyle vq}$行列に対しては、以下のいずれかが実行される。${\displaystyle v(x_{n})q(x_{n})=0}$（そうすれば後の値はすべて等しくなるため）または${\displaystyle 2^{n}}$ベクトル空間の次元を超える${\displaystyle x}$定義される（${\displaystyle n}$は、上記で述べた反復ステップ数です。

この証明、またはその変形は、ジョルダン・シュヴァレー分解を確立するためによく用いられます。この証明の利点は、非常に直接的であり、ジョルダン・シュヴァレー分解にどれだけ近づけるかをかなり正確に記述できることです。${\displaystyle L}$は最小多項式の分解体である。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle G}$は自己同型群である${\displaystyle L}$ベースフィールドを修正する${\displaystyle K}$すると、セット${\displaystyle F}$要素の${\displaystyle L}$すべての要素によって固定される${\displaystyle G}$包含物を含むフィールドです${\displaystyle K\subseteq F\subseteq L}$（ガロア対応を参照）。以下では、${\displaystyle x}$ジョーダン・シュヴァレー分解を許容する${\displaystyle F}$ただし、より小さな体には適用できません。この議論ではガロア理論は使用されていません。しかし、上記のジョルダン・シュヴァレーの存在条件をここから導き出すにはガロア理論が必要です。

上記では、${\displaystyle x}$ジョルダン標準形を持つ（つまり、最小多項式が${\displaystyle x}$分割) の場合、ジョルダン・シュヴァレー分解が成り立ちます。この場合、次のことも直接確認できます。${\displaystyle x_{n}}$（したがって、${\displaystyle x_{s}}$) は、${\displaystyle x}$実際、ジョルダン行列の分解についてこれを検証すれば十分である。${\displaystyle J=D+R}$これは技術的な議論ですが、中国剰余定理以外のトリックは必要ありません。

この事実は、一般の場合のジョルダン・シュヴァレー分解を導出するために使用できる。${\displaystyle L}$最小多項式の分解体とする${\displaystyle x}$、 となることによって${\displaystyle x}$ジョーダンの通常のフォームを認める${\displaystyle L}$そして、先ほど述べた議論により、${\displaystyle x}$ジョルダン・シュヴァレー分解を持つ${\displaystyle x={c(x)}+{(x-{c(x)})}}$どこ${\displaystyle c}$は、係数が の多項式です。${\displaystyle L}$、${\displaystyle c(x)}$対角化可能（${\displaystyle L}$） そして${\displaystyle x-c(x)}$冪零である。

させて${\displaystyle \sigma }$の体自己同型である${\displaystyle L}$修正する${\displaystyle K}$。 それから $${\displaystyle c(x)+(x-{c(x)})=x={\sigma (x)}={\sigma ({c(x)})}+{\sigma (x-{c(x)})}}$$ ここ${\displaystyle \sigma (c(x))=\sigma (c)(x)}$は多項式である${\displaystyle x}$なので${\displaystyle x-c(x)}$。 したがって、${\displaystyle \sigma (c(x))}$そして${\displaystyle \sigma (x-c(x))}$通勤。また、${\displaystyle \sigma (c(x))}$は対角化可能であり、${\displaystyle \sigma ({x-c(x)})}$は冪零である。したがって、ジョルダン・シュヴァレー分解の一意性により（${\displaystyle L}$)${\displaystyle \sigma (c(x))=c(x)}$そして${\displaystyle \sigma (c(x))=c(x)}$したがって、定義により、${\displaystyle x_{s},x_{n}}$は、(行列で表される) 上の自己準同型写像である。${\displaystyle F}$最後に、${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$含まれる${\displaystyle L}$-空間をまたぐ基底${\displaystyle x_{s},x_{n}}$同様の議論により、次のこともわかります。${\displaystyle c}$係数を持つ${\displaystyle F}$証明終了

最小多項式${\displaystyle x}$が分離可能な多項式の積である場合、体拡大${\displaystyle L/K}$はガロアであり、つまり${\displaystyle F=K}$。

ジョルダン・シュヴァレー分解は、次の定式化においてウェダーバーン主定理と非常に密接に関連している。 ^{[ 4 ]}

通常、この定理における「分離可能」という用語は、分離可能代数の一般的な概念を指し、この定理はより一般的な強力な結果の系として確立される可能性があります。^{[ 5 ]}しかし、すべての要素が分離可能な最小多項式を持つというより基本的な意味で解釈すると、この記述は、上述のジョルダン・シュヴァレー分解と本質的に同等になります。これは分解を別の視点から見る方法であり、例えば（Jacobson 1979 ）はこの方法でそれを確立しています。

