多目的最適化

経済学では、多くの問題において、複数の目的と、それらの目的の組み合わせが達成可能であるかどうかの制約が関係します。例えば、消費者の様々な財に対する需要は、それらの財から得られる効用を最大化するプロセスによって決定されますが、その際、財に支出できる所得額と財の価格に基づく制約が課されます。この制約により、ある財をより多く購入するには、別の財の消費量を減らす必要があります。したがって、様々な目的（各財の消費量を増やすことが望ましい）は互いに矛盾します。このような問題を分析する一般的な方法は、選好を表す無差別曲線と、消費者が直面するトレードオフを表す予算制約のグラフを用いることです。

もう一つの例は、生産可能性フロンティアです。これは、ある社会が一定量の様々な資源を用いて、どのような種類の財の組み合わせを生産できるかを示すものです。このフロンティアは、社会が直面するトレードオフを明確に示しています。つまり、社会が資源を最大限に活用している場合、ある財の生産量を増やすには、別の財の生産量を減らす必要があるということです。社会は、このフロンティア上の可能性の中から、何らかのプロセスを用いて選択しなければなりません。

マクロ経済政策の策定は、多目的最適化を必要とする状況です。中央銀行は通常、低インフレ、低失業率、低貿易赤字など、相反する目標のバランスを取る金融政策のスタンスを選択する必要があります。そのため、中央銀行は経済における様々な因果関係を定量的に記述する経済モデルを用います。そして、様々な金融政策スタンスの下でモデルを繰り返しシミュレーションすることで、関心のある様々な変数について予測される結果の選択肢を得ます。原則として、中央銀行は集計目的関数を用いて予測結果の選択肢を評価することができますが、実際には、選択肢の順位付けと政策決定には、定量的ではない判断に基づくプロセスが用いられます。

金融においてよくある問題は、ポートフォリオの期待収益率をできるだけ高くしたいという願望と、ポートフォリオ収益率の標準偏差で測定されることが多いリスクをできるだけ低くしたいという願望という、相反する2つの目的があるときにポートフォリオを選択することです。この問題は、効率的フロンティアが利用可能なリスクと期待収益率の最適な組み合わせを示し、無差別曲線がさまざまなリスクと期待収益率の組み合わせに対する投資家の選好を示すグラフで表されることがよくあります。ポートフォリオ収益率の期待値（1次モーメント）と標準偏差（2次中心モーメントの平方根）の関数を最適化する問題は、2モーメント決定モデルと呼ばれます。

工学や経済学では、多くの問題には複数の目的が関係しており、それらは「多ければ多いほど良い」とか「少なければ少ないほど良い」といった単純なものではなく、それぞれの目的に対して理想的な目標値があり、その目標値にできるだけ近づけることが求められます。例えば、エネルギーシステムでは、性能とコストの間にトレードオフが存在するのが一般的です^{[ 5 ] [ 6 ]。}また、ロケットの燃料使用量と姿勢を調整して、指定された場所と時間の両方に到着させたい場合もあるでしょう。あるいは、インフレ率と失業率の両方が目標値にできるだけ近づくように、公開市場操作を行いたい場合もあるでしょう。

多くの場合、このような問題には線形等式制約が課せられ、特に制御可能な変数の数が目的の数よりも少ない場合や、ランダムショックの存在によって不確実性が生じる場合、すべての目的を同時に完全に達成することができません。一般的には、目的に関連するコストが目的の理想値からの距離に応じて2乗的に増加する多目的二次目的関数が使用されます。これらの問題は通常、さまざまな時点で制御変数を調整したり、さまざまな時点で目的を評価したりすることを伴うため、時間間最適化手法が採用されます。^{[ 7 ]}

製品およびプロセス設計は、最新のモデリング、シミュレーション、最適化技術を用いることで大幅に改善できます。最適な設計における重要な問いは、設計の何が優れているか、何が望ましいかを測定することです。最適な設計を探す前に、設計の全体的な価値に最も貢献する特性を特定することが重要です。優れた設計には、通常、設備投資、運用コスト、利益、品質および/または製品回収率、効率、プロセス安全性、稼働時間など、複数の基準/目標が含まれます。したがって、実際の応用においては、プロセスおよび製品設計のパフォーマンスは、多くの場合、複数の目標に関して測定されます。これらの目標は通常、相反するものであり、つまり、ある目標で最適な値を達成するには、1つ以上の目標で何らかの妥協が必要となります。

