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応用数学では、グリッドまたはメッシュは、幾何学的領域を離散化した後に形成されるより小さな形状の集合として定義されます。メッシュ化は、地理学、設計、計算流体力学、[ 1 ]、そしてより一般的には偏微分方程式の数値解法の分野で応用されています。幾何学的領域は任意の次元にすることができます。2 次元メッシュ化には、単純多角形、穴のある多角形、多重領域、曲面領域が含まれます。3 次元では、入力の 3 種類があります。それらは、単純多面体、幾何学的多面体、多重多面体です。メッシュの種類を定義する前に、要素 (その形状とサイズ) を理解する必要があります。
メッシュの要素は、序論で述べたような小さな形状の1つです。要素の形状は、計算流体力学の問題を解く上で非常に重要です。要素は通常、アスペクト比に基づいており、要素のアスペクト比によって、特定の要素を使用するのが適切か、あるいは異なるアスペクト比の別の要素を使用すべきかが決まります。例えば、アスペクト比が大きいとソルバーの速度が低下し、この比率が小さいとソルバーの速度が向上します。大きなアスペクト比には、補間誤差につながるという別の制約もあります。しかし、結果が方向によって変化する場合は、大きなアスペクト比を使用します。
流体流れ方程式のほとんどは、デカルト座標系を使用した離散化手順によって容易に解くことができます。[ 2 ]このシステムでは、有限体積法の実装がより単純で理解しやすくなっています。しかし、ほとんどの工学問題は、デカルト座標系ではうまく機能しない複雑な形状を扱います。流れの境界領域が構造化グリッドの座標線と一致しない場合、幾何学的近似によって問題を解決できます。図1a.と1b.は、円筒をデカルト座標系でどのように近似できるかを示しています。
デカルト座標系における円筒の曲線形状は、段階的近似法を用いて近似されます。しかし、この方法は時間がかかり、非常に面倒です。この問題の他に、円筒の内部にあるセル（デッドセルと呼ばれる）は計算に関与しないため、削除する必要があります。そうしないと、コンピュータのメモリなどのリソースを無駄に消費してしまいます。段階的近似法は滑らかではないため、大きな誤差が生じます。壁面領域を覆うように細かいメッシュを使用することでグリッドを細分化することはできますが、これはコンピュータのメモリリソースの無駄遣いにつながります。
したがって、単純な座標系（直交座標系または円筒座標系）に基づく計算流体力学の手法には限界があります。これらのシステムは、翼型、炉、ガスタービン燃焼器、内燃機関などの複雑な形状をモデル化する際に機能しないためです。
a) 構造化された曲線状のグリッド配置（類似した近傍を持つ頂点）。
b)非構造化グリッド配置（近傍にばらつきのある頂点）。
構造化された曲線状のグリッド
1) グリッド点は座標線の交点で特定されます。
2) 内部グリッドには、固定数の隣接グリッドが存在します。
3) それらは配列に配置でき、インデックス I、J、K f で名前を付けることができます (3 次元の場合)。
これらはボディフィットグリッドとも呼ばれ、流れ領域を単純な形状の計算領域にマッピングする原理に基づいています。複雑な形状が含まれる場合、マッピングは非常に面倒です。このタイプの形状をモデル化するために、流れ領域をさまざまな小さなサブドメインに分割します。これらの領域はすべて個別にメッシュ化され、隣接する領域と正しく結合されます。このタイプの配置はブロック構造グリッドとして知られています。このタイプのシステムは、前のものよりも柔軟性があります。2次元構造メッシュは四角形要素を使用し、3次元メッシュは六面体を使用します。ボディフィット座標グリッドには2種類あります。
a) 直交曲線座標。
直交メッシュでは、グリッド線は交点に対して垂直になります。これは図2に示されています。
b) 非直交座標。
図3は非直交グリッドを示しています。図から、グリッド線が90度の角度で交差していないことがわかります。どちらの場合も、領域の境界は座標線と一致するため、すべての幾何学的詳細を組み込むことができます。グリッドは、重要な流れの特徴を捉えるために容易に細分化できます。
直交座標系と曲線座標系を比較すると、直交座標系ではオブジェクトの処理にセルが無駄になっていることがわかります。曲線座標系では関数の分布が非常に細かく、必要なリソースも直交座標系に比べて少ないため、メモリを大幅に節約できます。したがって、粗い座標系でも流れの詳細を効率的に捉えることができると言えます。
曲線格子に関連する困難は方程式に関連している。[ 3 ]
デカルト座標系では方程式は比較的容易に解くことができますが、曲線座標系では複雑な方程式を解くのは困難です。さまざまな手法の違いは、必要なグリッド配置の種類と運動量方程式に必要な従属変数にあります。すべての幾何学的特徴を含むメッシュを生成するには、マッピングが非常に重要です。マッピングでは、物理ジオメトリが計算ジオメトリにマッピングされます。
内燃機関の燃焼室のような形状において、ボディフィットグリッドを生成する際には困難が生じます。例えば、内燃機関のバルブマッピングは、ある種類の領域が別の種類の領域と正確にマッピングされるように非常に慎重に行われます。複雑な形状に対応するために、意図的に高密度のメッシュを作成する領域もあります。しかし、これは不必要なグリッド解像度をもたらし、解領域の局所的な変動につながります。
このタイプのグリッドでは、領域は異なる領域に分割されます。各領域は異なるタイプのメッシュ構造を持ちます。また、異なる領域に対して異なる座標系を使用することも可能です。これにより、グリッドの柔軟性が大幅に向上します。また、これにより、形状をキャプチャする領域の細分化がより正確になります。図4は、ブロックグリッド技術の使用例を示しています。この技術の利点は、生成が容易であること、扱う方程式が容易に離散化できること、曲線境界を容易に処理できることです。異なるブロックを、必要なメッシュの細かさで処理できます。GridProは、美しいマルチブロック構造メッシュを作成できます。
はるかに複雑な形状では、多数のブロックを使用することが論理的であり、その結果、非構造格子になります。[ 4 ]これらは、計算流体力学で広く受け入れられています。これは、これにより柔軟性が大幅に向上し、コンピュータ リソースも効率的に利用されるためです。この場合、2 次元の非構造メッシュは三角形要素を使用し、3 次元では四面体要素を使用します。これらは、非構造パターンに配置された小さな構造メッシュの組み合わせです。このタイプのグリッドでは、各単一セルがブロックとして扱われます。グリッドによって与えられる座標線の構造はありません。このタイプのグリッドの利点は、必要に応じてメッシュを細分化できることです。これは、制御ボリュームが任意の形状であるため、隣接セルの数の制限が解除されるという事実に基づいています。これは、さまざまなセル形状の組み合わせを使用します。ハイブリッドグリッドも使用できます。ハイブリッド グリッドは、三角形要素と四角形要素の混合を使用してグリッドを構築するものです。3 次元では、四面体要素と六面体要素の組み合わせによりハイブリッドグリッドになります。ハイブリッドグリッドの例を図5に示す。非構造格子は、メッシュ生成とマッピングに必要な時間を短縮する。そのため、グリッド生成はより高速かつ容易になる。有限要素法に関連するものをはじめとする様々な自動化手法も、非構造格子を利用している。非構造格子では、メッシュの細分化と適応が容易である。
これは、平滑化と反転という2つの手法によって行われます。メッシュ平滑化では、メッシュの頂点の位置が調整されます。一方、反転では、三角形分割された四角形の対角線が入れ替わります。反転によって、三角形の品質が向上します。