ディリクレ核

数学的解析学において、ディリクレ核は、ドイツの 数学者 ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレにちなんで名付けられた、次のように定義される周期関数の集合である。

$${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)\right)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}},}$$ ここで、n は任意の正の整数です。カーネル関数は周期 で周期的です。 ${\displaystyle 2\pi }$

ディリクレ核の重要性は、フーリエ級数との関係に由来します。周期 2 πの任意の関数fとD _n ( x )の畳み込みは、 fのn次のフーリエ級数近似です。つまり、 となります。 ここで 、 はfの k番目のフーリエ係数 です。これは、フーリエ級数の収束を研究するには、ディリクレ核の特性を研究するだけで十分であることを意味します。 $${\displaystyle (D_{n}*f)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=2\pi \sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},}$$$${\displaystyle {\widehat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx}$$

信号処理では、ディリクレカーネルは周期sinc関数と呼ばれることが多い。

${\displaystyle P(\omega )=D_{n}(x)|_{x=2\pi \omega /\omega _{0}}={\sin(\pi M\omega /\omega _{0}) \over \sin(\pi \omega /\omega _{0})}}$

ここで、は奇数です。この形式では、は角周波数、 は周波数の周期性の半分です。この場合、周波数領域での周期的な sinc 関数は、時間領域での時間制限付きインパルス列のフーリエ変換として考えることができます。 ${\displaystyle M=2n+1\geq 3}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle p(t)=\sum _{k=-n}^{n}\delta (t-kT)}$

ここで、は各インパルス間の時間増分であり、インパルス列内のインパルスの数を表します。 ${\displaystyle T={\pi \over \omega _{0}}}$${\displaystyle M=2n+1}$

光学において、ディリクレ核は、光軸に垂直な軸に沿って等間隔で並んだ、幅が等しい複数の狭いスリットがある開口部を単色光が通過するときに形成される回折パターンの数学的記述の一部です。この場合、はスリットの数です。 ${\displaystyle M}$

特に重要なのは、 D _nのL ^{1ノルムが}n → ∞のときに無限大に発散するという事実である。次のように推定できる。 ${\displaystyle [0,2\pi ]}$$${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}=\Omega (\log n).}$$

リーマン和の議論を用いて、が正であるゼロの最大近傍における寄与を推定し、残りの部分についてはジェンセンの不等式を用いることで、次のことを示すことも可能である。 ここで、正弦積分は${\displaystyle D_{n}}$$${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}\geq 4\operatorname {Si} (\pi )+{\frac {8}{\pi }}\log n}$$${\textstyle \operatorname {Si} (x)}$ ${\textstyle \int _{0}^{x}(\sin t)/t\,dt.}$

この一様積分可能性の欠如は、フーリエ級数の多くの発散現象の背後にあります。たとえば、一様有界性原理と併せて、連続関数のフーリエ級数がかなり劇的に点ごとに収束しない可能性があることを示すために使用できます。詳細については、 フーリエ級数の収束を参照してください。

最初に示された 結果の正確な証明は、${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}[0,2\pi ]}=\Omega (\log n)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }|D_{n}(x)|\,dx&\geq \int _{0}^{\pi }{\frac {\left|\sin[(2n+1)x]\right|}{x}}\,dx\\[5pt]&\geq \sum _{k=0}^{2n}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {\left|\sin s\right|}{s}}\,ds\\[5pt]&\geq \left|\sum _{k=0}^{2n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin s}{(k+1)\pi }}\,ds\right|\\[5pt]&={\frac {2}{\pi }}H_{2n+1}\\[5pt]&\geq {\frac {2}{\pi }}\log(2n+1),\end{aligned}}}$$

ここでは、テイラー級数恒等式 およびを使用しました。は、1次の調和数です。 ${\displaystyle 2/x\leq 1/\left|\sin(x/2)\right|}$${\displaystyle H_{n}}$

ディリクレ核は周期関数であり、次の極限ではディラック櫛、すなわち周期デルタ関数 となる。

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }D_{m}(x)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k/T)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k/T)~,}$