例えば、製紙工場を設計する際には、工場への投資額を削減しつつ、紙の品質を向上させることを目指すことができます。製紙工場の設計が大きな貯蔵容量によって定義され、紙の品質が品質パラメータによって定義される場合、製紙工場の最適設計問題には、i) これらの品質パラメータの公称値からの期待変動の最小化、ii) 予想される中断時間の最小化、iii) 貯蔵容量への投資コストの最小化といった目的が含まれる可能性があります。ここで、タワーの最大容量は設計変数となります。製紙工場の最適設計のこの例は、 ^{[ 8 ]}で使用されているモデルの簡略化です。多目的設計最適化は、制御盤レイアウトの最適化、^{[ 9 ]}科学的ワークフローを使用した翼型形状の最適化、^{[ 10 ]}ナノCMOSの設計、^{[ 11 ]}システム オン チップの設計、太陽光発電灌漑システムの設計、^{[ 12 ]}砂型システムの最適化、^{[ 13 ] [ 14} ]エンジン設計、^{[ 15 ] [ 16 ]}最適なセンサー配置^{[ 17 ]および最適なコントローラー設計[ 18 ] [ 19 ]などの状況でエンジニアリング システムに}も実装されています。

多目的最適化は、化学工学や製造業においてますます広く用いられるようになっている。2009年、FiandacaとFragaは、圧力スイング吸着プロセス（循環分離プロセス）を最適化するために、多目的遺伝的アルゴリズム（MOGA）を使用した。設計問題は、窒素回収率と窒素純度の二重最大化を伴うものであった。結果は、目的間の許容可能なトレードオフでパレートフロンティアによく近似した。^{[ 20 ]}

2010年、Sendínらは食品の熱処理に関する多目的問題を解決した。彼らは非線形動的モデルを用いて2つのケーススタディ（2目的問題と3目的問題）に取り組んだ。彼らは重み付きチェビシェフ法と正規境界交差法を組み合わせたハイブリッドアプローチを使用した。この新しいハイブリッドアプローチにより、食品の熱処理に関するパレート最適解セットを構築することができた。^{[ 21 ]}

2013年、Ganesanらは、二酸化炭素改質とメタンの部分酸化を組み合わせた多目的最適化を実施した。目的関数は、メタン転化率、一酸化炭素選択性、および水素と一酸化炭素の比率であった。Ganesanは、正規境界交差（NBI）法と2つの群知能ベースの手法（重力探索アルゴリズム（GSA）と粒子群最適化（PSO））を組み合わせてこの問題に取り組んだ。^{[ 22 ]化学抽出[ 23 ]}やバイオエタノール生産プロセス^{[ 24 ]}を含むアプリケーションでは、同様の多目的問題が提起されている。

2013年、Abakarovらは食品工学で発生する多目的最適化問題を解決するための代替手法を提案した。^{[ 25 ]}集約関数アプローチ、適応型ランダム探索アルゴリズム、およびペナルティ関数アプローチを使用して、非劣解またはパレート最適解の初期セットを計算した。浸透脱水プロセスについて、計算された非劣解のサブセットの中から最良の代替案を選択するために、分析階層プロセスと表形式法が同時に使用された。^{[ 26 ]}

2018年、Pearceらは、生産時間と人間作業者への人間工学的影響を定式化で考慮した2つの目的として、人間とロボット作業者への作業割り当てを多目的最適化問題として定式化した。彼らのアプローチでは、混合整数線形計画法を使用して、2つの目的の加重和の最適化問題を解き、パレート最適解のセットを計算した。このアプローチをいくつかの製造作業に適用したところ、ほとんどの作業で少なくとも1つの目的が改善され、一部のプロセスでは両方の目的が改善された。^{[ 27 ]}

