シューア分解

シューア分解またはシューア三角分割は、線形代数の数学分野において、イサイ・シューアにちなんで名付けられた行列分解の一種である。シューア分解により、任意の複素正方行列を、その対角要素が元の行列の固有値である 上三角行列とユニタリ相似として表すことができる。

複素シューア分解は次のようになります。A が複素要素を持つn × n 正方行列である場合、A は 、何らかのユニタリ行列Q（逆行列Q ^−1はQの共役転置Q *でもある）と何らかの上三角行列Uに対して^{[1] [2] [3]}と表すことができます。これはAのシューア形式と呼ばれます。 U はAに似ているため、同じスペクトルを持ち、三角形であるため、その固有値はUの対角要素です。 $${\displaystyle A=QUQ^{-1}}$$

シューア分解は、A不変部分空間のネストされたシーケンス{0} = V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ⋯ ⊂ V _n = C ⁿが存在し、ネストされたシーケンスに出現する各iに対して最初のi個の基底ベクトルがV _iに張るような順序付けられた正規直交基底（ C ⁿの標準エルミート形式に対して）が存在することを意味します。 少し言い換えると、最初の部分は、複素有限次元ベクトル空間上の線型演算子J が完全な旗( V ₁、...、V _n )を安定化することを意味しています。

実シューア分解もあります。Aが実数要素を持つn × n 正方行列である場合、A は^[4]のように表すことができます。ここで、Qは直交行列、Hは上ヘッセンベルク行列または下ヘッセンベルク行列です。複素数の場合と同様に、可換な実数行列の族 { A _i } は、直交行列によって同時にヘッセンベルク形式にすることができます。与えられた族の すべてのA _iに対して、が上ヘッセンベルク行列となるような直交行列Qが存在します 。 $${\displaystyle A=QHQ^{-1}}$$$${\displaystyle H_{i}=QA_{i}Q^{-1}}$$

シューア分解の構成的証明は以下のとおりです。複素有限次元ベクトル空間上のすべての演算子Aは、ある固有空間V _λに対応する固有値λを持ちます。V _λ ^{⊥ をその直交補行列とします。この直交分解に関して、} A が行列表現を持つことは明らかです（ここでは、それぞれV _λとV _λ ^{⊥ を}張る任意の正規直交基底Z ₁とZ ₂を選ぶことができます） 。 ここで、I _{λ は}V _λ上の恒等演算子です。上記の行列は、A _{22ブロックを除いて上三角行列になります。しかし、まったく同じ手順を、} V _λ ^⊥上の演算子として見た部分行列A ₂₂とその部分行列に適用できます。結果の行列が上三角行列になるまでこの方法を続けます。各共役により上三角ブロックの次元が少なくとも 1 増加するため、このプロセスには最大でnステップかかります。このようにして空間Cn^は使い果たされ、手順は望ましい結果をもたらす。^[5]$${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}}$$

上記の議論は、次のように少し言い換えることができます。λを Aの固有値とし、ある固有空間V _λに対応させます。Aは商空間C ⁿ / V _λに演算子T を誘導します。この演算子は、まさに上記のA _{22部分行列です。前と同様に、} T は固有空間、たとえばW _μ ⊂ C ⁿ modulo V _λを持ちます。商写像によるW _μの逆像は、V _{λ を}含むAの不変部分空間であることに注意してください。結果として得られる商空間の次元が 0 になるまで、この方法を続けます。次に、各ステップで見つかった固有空間の連続する逆像は、 A が安定化するフラグを形成します。

すべての正方行列にはシューア分解がありますが、一般にこの分解は一意ではありません。たとえば、固有空間V _{λ は}次元 > 1 を持つことができ、その場合、V _λの任意の正規直交基底は目的の結果をもたらします。

三角行列U をU = D + Nと書きます。ここでDは対角行列で、N は厳密に上三角行列です（したがって、べき零行列です）。対角行列D には、 Aの固有値が任意の順序で含まれています（したがって、そのフロベニウスノルムの2乗は、 Aの固有値の2乗係数の合計であり、 Aのフロベニウスノルムの2乗は、 Aの特異値の2乗の合計です）。べき零部分Nも一般に一意ではありませんが、そのフロベニウスノルムはAによって一意に決定されます（ A のフロベニウスノルムがU = D + Nのフロベニウスノルムに等しいため）。^[6]

Aが正規行列である場合、そのシュアー分解からのU は対角行列でなければならず、 Qの列ベクトルはAの固有ベクトルであることは明らかです。したがって、シュアー分解はスペクトル分解を拡張します。特に、Aが正定値である場合、 Aのシュアー分解、スペクトル分解、および特異値分解は一致します。

行列の可換族{ A i _}は同時に三角化できます。つまり、与えられた族のすべてのA _iに対して、 QA _i Q* が上三角になるようなユニタリ行列Q が存在します。これは上記の証明から容易に推測できます。{ A _i } から要素Aを取り、再び固有空間V _Aを考えます。すると、V _{A は}{ A _i }内のすべての行列に対して不変です。したがって、 { A _i }内のすべての行列は、V _Aで 1 つの共通固有ベクトルを共有する必要があります。次に、帰納法によって主張が証明されます。系として、正規行列のすべての可換族は同時に対角化できることがわかります。

無限次元の設定では、バナッハ空間上のすべての有界演算子が不変部分空間を持つわけではありません。ただし、任意の正方行列の上三角化はコンパクト演算子に一般化されます。複素バナッハ空間上のすべてのコンパクト演算子は、閉じた不変部分空間の ネストを持ちます。

与えられた行列のシュアー分解は、QR アルゴリズムまたはその変種によって数値的に計算されます。言い換えれば、行列に対応する特性多項式の根は、そのシュアー分解を得るために必ずしも事前に計算されるわけではありません。逆に、QR アルゴリズムは、そのコンパニオン行列のシュアー分解を見つけることによって、与えられた特性多項式の根を計算するために使用できます。同様に、QRアルゴリズムは、与えられた行列の固有値を計算するために使用されます。固有値は、シュアー分解の上三角行列の対角要素です。QRアルゴリズムは形式的には無限の演算シーケンスですが、演算ではマシン精度への収束が実際に達成されます。^[7] LAPACKユーザーズ ガイド の非対称固有値問題のセクションを参照してください。 ^[8]${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$

ライ理論の応用には以下のものがあります。

• すべての可逆演算子はボレル群に含まれます。
• すべての演算子は旗多様体の点を固定します。

正方行列AとBが与えられたとき、一般化シューア分解は両行列をおよびとして因数分解する。ここでQとZはユニタリ、SとTは上三角である。一般化シューア分解はQZ 分解と呼ばれることもある。^{[2] : 375  [9]}${\displaystyle A=QSZ^{*}}$${\displaystyle B=QTZ^{*}}$

一般化固有値問題（xは未知の非ゼロベクトル）を解く一般化固有値は、 Sの対角要素とTの対角要素の比として計算できます。つまり、下付き文字を使用して行列要素を表すと、i番目の一般化固有値はを満たします。 ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda B\mathbf {x} }$${\displaystyle \lambda_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}$