弱い処方

弱形式は、線形代数の概念を応用して偏微分方程式などの他の分野の問題を解決することを可能にする、数式解析のためのツールです。弱形式では、方程式や条件が絶対的に成り立つ必要はなく（そもそも明確に定義されていません）、特定の「テストベクトル」または「テスト関数」に関してのみ弱解を持ちます。強形式では、これらの方程式や条件が既に満たされるように解空間が構築されます。

ラックス・ミルグラムの定理は、 1954年にそれを証明したピーター・ラックスとアーサー・ミルグラムにちなんで名付けられ、ヒルベルト空間上の特定のシステムに対する弱い定式化を提供する。

させて${\displaystyle V}$をバナッハ空間とする。${\displaystyle V'}$双対空間である${\displaystyle V}$、 させて${\displaystyle A\colon V\to V'}$を線形写像とし、${\displaystyle f\in V'}$ベクトル${\displaystyle u\in V}$は方程式の解である

$${\displaystyle Au=f}$$

すべての${\displaystyle v\in V}$、

$${\displaystyle (Au)(v)=f(v).}$$

特定の選択${\displaystyle v}$は、（一般に）テストベクトルまたはテスト関数（もし${\displaystyle V}$（関数空間）

これを弱形式の一般的な形にするには、${\displaystyle u\in V}$そのため

$${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,}$$

双線形形式を定義することによって

$${\displaystyle a(u,v):=(Au)(v).}$$

さあ、${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle A:V\to V}$線形写像である。すると、方程式の弱形式は次のようになる。

$${\displaystyle Au=f}$$

発見すること${\displaystyle u\in V}$すべての${\displaystyle v\in V}$以下の等式が成り立つ。

$${\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,}$$

どこ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$は内積を表します。

内積は双線形なので、基底ベクトルでテストすれば十分であり、次の式が得られます。

$${\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ldots ,n.}$$

実際には、拡大${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$すると、方程式の行列形式が得られます。

$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,}$$

どこ${\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }$そして${\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle }$。

この弱形式に関連付けられた双線形形式は

$${\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}$$

ポアソン方程式を解く

$${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,}$$

ドメイン上$\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$と${\displaystyle u=0}$その境界上で、解空間を指定する${\displaystyle V}$後で、$\displaystyle L^{2}}$-スカラー積

$${\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx}$$

弱形式を導出する。次に、微分可能な関数でテストする。${\displaystyle v}$収量

$${\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

この方程式の左辺は、グリーンの恒等式を用いて部分積分を行い、以下の仮定を置くことで、より対称的にすることができる。${\displaystyle v=0}$の上${\displaystyle \partial \Omega }$:

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

これは通常、ポアソン方程式の弱形式と呼ばれるものです。 解空間内の関数${\displaystyle V}$境界上でゼロでなければならず、二乗可積分な導関数を持つ必要がある。これらの要件を満たす適切な空間はソボレフ空間である。${\displaystyle H_{0}^{1}(\オメガ )}$弱い導関数を持つ関数の${\displaystyle L^{2}(\オメガ)}$境界条件はゼロなので、${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\オメガ )}$。

一般形は、割り当てることによって得られます。

$${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}$$

そして

$${\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

これは、双線形形式の対称部分の性質に基づいたラックス・ミルグラムの定理の定式化である。これは最も一般的な形式ではない。

させて${\displaystyle V}$真のヒルベルト空間であり、${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$双線形形式${\displaystyle V}$それは

1. 境界付き:${\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|\,;}$そして
2. 強制する：${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}\,.}$

次に、任意の有界な${\displaystyle f\in V'}$独自の解決策があります${\displaystyle u\in V}$方程式に

$${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V}$$

そしてそれは保持する

$${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}\,.}$$

• バブシュカ・ラックス・ミルグラムの定理
• ライオンズ・ラックス・ミルグラムの定理

• Lax, Peter D. ; Milgram, Arthur N. (1954)、「放物型方程式」、偏微分方程式の理論への貢献、Annals of Mathematics Studies、第33巻 、プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局、pp. 167–190、doi：10.1515/9781400882182-010、ISBN  9781400882182MR 0067317、Zbl 0058.08703​  {{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

• MathWorldのLax–Milgram定理に関するページ