無線リソース管理の目的は、セルラーネットワークのユーザーが要求するデータレートを満たすことです。^{[ 28 ]}主なリソースは、時間間隔、周波数ブロック、送信電力です。各ユーザーは、データレート、遅延、エネルギー効率の組み合わせなどを表す独自の目的関数を持っています。周波数リソースは非常に希少であるため、これらの目的は相反します。そのため、厳密に空間周波数を再利用する必要がありますが、適切に制御しないと、ユーザー間の干渉が膨大になります。現在では、適応型プリコーディングによって干渉を低減するために、マルチユーザーMIMO技術が使用されています。ネットワークオペレーターは、広いカバレッジと高いデータレートの両方を実現したいと考えているため、オペレーターは、ネットワーク全体のデータスループットとユーザーの公平性を適切な主観的方法でバランスさせるパレート最適解を見つけたいと考えています。

無線リソース管理は、多くの場合、スカラー化によって解決されます。つまり、スループットとユーザーの公平性のバランスを取ろうとするネットワーク効用関数を選択することです。効用関数の選択は、結果として得られる単一目的最適化問題の計算複雑度に大きな影響を与えます。^{[ 28 ]}例えば、一般的な効用関数である加重合計レートは、ユーザー数に対して指数関数的に増加する複雑度を持つNP困難問題となりますが、加重最大最小公平性効用関数は、ユーザー数に対して多項式的に増加するだけの準凸最適化問題となります。^{[ 29 ]}

システムの要素間の機能リンクを交換する再構成は、配電システムの運用パフォーマンスを向上させることができる最も重要な対策の 1 つです。配電システムの再構成による最適化の問題は、定義上、制約付きの歴史的な単一目的問題です。1975 年に Merlin と Back ^{[ 30 ]}が電力損失削減のための配電システムの再構成のアイデアを導入して以来、今日まで、多くの研究者が再構成問題を単一目的問題として解決するためのさまざまな方法とアルゴリズムを提案してきました。一部の著者は、パレート最適性に基づくアプローチ (目的として電力損失と信頼性指標を含む) を提案しています。この目的のために、さまざまな人工知能ベースの方法が使用されています。マイクロ遺伝的^{[ 31 ]} 、分岐交換^{[ 32 ]} 、粒子群最適化^{[ 33 ]}、非劣解ソート遺伝的アルゴリズム^{[ 34 ]などです。}

インフラの自律検査は、検査対象資産の定期メンテナンスの改善だけでなく、コスト、リスク、環境への影響を軽減する可能性を秘めています。通常、このようなミッションの計画は、対象構造物全体の検査に費やすエネルギーや時間を最小化することを目的とする単一目的最適化問題として捉えられてきました。^{[ 35 ]}しかし、複雑な現実世界の構造物の場合、検査対象の100%をカバーすることは現実的ではなく、検査計画の作成は、検査範囲を最大化し、時間とコストを最小化することを目的とする多目的最適化問題として捉える方が適切かもしれません。最近の研究では、多目的検査計画は、複雑な構造物において従来の方法よりも優れた性能を発揮する可能性を秘めていることが示されています。^{[ 36 ]}

効用関数法は、意思決定者の効用関数が利用可能であることを前提としている。${\displaystyle u\colon Y\rightarrow \mathbb {R} }$すべての に対して がユーティリティ関数である場合${\displaystyle \mathbf {y} ^{1},\mathbf {y} ^{2}\in Y}$それは、${\displaystyle u(\mathbf {y} ^{1})>u(\mathbf {y} ^{2})}$意思決定者が好む場合$\displaystyle \mathbf {y} ^{1}}$に$\displaystyle \mathbf {y} ^{2}}$、 そして${\displaystyle u(\mathbf {y} ^{1})=u(\mathbf {y} ^{2})}$意思決定者がどちらでも構わない場合$\displaystyle \mathbf {y} ^{1}}$そして$\displaystyle \mathbf {y} ^{2}}$効用関数は決定ベクトルの順序を指定します（ベクトルはさまざまな方法で順序付けできることを思い出してください）。${\displaystyle u}$得られたら、解決すれば十分です

${\displaystyle \max \;u(\mathbf {f} (\mathbf {x} )){\text{ 制約条件 }}\mathbf {x} \in X,}$

しかし実際には、意思決定者の好みを正確に表す効用関数を構築することは非常に困難である^{[ 2 ]}。特に、最適化が始まる前にパレートフロンティアが不明であるためである。

