連続係数

数学的解析学において、連続性係数とは関数ω:[0,∞]→[0,∞]であり、関数の一様連続性を定量的に測定するために使用される。したがって、関数f  : I → Rは、ωを連続性係数として許容するのは、

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq \omega (|x-y|),}$

がfの定義域内のすべてのxとyに対して成り立つ。連続性の法は 0 で無限小であることが求められるため、関数が一様連続となるのは、連続性の法が存在する場合のみである。さらに、この概念との関連性は、同じ連続性の法を持つ関数の集合が正確に等連続族であるという事実によって示される。たとえば、法 ω( t ) := kt はk-リプシッツ関数を記述し、法 ω( t ) := kt ^{α は}ヘルダー連続性を記述し、法 ω( t ) := kt (|log t |+1) はほぼリプシッツ類を記述する、などである。一般に、 ω の役割は、一様連続性の (ε, δ) 定義において ε の δ への明示的な関数依存性を固定することである。同じ概念は、距離空間間の関数にも自然に一般化されます。さらに、これらの概念の適切なローカルバージョンにより、連続性の係数を使用して、ある点における連続性を定量的に記述できます。

凹状の連続係数は、特に拡張特性や一様連続関数の近似に関連して、特別な役割を果たします。距離空間間の関数の場合、連続係数が凹状、劣加法性、一様連続性、または劣線型（成長の意味で）のいずれかであることは同値です。実際、一様連続関数のこのような特別な連続係数の存在は、領域がコンパクトであるか、ノルム空間の凸部分集合である場合に常に保証されます。ただし、一般距離空間上の一様連続関数が凹状の連続係数を持つのは、次の場合のみです。

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x),f(x'))}{d_{X}(x,x')}}}$

は、 X x Xの対角線から離れて有界となるすべてのペア ( x、x ′ ) に対して一様有界です。後者の特性を持つ関数は、一様連続関数の特別なサブクラスを構成し、以下では特殊一様連続関数と呼びます。距離空間X上の実数値の特殊一様連続関数は、X を等長的に含む任意のノルム空間上の一様連続関数のXへの制限となるすべての関数の集合としても特徴付けられます。また、 X上のリプシッツ関数の一様閉包としても特徴付けられます。

形式的には、連続性係数は、0でゼロとなり、0で連続する、増加する実数値関数ω:[0,∞]→[0,∞]であり、

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\omega (t)=\omega (0)=0.}$

連続性係数は、主に、次の定義に従って、距離空間間の関数について、ある点における連続性と一様連続性の両方を定量的に説明するために使用されます。

関数f  : ( X , d _X ) → ( Y , d _Y ) が、Xの点xにおける (局所) 連続係数として ω を許容するのは、次の場合のみである。

${\displaystyle \forall x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).}$

また、f がω を（大域的）連続係数として許容するのは、

${\displaystyle \forall x,x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).}$

同様に、 ω はfの連続性係数（それぞれxにおいて）である、または簡単に言えば、f はω 連続（それぞれxにおいて）であると言えます。ここでは、主に大域的な概念を扱います。

• f が連続性係数として ω を持ち、ω ₁ ≥ ω である場合、f は連続性係数としてω _{1も許容します。}
• f  : X → Yとg  : Y → Zがそれぞれ_ω1と_ω2を法とする距離空間間の関数である場合、合成写像は連続性を法として持ちます。${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$${\displaystyle \omega _{2}\circ \omega _{1}}$
• fとg がそれぞれ ω ₁と ω ₂を法とする計量空間 X からバナッハ空間Yへの関数である場合、任意の線形結合af + bgは連続性法 | a |ω ₁ +| b |ω ₂を持ちます。特に、 ω を連続性法とするXからYへのすべての関数の集合は、点ごとの収束に関して閉じた、ベクトル空間C ( X , Y )の凸部分集合です。
• fとg がそれぞれ ω ₁と ω _{2を法とする計量空間}X上の有界実数値関数である場合、点ごとの積fg は連続性を法として持ちます。${\displaystyle \|g\|_{\infty }\omega _{1}+\|f\|_{\infty }\omega _{2}}$
• が、共通の連続性係数 ω を持つ計量空間X上の実数値関数の族である場合、下包絡線、上包絡線 は、各点で有限値であれば、連続性係数 ω を持つ実数値関数です。ω が実数値である場合、包絡線がXの少なくとも1 つの点で有限であれば十分です。${\displaystyle \{f_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$${\displaystyle \inf _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }}$${\displaystyle \sup _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }}$