完全体の場合、この結果は単純化されます。実際、${\displaystyle A/J}$は最小多項式の意味で常に分離可能である。${\displaystyle a\in A}$すると最小多項式${\displaystyle p}$は分離可能な多項式の積なので、分離可能な多項式が存在する${\displaystyle q}$そのため${\displaystyle q\mid p}$そして${\displaystyle p\mid q^{m}}$一部の人にとって${\displaystyle m\geq 1}$。 したがって${\displaystyle q(a)\in J}$なので${\displaystyle A/J}$最小多項式${\displaystyle a+J}$分ける${\displaystyle q}$したがって分離可能である。定理の重要な点は、${\displaystyle A/J}$分離可能である（その条件は空虚であるため）が、半単純である、つまりその根号は自明である。

リー代数についても同様のことが言えるが、それは標数0の場合に限られる。これがレヴィの定理の内容である。（なお、両方の結果における半単純の概念は確かに対応している。なぜなら、どちらの場合も、これは単純部分代数の和であること、あるいは少なくとも有限次元の場合においては自明な根基を持つことと同値だからである。）

上記のウェダーバーン主定理の証明における重要な点は、要素が${\displaystyle x\in A}$線形演算子に対応する${\displaystyle T_{x}:A\to A}$同じ性質を持つ。リー代数の理論では、これはリー代数の随伴表現に対応する。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$この分解された演算子はジョルダン・シュヴァレー分解を持つ。${\displaystyle \operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (x)_{s}+\operatorname {ad} (x)_{n}}$結合法則の場合と同様に、これは次の分解に対応します。${\displaystyle x}$しかし、多項式はツールとして利用できません。これが意味を成す1つの状況は、次のような制限されたケースです。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$リー代数に含まれる${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$有限次元ベクトル空間の自己準同型写像について${\displaystyle V}$完璧なフィールドを越えて${\displaystyle K}$実際、任意の半単純リー代数はこのようにして実現できる。^{[ 6 ]}

もし${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ジョルダン分解は、${\displaystyle \operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (x_{s})+\operatorname {ad} (x_{n})}$は随伴自己準同型のジョルダン分解である。${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ベクトル空間上${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$実際には、まず、${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{s})}$そして${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{n})}$通勤以来${\displaystyle [\operatorname {ad} (x_{s}),\operatorname {ad} (x_{n})]=\operatorname {ad} ([x_{s},x_{n}])=0}$第二に、一般に、各自己準同型写像について${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$、 我々は持っています：

1. もし${\displaystyle y^{m}=0}$、 それから${\displaystyle \operatorname {ad} (y)^{2m-1}=0}$、 以来${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$は、 yによる左側と右側の乗算の差です。
2. もし${\displaystyle y}$半単純である場合、${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$は半単純である。半単純とは、完全体上で対角化可能であることと同値である（もし${\displaystyle y}$基底上で対角線となる${\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}}$、 それから${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$マップで構成される基底上で対角線となる${\displaystyle M_{ij}}$と${\displaystyle b_{i}\mapsto b_{j}}$そして${\displaystyle b_{k}\mapsto 0}$のために${\displaystyle k\neq 0}$[ ^{7 ]​}

したがって、一意性により、${\displaystyle \operatorname {ad} (x)_{s}=\operatorname {ad} (x_{s})}$そして${\displaystyle \operatorname {ad} (x)_{n}=\operatorname {ad} (x_{n})}$。

随伴表現は、任意のリー代数の非常に自然で一般的な表現です。上記の議論は、これを一般化する一般的な原理を例示（そして実際に証明）しています。${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} は完全体上の半単純有限次元リー代数の任意の有限次元表現である${\displaystyle \pi }$以下の意味でジョルダン分解を保持する：${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$、 それから${\displaystyle \pi (x_{s})=\pi (x)_{s}}$そして${\displaystyle \pi (x_{n})=\pi (x)_{n}}$[ ^{8 ] [ 9 ]​}