辞書式法は、目的を重要度の順にランク付けできると仮定します。目的関数は重要度の順に並んでいると仮定します。${\displaystyle f_{1}}$最も重要で${\displaystyle f_{k}}$意思決定者にとって最も重要度の低いもの。この前提のもと、辞書式最適解を得るために様々な手法を用いることができる。ただし、ここではどの目的関数に対しても目標値やターゲット値が指定されていないため、辞書式目標計画法とは異なる点に注意が必要である。

多目的最適化問題をスカラー化することは、先験的な方法であり、これは、単目的最適化問題の最適解が多目的最適化問題のパレート最適解となるような単目的最適化問題を定式化することを意味します。^{[ 3 ]}さらに、スカラー化のいくつかのパラメータによってすべてのパレート最適解に到達できることがしばしば要求されます。^{[ 3 ]}スカラー化のパラメータが異なると、異なるパレート最適解が生成されます。多目的最適化問題のスカラー化の一般的な定式化は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\min &g(f_{1}(x),\ldots ,f_{k}(x),\theta )\\{\text{st}}&x\in X_{\theta }\end{array}}}$

どこ${\displaystyle \theta }$はベクトルパラメータであり、セット${\displaystyle X_{\theta }\subseteq X}$パラメータに応じてセットになります${\displaystyle \theta }$、 そして${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{k+1}\rightarrow \mathbb {R} }$は関数です。

非常に有名な例としては、以下のようなものがあります。

• 線形スカラー化

${\displaystyle \min _{x\in X}\sum _{i=1}^{k}w_{i}f_{i}(x)}$

目的の重み付け${\displaystyle w_{i}>0}$これらはスカラー化のパラメータです。

• ${\displaystyle \epsilon }$-制約法（例えば^{[ 2 ]}を参照）

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\min &f_{j}(x)\\{\text{st}}&x\in X\\&f_{i}(x)\leq \epsilon _{i}{\text{ for }}i\in \{1,\ldots ,k\}\setminus \{j\}\end{array}}}$

上限値$\displaystyle \epsilon _{j}}$上記のパラメータと${\displaystyle f_{j}}$最小化すべき目標はこれである。

もう少し高度な例としては、以下のようなものがあります。

• Wierzbicki ^{[ 41 ]の問題のスカラー化の達成}

スカラー化問題の達成例の1つは次のように定式化できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\min &\max _{i=1,\ldots ,k}\left[{\frac {f_{i}(x)-{\bar {z}}_{i}}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\right]+\rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\\{\text{s.t. }}&x\in S\end{aligned}}}$

用語${\displaystyle \rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}}$これは拡大項と呼ばれ、${\displaystyle \rho >0}$は小さな定数であり、${\displaystyle z^{nadir}}$そして${\displaystyle z^{utop}}$はそれぞれ、最低点ベクトルと理想点ベクトルです。上記の問題において、パラメータは、いわゆる基準点です。${\displaystyle {\bar {z}}}$意思決定者が好む目的関数値を表す。

• Senの多目的計画法^{[ 42 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\max &{\frac {\sum _{j=1}^{r}Z_{j}}{W_{j}}}-{\frac {\sum _{j=r+1}^{s}Z_{j}}{W_{r+1}}}\\{\text{s.t. }}&AX=b\\&X\geq 0\end{array}}}$

どこ${\displaystyle W_{j}}$最大化の目的に対する個々の最適値（絶対値）${\displaystyle r}$最小化${\displaystyle r+1}$に${\displaystyle s}$。

• ハイパーボリューム/チェビシェフスカラー化^{[ 43 ]}

${\displaystyle \min _{x\in X}\max _{i}{\frac {f_{i}(x)}{w_{i}}}}$

目的の重み付け${\displaystyle w_{i}>0}$はスカラー化のパラメータです。パラメータ/重みが正象限で均一に描画されている場合、このスカラー化はパレートフロンティアに収束することが証明されています^{[ 43 ]}。フロンティアが非凸であっても収束します。

滑らかなチェビシェフ・スカラー化（^{[ 44 ]}とも呼ばれる）は、古典的なチェビシェフ・スカラー化の微分不可能な最大演算子を滑らかな対数ソフトマックスに置き換えることで、標準的な勾配ベースの最適化を適用可能にします。典型的なスカラー化手法とは異なり、凸または凹のパレートフロンティア全体を探索することを保証します。