• 著者によっては単調性を要求しない人もいますが、ω が連続であるなどの追加の特性を要求する人もいます。しかし、より弱い定義で f が連続性を許容する場合、(0, ∞) で増加し無限に微分可能な連続性をも許容します。たとえば、は増加し、ω ₁ ≥ ω です。また、連続し、ω ₂ ≥ ω ₁であり、前述の定義の適切な変形により、ω _{2 も}[0, ∞] で無限に微分可能になります。$${\displaystyle \omega _{1}(t):=\sup _{s\leq t}\omega (s)}$$$${\displaystyle \omega _{2}(t):={\frac {1}{t}}\int _{t}^{2t}\omega _{1}(s)ds}$$
  
• 任意の一様連続関数は、最小連続係数 ω _fを許容します。これは、 fの (最適) 連続係数と呼ばれることもあります。同様に、点xで連続する任意の関数は、 xでの最小連続係数ω _f ( t ; x ) ( xでのfの (最適) 連続係数)を許容します。ただし、これらの制限された概念はあまり重要ではありません。ほとんどの場合、 fの最適係数は明示的に計算できず、上からのみ制限されるからです ( fの任意の連続係数によって)。さらに、連続係数の主な特性は、制限のない定義に直接関係します。$${\displaystyle \omega _{f}(t):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x\in X,x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}$$$${\displaystyle \omega _{f}(t;x):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}$$
• 一般に、距離空間上の一様連続関数の連続性係数は、値 +∞ を取る必要があります。たとえば、関数f  : N → Rでf ( n ) := n ^2は、 N上の離散距離に関して一様連続であり、その最小連続性係数は、任意のt ≥ 1 に対して ω _f ( t ) = +∞ であり、それ以外の場合は ω _f ( t ) = 0 です。ただし、ノルム空間のコンパクトまたは凸部分集合上で定義された一様連続関数の場合は状況が異なります。

特別な連続性モジュライは、拡張可能性や一様近似などの関数の特定のグローバル特性も反映します。このセクションでは、主に凹、劣加法、一様連続、または劣線形である連続性モジュライを扱います。これらの特性は、モジュラス ω (より正確には、[0, ∞) への制限) に対して、次のそれぞれが次のことを意味するという点で本質的に同等です。

• ωは凹である。
• ω は劣加法である。
• ωは一様連続である。
• ω は線形以下である、つまり、すべてのtに対して ω( t ) ≤ at + bとなる定数aとbが存在する。
• ω は凹係数によって支配されます。つまり、すべてのtに対して、連続性の凹係数が存在します。${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$${\displaystyle \omega (t)\leq {\tilde {\omega }}(t)}$

したがって、距離空間間の関数f は、連続性の係数が凹、劣加法、一様連続、または劣線形のいずれかであることを許容することと同値である。この場合、関数f は特別な一様連続写像と呼ばれることがある。これは、コンパクト領域または凸領域のどちらの場合でも常に当てはまる。実際、ノルム空間Eの凸集合C上で定義された一様連続写像f  : C → Y は、連続性の係数が常に劣加法であることを許容する。特に、関数 ω : [0, ∞) → [0, ∞) として実数値となる。実際、上で定義した最適な連続性の係数 ω _{f が}、 fの領域が凸である場合に劣加法であることはすぐに確認できる。すべてのsおよびtについて、次が成り立つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{f}(s+t)&=\sup _{|x-x'|\leq t+s}d_{Y}(f(x),f(x'))\\&\leq \sup _{|x-x'|\leq t+s}\left\{d_{Y}\left(f(x),f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right)\right)+d_{Y}\left(f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right),f(x')\right)\right\}\\&\leq \omega _{f}(t)+\omega _{f}(s).\end{aligned}}}$

直接的な帰結として、ノルム空間の凸部分集合上の任意の一様連続関数は、部分線形成長を示すことに注意されたい。つまり、すべてのxに対して| f ( x )| ≤ a | x |+ bとなる定数aおよびbが存在する。しかし、一般計量空間上の一様連続関数が連続性の凹係数を許容するのは、すべてのペア ( x、x ′) に対して比が一様に有界で、距離がゼロから離れる方向に有界である場合に限ります。この条件は、有界な一様連続関数であれば必ず満たされます。したがって、特に、コンパクトな計量空間上の任意の連続関数では満たされます。 ${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))/d_{X}(x,x')}$

