偏微分方程式の数値解析法

偏微分方程式の数値解析法は、偏微分方程式（PDE）の数値解を研究する数値解析の分野である。 ^{[1] [2]}

原理的には、双曲型^[3] 、放物型^[4]、楕円型偏微分方程式^[5]に特化した手法が存在する。^{[6] [7]}

この方法では、関数は特定のグリッド ポイントでの値によって表され、導関数はこれらの値の差によって近似されます。

直線法（MOL、NMOL、NUMOL ^{[8] [9] [10] ）は、1次元を除くすべての次元が離散化された}偏微分方程式（PDE）を解くための手法です。MOLでは、常微分方程式（ODE）と微分代数方程式（DAE）の数値積分用に開発された標準的で汎用的な方法とソフトウェアを使用できます。長年にわたり、さまざまなプログラミング言語で多数の積分ルーチンが開発されており、一部はオープンソースリソースとして公開されています。^[11]

ライン法は、空間微分のみを離散化し、時間変数を連続的に残すことによって、偏微分方程式の数値的手法の構築または解析を指すことが多い。これにより、初期値常方程式の数値的手法を適用できる常微分方程式系が得られる。この文脈におけるライン法は、少なくとも1960年代初頭にまで遡る。^[12]

有限要素法 (FEM) は、微分方程式の境界値問題の近似解を求める数値的手法です。変分法(変分法) を使用して誤差関数を最小化し、安定した解を生成します。多数の細い直線をつなげると大きな円に近似できるという考え方に似て、FEM は、有限要素と呼ばれる多数の小さなサブドメイン上の多数の単純な要素方程式をつなげて、より複雑な方程式をより大きなドメインで近似するすべての手法を網羅しています。

勾配離散化法 (GDM) は、いくつかの標準的または最新の手法を包含する数値手法です。これは、関数とその勾配の個別の近似に基づいています。コア特性により、一連の線形および非線形問題に対する手法の収束が可能になるため、GDM フレームワークに含まれるすべての手法 (適合および非適合有限要素、混合有限要素、模倣有限差分など) は、これらの収束特性を継承します。

有限体積法は、代数方程式の形で偏微分方程式を表現および評価するための数値的手法です[LeVeque、2002; Toro、1999]。有限差分法や有限要素法と同様に、メッシュジオメトリ上の離散的な場所で値が計算されます。「有限体積」とは、メッシュ上の各ノードポイントを囲む小さな体積を指します。有限体積法では、発散項を含む偏微分方程式の体積積分は、発散定理を使用して表面積分に変換されます。次に、これらの項は各有限体積の表面でのフラックスとして評価されます。特定の体積に入るフラックスは、隣接する体積から出るフラックスと同じであるため、これらの方法は保守的です。有限体積法のもう1つの利点は、非構造メッシュを考慮して簡単に定式化できることです。この方法は、多くの計算流体力学パッケージで使用されています。

スペクトル法は、応用数学や科学計算において、特定の微分方程式を数値的に解くために使用される手法であり、多くの場合、高速フーリエ変換が使用されます。その考え方は、微分方程式の解を特定の「基底関数」の和として（たとえば、正弦波の和であるフーリエ級数として）記述し、次に、その和の中で微分方程式を最もよく満たす係数を選択するというものです。

スペクトル法と有限要素法は密接に関連しており、同じアイデアに基づいています。両者の主な違いは、スペクトル法ではドメイン全体で非ゼロの基底関数を使用するのに対し、有限要素法では小さなサブドメインでのみ非ゼロの基底関数を使用することです。言い換えると、スペクトル法はグローバルなアプローチを採用し、有限要素法はローカルなアプローチを採用しています。この理由もあって、スペクトル法は優れた誤差特性を持ち、解が滑らかな場合は、いわゆる「指数収束」が最も速くなります。ただし、3次元の単一ドメインのスペクトルショックキャプチャリングの結果は知られていません。^{[13]有限要素コミュニティでは、要素の次数が非常に高いか、グリッドパラメータ}hがゼロに減少するにつれて増加する方法をスペクトル要素法と呼ぶことがあります。

メッシュフリー法では、シミュレーション領域のデータポイントを接続するメッシュは必要ありません。^[14]メッシュフリー法では、余分な計算時間とプログラミングの労力を犠牲にして、通常は難しいタイプの問題のシミュレーションが可能になります。