意味

目的関数を持つ最小化問題の場合${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$そして理想的な目的ベクトル${\displaystyle z^{\mathrm {ideal} }\in \mathbb {R} ^{k}}$滑らかなチェビシェフスカラー化関数は

${\displaystyle g_{u}^{\mathrm {STCH} }\!{\bigl (}x\mid {\boldsymbol {\lambda }}{\bigr )}=u\,\ln \!{\Bigl (}\sum _{i=1}^{k}\exp \!{\bigl (}{\tfrac {\lambda _{i}\,[\,f_{i}(x)-z_{i}^{\mathrm {ideal} }\,]}{u}}{\bigr )}{\Bigr )},\qquad u>0,\;{\boldsymbol {\lambda }}\in \Delta _{k-1},}$

どこ${\displaystyle u}$は平滑化パラメータであり、${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}$確率単体上の重みベクトル${\displaystyle \Delta _{k-1}}$。

として${\displaystyle u\to 0^{+}}$これは古典的な（滑らかでない）チェビシェフ形式に収束する。

${\displaystyle g^{\mathrm {TCH} }\!{\bigl (}x\mid {\boldsymbol {\lambda }}{\bigr )}=\max _{i}\lambda _{i}\,[\,f_{i}(x)-z_{i}^{\mathrm {ideal} }\,].}$

パラメータ${\displaystyle u}$微分可能性と近似精度とのトレードオフを制御します。値が小さいほど古典的なチェビシェフのスカラー化により近い結果が得られますが、勾配のリプシッツ定数が減少します。一方、値が大きいほど表面は滑らかになりますが、近似精度は低下します。

物件

• 滑らかさと複雑さ—${\displaystyle g_{u}^{\mathrm {STCH} }}$連続微分可能${\displaystyle L}$-リプシッツ勾配。${\displaystyle f_{i}}$関数は凸関数であり、${\displaystyle \varepsilon }$最適点は${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/\varepsilon )}$一次反復法、劣勾配降下法${\displaystyle g^{\mathrm {TCH} }}$ニーズ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/\varepsilon ^{2})}$反復。^{[ 44 ]}
• パレート最適性— あらゆる${\displaystyle u>0}$すべての最小化${\displaystyle g_{u}^{\mathrm {STCH} }(\cdot \mid {\boldsymbol {\lambda }})}$は弱パレート最適である。もしすべてが${\displaystyle \lambda _{i}>0}$（または最小化解が一意である場合）それはパレート最適である。^{[ 44 ]}
• 網羅性― 限界が存在する${\displaystyle u^{*}>0}$そのため、${\displaystyle 0<u<u^{*}}$、すべてのパレート最適点は、以下の最小化として得られる。${\displaystyle g_{u}^{\mathrm {STCH} }}$ある重みベクトルに対して${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$; パレートフロンティアが凸である場合、これはすべてに当てはまります${\displaystyle u>0}$[ ^{44 ]​}

例えば、ポートフォリオ最適化は平均分散分析の観点から行われることが多い。この文脈において、効率的なポートフォリオ集合は、ポートフォリオの平均リターンによってパラメータ化されたポートフォリオのサブセットである。${\displaystyle \mu _{P}}$ポートフォリオの収益率の分散を最小化するためにポートフォリオの株式を選択する問題において${\displaystyle \sigma _{P}}$特定の値の範囲内で${\displaystyle \mu _{P}}$詳細は投資信託分離定理を参照のこと。あるいは、効率的なポートフォリオは、関数を最大化するポートフォリオ株式を選択することによって指定できる。${\displaystyle \mu _{P}-b\sigma _{P}}$; 効率的なポートフォリオの集合は、次の解から構成される。${\displaystyle b}$0から無限大までの範囲をとる。

上記のスカラー化の中には、常に異なる目的の中で最悪のものが最適化されるミニマックス原理を適用するものもある。 ^{[ 45 ]}

数学計画法に基づく事後法のよく知られた例としては、正規境界交差法 (NBI) ^{[ 46 ]} 、修正正規境界交差法 (NBIm) ^{[ 47 ]}、正規制約法 (NC) ^{[ 48 ] [ 49 ]}、逐次パレート最適化法 (SPO) ^{[ 50 ]} 、および指向探索領域法 (DSD) ^{[ 51 ]}があり、これらは複数のスカラー化を構築することによって多目的最適化問題を解きます。各スカラー化の解は、局所的または大域的にパレート最適解をもたらします。NBI、NBIm、NC、および DSD 法のスカラー化は、実際のパレート点の集合を良好に近似する均等に分布したパレート点を得るように構築されます。