連続性の線形以下の係数は、リプシッツ関数の有界摂動である任意の一様連続関数に対して簡単に見つけることができます。つまり、f が連続係数 ω を持つ一様連続関数で、gがfから一様距離rを持つkリプシッツ関数である場合、f は連続性の線形以下の係数 min{ω( t ), 2 r + kt } を許容します。逆に、少なくとも実数値関数の場合、任意の特別な一様連続関数は、あるリプシッツ関数の有界で一様連続な摂動です。実際、以下に示すように、さらに多くのことが当てはまります (リプシッツ近似)。

凸領域上の一様連続関数に関する上記の性質は、少なくとも実数値関数の場合には、ある種の逆を許容する。すなわち、ノルム空間Eの距離部分空間である距離空間X上で定義されたすべての特別な一様連続実数値関数f  : X → R は、 fの任意の劣加法係数 ω を保存するE上の拡張を許容する。そのような拡張の最小と最大のものはそれぞれ次のとおりである。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{*}(x)&:=\sup _{y\in X}\left\{f(y)-\omega (|x-y|)\right\},\\f^{*}(x)&:=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+\omega (|x-y|)\right\}.\end{aligned}}}$

すでに述べたように、任意の劣加法連続性係数は一様連続である。実際、連続性係数はそれ自身を一様連続とみなす。したがって、f _∗とf*はそれぞれ ω 連続族の下位エンベロープと上位エンベロープであり、したがって依然として ω 連続である。ちなみに、クラトフスキー埋め込みにより、任意の距離空間はノルム空間のサブセットに等長になる。したがって、特別な一様連続実数値関数は、本質的にノルム空間上の一様連続関数の制限である。特に、この構成は、コンパクトな距離空間上のTietze 拡張定理の簡単な証明を提供する。ただし、 Rよりも一般的なバナッハ空間内の値を持つマッピングの場合、状況はかなり複雑になる。この方向での最初の非自明な結果は、キルシュブラウン定理である。

計量空間X上で定義されたすべての特別な一様連続実数値関数f  : X → Rは、リプシッツ関数によって一様近似できる。さらに、近似のリプシッツ定数による収束速度は、 f の連続性係数と厳密に関係している。正確には、 ω を fの最小凹連続係数とすると、

${\displaystyle \omega (t)=\inf {\big \{}at+b\,:\,a>0,\,b>0,\,\forall x\in X,\,\forall x'\in X\,\,|f(x)-f(x')|\leq ad(x,x')+b{\big \}}.}$

δ( s )を関数fとC上のリプシッツ定数sを持つすべてのリプシッツ実数値関数の集合Lipsと_の間の一様距離とする 。

${\displaystyle \delta (s):=\inf {\big \{}\|f-u\|_{\infty ,X}\,:\,u\in \mathrm {Lip} _{s}{\big \}}\leq +\infty .}$

すると関数ω( t )とδ( s )はルジャンドル変換によって互いに関連付けることができる。より正確には、関数2δ( s )と−ω(− t )（有限領域外で適切に+∞まで拡張）は共役凸関数のペアであり、^[1]で

${\displaystyle 2\delta (s)=\sup _{t\geq 0}\left\{\omega (t)-st\right\},}$

${\displaystyle \omega (t)=\inf _{s\geq 0}\left\{2\delta (s)+st\right\}.}$

t → 0 ⁺に対してω( t ) = o(1) であるので、 s → +∞に対して δ( s ) = o(1)となり、これはまさにfがリプシッツ関数によって一様近似可能であることを意味する。これに対応して、最適な近似は関数によって与えられる。

${\displaystyle f_{s}:=\delta (s)+\inf _{y\in X}\{f(y)+sd(x,y)\},\quad \mathrm {for} \ s\in \mathrm {dom} (\delta ):}$