角周波数で。 ${\displaystyle \omega =2\pi \xi }$

これは、順方向および逆フーリエ変換におけるディリクレ核の自己共役特性から推測できます。

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )={\mathcal {F}}^{-1}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }D_{n}(2\pi x)e^{\pm i2\pi \xi x}\,dx=\sum _{k=-n}^{+n}\delta (\xi -k)\equiv \operatorname {comb} _{n}(\xi )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {comb} _{n}\right](x)={\mathcal {F}}^{-1}\left[\operatorname {comb} _{n}\right](x)=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {comb} _{n}(\xi )e^{\pm i2\pi \xi x}\,d\xi =D_{n}(2\pi x),}$

は周期 のディラック櫛に移行し、これはフーリエ変換で不変のままです: 。したがって、としても に収束している必要があります。 ${\displaystyle \operatorname {comb} _{n}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$${\displaystyle T=1}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} }$${\displaystyle D_{n}(2\pi x)}$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

別の観点から、∆(x) を周期 2 πの関数の畳み込みの単位元として考えてみましょう。言い換えると、 周期 2 πの すべての関数fに対して、次の式が成り立ちます。この「関数」のフーリエ級数表現は、次のようになります。 $${\displaystyle f*(\Delta )=f}$$$${\displaystyle \Delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).}$$

(このフーリエ級数は関数 にほとんど収束しません。) したがって、この級数の部分和のシーケンスにすぎないディリクレ核は、近似恒等式と考えることができます。ただし、抽象的に言えば、正の要素の近似恒等式ではありません(したがって、上記の点ごとの収束が失敗します)。

この記事の冒頭に表示されている三角関数の恒等式は次のようにして確立されます。まず、有限等比級数 の和が $${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}$$

特に、私たちは $${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.}$$

分子と分母の両方にを掛けると、 ${\displaystyle r^{-1/2}}$$${\displaystyle {\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.}$$

その場合はご要望に応じて対応させていただきます 。 ${\displaystyle r=e^{ix}}$$${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$$

級数から始めます。両辺 にを掛け、三角関数の恒等式を使用して和の 項を減算します。 これは結果に縮小されます 。$${\displaystyle f(x)=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx).}$$${\textstyle \sin(x/2)}$$${\displaystyle \cos(a)\sin(b)={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}}$$$${\displaystyle \sin(x/2)f(x)=\sin(x/2)+\sum _{k=1}^{n}\left(\sin((k+{\tfrac {1}{2}})x)-\sin((k-{\tfrac {1}{2}})x)\right)}$$

和が非負の整数のみである場合（中心化されていない離散フーリエ変換を計算するときに発生する可能性があります）、同様の手法を使用して次の恒等式を示すことができます。 別の変形は であり、これは恒等式 を使用して簡単に証明できます。^[1]$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{ikx}=e^{i(N-1)x/2}{\frac {\sin(N\,x/2)}{\sin(x/2)}}}$$${\displaystyle D_{n}(x)-{\frac {1}{2}}\cos(nx)={\frac {\sin \left(nx\right)}{2\tan({\frac {x}{2}})}}}$${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )}$

• フェイエルカーネル

• ブルックナー、アンドリュー M.; ブルックナー、ジュディス B.; トムソン、ブライアン S. (1997)。「15 フーリエ級数 §15.2 ディリクレ核」。実解析。プレンティス ホール。619  ～ 622ページ。ISBN 0-13-458886-X。
• Podkorytov , AN (1988). 「多角形に関するフーリエ和のディリクレ核の漸近挙動」。ソビエト数学ジャーナル。42 (2): 1640–6 . doi :10.1007/BF01665052。
• Levi, H. (1974). 「ディリクレ核の幾何学的構成」.ニューヨーク科学アカデミー紀要. 36 (7 シリーズ II): 640–3 . doi :10.1111/j.2164-0947.1974.tb03023.x.
• 「ディリクレ核」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• PlanetMathのディリクレカーネル