ジョルダン分解は自己準同型の冪零性を特徴づけるために使用できる。kを標数ゼロの代数的閉体とする。${\displaystyle E=\operatorname {End} _{\mathbb {Q} }(k)}$kは有理数体上の自己準同型環であり、 V はk上の有限次元ベクトル空間である。自己準同型が与えられた場合${\displaystyle x:V\to V}$、 させて${\displaystyle x=s+n}$ジョルダン分解とする。${\displaystyle s}$対角化可能である。すなわち、${\textstyle V=\bigoplus V_{i}}$それぞれ${\displaystyle V_{i}}$は固有値の固有空間です${\displaystyle \lambda _{i}}$多重度${\displaystyle m_{i}}$すると、任意の${\displaystyle \varphi \in E}$させて${\displaystyle \varphi (s):V\to V}$自己準同型写像を次のように定義する。${\displaystyle \varphi (s):V_{i}\to V_{i}}$は${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})}$シュヴァレーが呼ぶ${\displaystyle \varphi (s)}$レプリカ​​${\displaystyle s}$によって与えられた${\displaystyle \varphi }$（例えば、${\displaystyle k=\mathbb {C} }$（すると、自己準同型の複素共役はレプリカの一例となる。）さて、

証明:まず、${\displaystyle n\varphi (s)}$冪零である、

${\displaystyle 0=\operatorname {tr} (x\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} \left(s\varphi (s)|V_{i}\right)=\sum _{i}m_{i}\lambda _{i}\varphi (\lambda _{i})}$。

もし${\displaystyle \varphi }$これは複雑な共役であり、これは${\displaystyle \lambda _{i}=0}$すべてのiについて。そうでない場合は、${\displaystyle \varphi }$になる${\displaystyle \mathbb {Q} }$-線形関数${\displaystyle \varphi :k\to \mathbb {Q} }$に続く${\displaystyle \mathbb {Q} \hookrightarrow k}$上記の式にそれを適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\varphi (\lambda _{i})^{2}=0}$

そして、${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})}$すべて実数です。${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})=0}$すべてのiについて。線形汎関数を変化させると、${\displaystyle \lambda _{i}=0}$すべてのiについて。${\displaystyle \square }$

上記の基準の典型的な応用例は、リー代数の可解性に関するカルタンの基準の証明である。それは次のように述べている。${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$は、標数ゼロの体k上のリー部分代数であり、${\displaystyle \operatorname {tr} (xy)=0}$各${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},y\in D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$、 それから${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$解決可能です。

証明: ^{[ 11 ]}一般性を失うことなく、kは代数的に閉じていると仮定する。リーの定理とエンゲルの定理により、各 に対して を示すだけで十分である。${\displaystyle x\in D{\mathfrak {g}}}$、${\displaystyle x}$はVの冪零自己準同型である。${\textstyle x=\sum _{i}[x_{i},y_{i}]}$では、次に以下を示す必要があります。

${\displaystyle \operatorname {tr} (x\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} ([x_{i},y_{i}]\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} (x_{i}[y_{i},\varphi (s)])}$

はゼロです。${\displaystyle {\mathfrak {g}}'={\mathfrak {gl}}(V)}$. 注記：${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x):{\mathfrak {g}}\to D{\mathfrak {g}}}$そして、${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)}$は、ジョルダン分解の半単純部分である。${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)}$したがって、${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)}$定数項のない多項式${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)}$;したがって、${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s):{\mathfrak {g}}\to D{\mathfrak {g}}}$そして、それは${\displaystyle \varphi (s)}$の代わりに${\displaystyle s}$つまり、${\displaystyle [\varphi (s),{\mathfrak {g}}]\subset D{\mathfrak {g}}}$これは、仮定が与えられた場合の主張を意味する。${\displaystyle \square }$

させて${\displaystyle G}$完全体上の線形代数群とする。すると、定義により、閉じた埋め込みが存在する。${\displaystyle G\hookrightarrow \mathbf {GL} _{n}}$では、各要素について${\displaystyle g\in G}$乗法ジョルダン分解により、半単純要素のペアが存在する。${\displaystyle g_{s}}$そして単能性要素${\displaystyle g_{u}}$先験的に${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$そのため${\displaystyle g=g_{s}g_{u}=g_{u}g_{s}}$しかし、実際には、^{[ 12 ]}要素${\displaystyle g_{s},g_{u}}$であることが示される${\displaystyle G}$（つまり、 Gの定義方程式を満たし、埋め込みに依存しない）${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$つまり、分解は本質的なものである。

Gがアーベル群の場合、${\displaystyle G}$は、 Gの半単純要素の閉部分群と単冪要素の閉部分群の直積である。 ^{[ 13 ]}