各関数f _sはリプシッツ定数sを持ち、

${\displaystyle \|f-f_{s}\|_{\infty ,X}=\delta (s);}$

実際、距離δ( s )を実現するのは最大のs-リプシッツ関数である。例えば、距離空間上のα-ヘルダー実数値関数は、収束速度を持つs-リプシッツ関数で一様に近似できる関数として特徴付けられるが、ほぼリプシッツ関数は指数関数的な収束速度で特徴付けられる。${\displaystyle O(s^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}),}$${\displaystyle O(e^{-as}).}$

• f  : [ a , b ] → R を連続関数とする。fがリーマン積分可能であることの証明では、通常、リーマン分割P  := { t ₀ , ..., t _n }に関して、上側リーマン和と下側リーマン和の間の距離を、 fの連続性の係数と分割Pのメッシュ（数）で制限する。${\textstyle |P|:=\max _{0\leq i<n}(t_{i+1}-t_{i})}$$${\displaystyle S^{*}(f;P)-S_{*}(f;P)\leq (b-a)\omega (|P|).}$$
• フーリエ級数での使用例については、Dini テストを参照してください。

ステフェンス (2006、p. 160) は、連続係数に対するオメガの最初の使用をルベーグ(1909、p. 309/p. 75) に帰しており、オメガはフーリエ変換の振動を指しています。ドゥ・ラ・ヴァレ・プッサン(1919、pp. 7-8) は、(1)「連続係数」と (2)「振動係数」の両方の名前を挙げ、そして「しかし、私たちは (1) を、私たちがそれを使用する用途に注意を向けるために選びました」と結論付けています。

1 ≤ pとし、f ​​ : R ⁿ → R をL ^pクラスの関数とし、h ∈ R ⁿとします。fのh変換、つまり (τ _h f )( x ) := f ( x − h )で定義される関数はL ^pクラスに属します。さらに、 1 ≤ p < ∞ の場合、 ǁ h ǁ → 0として次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \|\tau _{h}f-f\|_{p}=o(1).}$

したがって、平行移動は実際には線型等長変換であるため、

${\displaystyle \|\tau _{v+h}f-\tau _{v}f\|_{p}=o(1),}$

ǁ h ǁ → 0 として、v ∈ R ⁿ上で一様になります。

言い換えれば、写像h → τ _{h は}L ^pの線型等長写像の強連続群を定義する。 p = ∞の場合、上記の性質は一般には成り立たない。実際には、これは一様連続に正確に帰着し、一様連続関数を定義する。これにより、一様連続関数の連続性の係数の概念を一般化する次の定義が導かれる。測定可能な関数f  : X → Rの連続性係数L ^pは、連続性係数 ω : [0, ∞] → [0, ∞] であり、

${\displaystyle \|\tau _{h}f-f\|_{p}\leq \omega (h).}$

このように、連続性の係数は、すべてのL ^p関数によって共有される連続性特性の定量的な説明も提供します。

係数の正式な定義では、一次差分の概念が使用されていることがわかります。

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\omega (f,\delta )=\sup \limits _{x;|h|<\delta ;}\left|\Delta _{h}(f,x)\right|.}$

その差をn次の差に置き換えると、 n次の連続性係数が得られます。

${\displaystyle \omega _{n}(f,\delta )=\sup \limits _{x;|h|<\delta ;}\left|\Delta _{h}^{n}(f,x)\right|.}$

• 建設的な分析
• 収束係数

• ショケ、G. (1964)。クール・ダナリーズ。書物 II、Topologie (フランス語)。パリ：マッソン^ら。
• エフィモフ、AV (2001) [1994]、「連続性、係数」、数学百科事典、Springer、ISBN 1-4020-0609-8
• ルベーグ、H. (1909)。 「完璧な特異点」。アン。ファック。科学。大学トゥールーズ。3 (1): 25-117。土井：10.5802/afst.257。複製:ルベーグ、アンリ。āuvres scientifiques (フランス語)。 Vol. 3. 259 ～ 351 ページ。
• プッサン、Ch.ドゥ・ラ・ヴァレ (1952)。L'estimated des fonctions d'une variable réelle (フランス語) (1919 年版の再版)。パリ：ゴーティエ・ヴィラール。
• Benyamini, Y; Lindenstrauss, J (1998).幾何学的非線形関数解析: 第 1 巻(Colloquium Publications、第 48 巻 ed.). プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会。
• ステフェンス、K.-G. (2006)。近似理論の歴史。ボストン：ビルクハウザー。ISBN 0-8176-4353-2。