進化アルゴリズムは、多目的最適化問題に対するパレート最適解を生成する一般的なアプローチです。ほとんどの進化的多目的最適化 (EMO) アルゴリズムは、パレートベースのランキング スキームを適用します。非劣性ソート遺伝的アルゴリズム II (NSGA-II) ^{[ 52 ]} 、その拡張版 NSGA-III ^{[ 53 ] [ 54 ]}、強度パレート進化アルゴリズム 2 (SPEA-2) ^{[ 55 ]}、および多目的差分進化バリアントなどの進化アルゴリズムは標準的なアプローチとなっていますが、粒子群最適化とシミュレーテッド アニーリング^{[ 56 ]}に基づくいくつかのスキームも重要です。進化アルゴリズムを多目的最適化問題の解決に適用する場合の主な利点は、通常、解のセットを生成し、パレート フロンティア全体の近似を計算できるという点です。進化アルゴリズムの主な欠点は、速度が遅く、解のパレート最適性が保証されないことです。生成された解のいずれも、他の解に支配されないことだけが分かっている。

進化アルゴリズムを用いた新規性に基づく多目的最適化の別のパラダイムが最近改良されました。^{[ 57 ]}このパラダイムは、非劣解の探索に加えて、目的空間における新規解（すなわち、目的空間における新規性探索^{[ 58 ]}）を探索します。新規性探索は、これまで未探索であった場所への探索を導く踏み石のようなものです。これは、バイアスやプラトーを克服し、多目的最適化問題における探索を導くのに特に役立ちます。

ディープラーニング条件付きメソッドは、複数のパレート最適解を生成する新しいアプローチです。そのアイデアは、ディープニューラルネットワークの汎化能力を使用して、パレートフロンティアに沿った限られた数のトレードオフの例からパレートフロンティア全体のモデルを学習することであり、これはパレートフロンティア学習と呼ばれるタスクです。^{[ 59 ]}この設定に対処するアプローチはいくつかあり、ハイパーネットワークの使用^{[ 59 ]}やスタイン変分勾配降下法の使用^{[ 60 ]などが含まれます。}

一般的に知られている事後的な方法を以下に示します。

• 近似誘導進化（理論計算機科学からの近似の形式的概念を直接実装および最適化する最初のアルゴリズム） ^{[ 61 ]}
• 多目的線形計画問題および多目的凸計画問題に対するベンソンのアルゴリズム
• 指向性探索領域（DSD）^{[ 62 ]}
• ε制約法^{[ 63 ] [ 64 ]}
• IOSO（自己組織化に基づく間接最適化）
• MOEA/D（分解に基づく多目的進化アルゴリズム）^{[ 65 ]}

• 修正正規境界交差（NBIm）^{[ 47 ]}
• 多目的分岐限定法^{[ 66 ] [ 67 ] [ 68 ]}
• 多目的粒子群最適化
• 正規境界交差（NBI）^{[ 46 ]}
• 法線制約 (NC) ^{[ 48 ] [ 49 ]}
• NSGA-II（非劣性ソート遺伝的アルゴリズムII）は、選択と多様性の維持に非劣性ソートと混雑距離を使用します^{[ 52 ]。}
• NSGA-III（非劣解ソート遺伝的アルゴリズムIII）は参照点を使用し、多目的最適化用に設計されています^{[ 69 ]。}
• パレートハイパーネットワーク^{[ 59 ]}
• PGEN（凸多目的インスタンスのパレート曲面生成）^{[ 70 ]}
• リアクティブサーチ最適化（機械学習を用いて戦略と目標を適応させる）^{[ 71 ] [ 72 ]}はLIONsolverに実装されている。
• SMS-EMOA（Sメトリック選択進化型多目的アルゴリズム）。パレートフロンティア近似のハイパーボリューム指標（Sメトリック）に基づく選択を使用する。^{[ 73 ]}
• SPEA2（Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2）は、収束のためにパレート優位度カウントを使用し、多様性維持のために密度推定を使用する集団ベースの進化アルゴリズムです^{[ 74 ]。}
• 新規性に基づく部分集団アルゴリズム^{[ 57 ]}
• 逐次パレート最適化（SPO）^{[ 50 ]}

