移動最小二乗法

移動最小二乗法は、再構成値が要求される点の周辺領域に偏った重み付き最小二乗尺度を計算することにより、整理されていない点サンプルの集合から連続関数を再構築する方法である。

コンピュータグラフィックスにおいて、移動最小二乗法は、点群から表面を再構築する際に有用です。多くの場合、点群からダウンサンプリングまたはアップサンプリングによって3D表面を作成するために用いられます。

離散化が難しい形状の影響を扱う数値解析では、曲面やその他の形状上の偏微分方程式を解くために移動最小二乗法も使用され、一般化されてきました。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]これには、スカラー放物型偏微分方程式[ 1 ] [ 3 ]やベクトル値流体力学偏微分方程式[ 2 ]}を解くために曲面用に開発された数値法が含まれます。

機械学習では、移動最小二乗法はモデルクラスや学習方法の開発にも使用されています。これには、関数回帰法^{[ 4 ]}や、GMLS-Netsなどのニューラルネットワーク関数および演算子回帰アプローチ^{[ 5 ]が含まれます。}

関数を考える${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$そしてサンプル点のセット${\displaystyle S=\{(x_{i},f_{i})|f(x_{i})=f_{i}\}}$すると、次数 の移動最小二乗近似${\displaystyle m}$その時点で${\displaystyle x}$は$\displaystyle {\tilde {p}}(x)}$どこ${\displaystyle {\tilde {p}}}$重み付き最小二乗誤差を最小化する

${\displaystyle \sum _{i\in I}(p(x_{i})-f_{i})^{2}\theta (\|x-x_{i}\|)}$

すべての多項式について${\displaystyle p}$学位${\displaystyle m}$で$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。${\displaystyle \theta (s)}$は重量であり、ゼロに近づく。$s→∞$。

この例では$\displaystyle \theta (s)=e^{-s^{2}}}$3次の滑らかな補間器は、2次補間器です。

• 局所回帰
• 拡散要素法
• 移動平均線

• 移動最小二乗法の近似能力 David Levin著、Mathematics of Computation、第67巻、1517-1531ページ、1998年
• 移動最小二乗応答曲面近似：定式化と金属成形への応用Piotr Breitkopf; Hakim Naceur; Alain Rassineux; Pierre Villon、Computers and Structures、第83巻、17-18、2005年。
• 有限要素法の一般化：拡散近似と拡散要素、B・ネイロール、G・トゥゾー。ピエール・ヴィヨン、P、『計算力学』第10巻、307-318ページ、1992年

• 散在データの近似と補間における最小二乗法、重み付き最小二乗法、移動最小二乗法の簡潔な入門