領域分割法は、境界値問題をサブドメイン上のより小さな境界値問題に分割し、隣接するサブドメイン間でソリューションを調整するために反復することで、境界値問題を解きます。サブドメインごとに 1 つまたは少数の未知数を持つ粗い問題を使用して、サブドメイン間のソリューションをグローバルにさらに調整します。サブドメインの問題は独立しているため、領域分割法は並列計算に適しています。領域分割法は通常、共役勾配法やGMRESなどのクリロフ空間反復法の前処理として使用されます。

重複領域分割法では、サブドメインはインターフェースよりも多く重複します。重複領域分割法には、シュワルツ交代法と加法シュワルツ法が含まれます。多くの領域分割法は、抽象的な加法シュワルツ法の特殊なケースとして記述および分析できます。

非重複法では、サブドメインはインターフェース上でのみ交差します。バランス領域分割やBDDCなどの主法では、サブドメイン インターフェース全体でのソリューションの連続性は、すべての隣接するサブドメイン上のソリューションの値を同じ未知数で表すことによって強化されます。FETI などの二重法では、サブドメイン インターフェース全体でのソリューションの連続性は、ラグランジュ乗数によって強化されます。FETI -DP法は、二重法と主法のハイブリッドです。

重複しない領域分割法は、反復サブ構造化法とも呼ばれます。

モルタル法は偏微分方程式の離散化法であり、重複しないサブドメインで個別の離散化を使用します。サブドメインのメッシュはインターフェイス上で一致せず、解の等式は、解の精度を維持するために慎重に選択されたラグランジュ乗数によって強制されます。有限要素法のエンジニアリング実務では、一致しないサブドメイン間の解の連続性は、複数点制約によって実装されます。

中規模モデルの有限要素シミュレーションでは、数百万の未知数を持つ線形システムを解く必要があります。平均して、1 時間ステップあたり数時間かかるため、並列計算が必須です。領域分割法は、有限要素法の並列化に大きな可能性を秘めており、分散並列計算の基礎となります。

数値解析におけるマルチグリッド（MG）法は、離散化の階層を使用して微分方程式を解くためのアルゴリズムのグループです。これらは、多重解像度法と呼ばれる一連の手法の一例であり、複数の動作スケールを示す問題に非常に役立ちます（ただし、これに限定されません）。たとえば、多くの基本的な緩和法は、短波長成分と長波長成分に対して異なる収束率を示します。これは、マルチグリッドに対するフーリエ解析アプローチのように、これらの異なるスケールを別々に扱うことを示唆しています。^[15] MG法は、ソルバーとしても、前処理としても使用できます。

マルチグリッドの主なアイデアは、粗い問題を解くことによって達成される、時々のグローバルな修正によって基本的な反復法の収束を加速することです。この原理は、より粗いグリッドとより細かいグリッド間の補間に似ています。マルチグリッドの典型的な用途は、2次元以上の楕円偏微分方程式の数値解法です。^[16]

マルチグリッド法は、一般的な離散化手法と組み合わせて適用できます。たとえば、有限要素法はマルチグリッド法として書き直すことができます。^[17]このような場合、マルチグリッド法は現在知られている中で最も高速な解法の 1 つです。他の方法とは対照的に、マルチグリッド法は、任意の領域と境界条件を扱うことができるという点で汎用的です。方程式の分離可能性や方程式のその他の特殊な特性に依存しません。また、ラメ弾性システムやナビエ-ストークス方程式など、より複雑な非対称非線形方程式系にも広く使用されています。^[18]

有限差分法は、習得と使用が最も簡単な方法であると考えられています。有限要素法と有限体積法は、工学や数値流体力学で広く使用されており、複雑な形状の問題に適しています。解が十分に滑らかであれば、スペクトル法は一般に最も正確です。

• 数値解析トピックの一覧#偏微分方程式の数値解析法
• 常微分方程式の数値解析法

• LeVeque, Randall J. (1992). 保存則の数値的手法. バーゼル: バーゼル大学図書館. doi :10.1007/978-3-0348-8629-1. ISBN 9783764327231. 2021年11月15日閲覧。
• アンダーソン、デール A.、プレッチャー、リチャード H.、タネヒル、ジョン C. (2013)。計算流体力学と熱伝達。力学と熱科学における計算および物理プロセスシリーズ (第 3 版)。ボカラトン: CRC プレス、テイラー & フランシス グループ。ISBN 9781591690375。

• MIT OpenCourseWareの偏微分方程式の数値解析コース。
• IMS、オープンソースの IMTEK Mathematica Supplement (IMS)
• 科学者とエンジニアのための数値偏微分方程式テクニック、数値偏微分方程式のオープンアクセス講義とコード