さまざまな種類の嗜好情報を含む、さまざまなインタラクティブな方法があります。次の3つのタイプを識別できます。

1. トレードオフ情報、
2. 基準点、そして
3. 目的関数の分類。^{[ 75 ]}

一方、少数の解を生成する第4のタイプは、^{[ 76 ] [ 77 ]}に含まれています。トレードオフ情報を利用する対話型手法の例として、Zionts -Wallenius法^{[ 78 ]}があります。この方法では、意思決定者は各反復で複数の目的トレードオフを示され、各トレードオフに関して好きか嫌いか、あるいはどちらでもないかを答えることが求められます。参照点ベースの手法 (例えば、^{[ 79 ] [ 80 ]}を参照) では、意思決定者は各反復で各目的の望ましい値からなる参照点を指定することが求められ、対応するパレート最適解が計算されて分析のために示されます。分類ベースの対話型手法では、意思決定者は現在のパレート最適解における目的を異なるクラスに分類する形で選好を示し、より好ましい解を得るために目的の値をどのように変更すべきかを示します。次に、新しい（より好ましい）パレート最適解を計算する際に、分類情報が考慮されます。満足化トレードオフ法（STOM）^{[ 81 ]}では、 3つのクラスが使用されます。1）値を改善すべき目的、2）緩和できる目的、3）そのままで許容できる目的です。NIMBUS法^{[ 82 ] [ 83 ]}では、さらに2つのクラスが使用されます。4）値が与えられた境界まで改善すべき目的、5）値が与えられた境界まで緩和できる目的です。

二目的問題の場合、パレートフロンティアに関する情報は、通常、視覚化によって意思決定者に伝えられます。この場合、トレードオフ曲線と呼ばれることが多いパレートフロンティアは、目的平面上に描画できます。トレードオフ曲線は、目的値と目的のトレードオフに関する完全な情報を提供し、トレードオフ曲線に沿って移動する際に、一方の目的を改善すると他方の目的がどのように悪化するかを示します。意思決定者は、この情報を考慮して、好ましいパレート最適目的点を指定します。パレートフロンティアを近似して視覚化するアイデアは、S. Gass と T. Saaty によって線形二目的意思決定問題に導入されました。^{[ 88 ]}このアイデアは、JL Cohon によって環境問題に発展し、応用されました。^{[ 89 ]}少数の目的（主に 2 つ）を持つさまざまな意思決定問題に対するパレートフロンティアを近似する方法のレビューは、^{[ 90 ]に記載されています。}

高次の多目的決定問題（2つ以上の目的を持つ問題）におけるパレートフロンティアを視覚化するための一般的なアイデアは2つあります。そのうちの1つは、パレートフロンティアを表す目的点の数が比較的少ない場合に適用可能で、統計学で開発された視覚化技術（さまざまな図など。以下の該当するサブセクションを参照）を使用することに基づいています。2つ目のアイデアは、パレートフロンティアの2目的断面（スライス）を表示することを提案しています。これは1973年にWS Meiselによって導入され^{[ 91 ]}、このようなスライスは意思決定者に目的のトレードオフを知らせると主張しました。3つの目的の問題に対するパレートフロンティアの一連の2目的スライスを表示する図は、決定マップとして知られています。これらは、3つの基準間のトレードオフを明確に示します。このようなアプローチの欠点は、次の2つの事実に関連しています。まず、パレートフロンティアは通常安定していないため、パレートフロンティアの二目的スライスを構築するための計算手順は不安定です。次に、これは 3 つの目的の場合にのみ適用可能です。1980 年代には、WS Meisel のアイデアが、インタラクティブ決定マップ(IDM) 手法という別の形で実装されました。^{[ 92 ]}さらに最近では、N. Wesner ^{[ 93 ]}が、ベン図と目的空間の複数の散布図を組み合わせてパレートフロンティアを探索し、最適な解を選択することを提案しました。