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曲線フィッティング[ 1 ] [ 2 ]は、制約条件[ 4 ] [ 5 ]の対象となる場合もあり、一連のデータ点に最もよく適合する曲線、または数学関数を構築するプロセスです[ 3 ] 。曲線フィッティングには、データに正確に適合する必要がある場合の補間[6][7]、またはデータに近似的に適合する「滑らかな」関数を構築する平滑化[8][9]のいずれかが含まれます。関連するトピックとして回帰分析[ 10 ] [ 11 ]があり、ランダム誤差を伴う観測データに適合した曲線にどの程度の不確実性があるかなど、統計的推論の問題に重点を置いています。適合した曲線は、データの視覚化[ 12 ] [ 13 ]、データがない場合の関数の値の推定[ 14 ]、および2つ以上の変数間の関係の要約の補助として使用できます。[ 15 ]外挿とは、観測データの範囲を超えて適合曲線を使用することを指し、 [ 16 ]観測データを反映するのと同様に、曲線の構築に使用された方法を反映している可能性があるため、ある程度の不確実性を伴う[ 17 ] 。
データの線形代数解析では、「フィッティング」は通常、曲線からの点の垂直方向（ y軸）変位を最小化する曲線を見つけること（例えば、通常の最小二乗法）を意味します。しかし、グラフィカルおよび画像アプリケーションでは、幾何学的フィッティングは最適な視覚的適合を提供することを目指します。これは通常、曲線への直交距離を最小化すること（例えば、全最小二乗法）または曲線からの点の変位の両方の軸を含めることを意味します。幾何学的フィッティングは、より美的で幾何学的に正確な結果が得られるという利点があるものの、通常は非線形および/または反復計算が必要となるため、あまり一般的ではありません。[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]
最も一般的には、 y = f ( x )の形式の関数を当てはめます。
1次多項式方程式
は傾きaの直線です。直線は任意の 2 点を結ぶので、1 次多項式方程式は、異なる x 座標を持つ任意の 2 点を正確に近似します。
方程式の次数を2次多項式に上げると、次の結果が得られます。
これは、単純な曲線を3つの点に正確に当てはめます。
方程式の次数を3次多項式に上げると、次の式が得られます。
これはちょうど4つの点に収まります。
より一般的な言い方をすれば、それは 4 つの制約に正確に適合するということです。各制約は、点、角度、または曲率(接円の半径の逆数) のいずれかになります。角度と曲率の制約は、多くの場合、曲線の両端に追加され、その場合は端条件と呼ばれます。同一の端条件は、単一のスプライン内に含まれる多項式曲線間のスムーズな遷移を保証するためによく使用されます。「曲率の変化率」などの高次の制約も追加できます。これは、たとえば、高速道路のクローバーリーフ設計において、クローバーリーフに沿って走行する車に加わる力の変化率 (ジャークを参照) を理解し、それに応じて適切な速度制限を設定するのに役立ちます。
1次多項式は1点と角度に対して正確に適合する可能性があり、3次多項式は2点、角度制約、および曲率制約に対して正確に適合する可能性があります。これらの多項式およびより高次の多項式については、他にも多くの制約の組み合わせが可能です。
制約条件がn + 1 個以上ある場合 （nは多項式の次数）、多項式曲線はそれらの制約条件を満たすように描画できます。すべての制約条件に完全に適合するとは限りませんが（例えば、1 次多項式が 3 つの共線点に完全に適合する場合など）、一般的には、各近似を評価するための何らかの方法が必要になります。最小二乗法は、偏差を比較する一つの方法です。
多項式の次数を上げるだけで正確な一致が得られるにもかかわらず、近似的な一致を求める理由はいくつか挙げられる。
多項式曲線の次数が、正確なフィッティングに必要な次数よりも高い場合、高次多項式の場合に挙げたすべての理由から好ましくないだけでなく、解が無限に存在するケースにもつながります。例えば、通常のように2点ではなく1点のみで制約された1次多項式（直線）は、無限の解を持つことになります。これは、ソフトウェアと人間の両方にとって問題となる可能性のある、1つの解を比較して選択する方法という問題を引き起こします。そのため、通常はすべての制約条件で正確な一致が得られるように、できるだけ低い次数を選択するのが最善であり、近似的なフィッティングで許容できる場合は、さらに低い次数を選択するのが望ましいでしょう。
場合によっては、三角関数（正弦や余弦など）といった他の種類の曲線も使用されることがあります。
分光法では、データはガウス関数、ローレンツ関数、フォークト関数、および関連する関数で近似されることがある。
生物学、生態学、人口学、疫学、その他多くの分野では、人口増加、感染症の蔓延などはロジスティック関数を用いて近似することができる。
農業においては、作物収量と生育要因の関係を表すために、逆ロジスティックシグモイド関数（S字曲線）が用いられる。青色の図は、農地で測定されたデータに対するシグモイド回帰によって作成されたものである。図からわかるように、土壌塩分濃度が低い初期段階では、土壌塩分濃度の上昇に伴って作物収量は緩やかに減少するが、その後は減少速度が速くなる。
関数が次の形式の場合仮定することはできないが、平面曲線に当てはめてみることはできる。
円錐曲線（円弧、楕円弧、放物線弧、双曲線弧）や三角関数（正弦関数、余弦関数など）といった他の種類の曲線も、場合によっては使用できます。例えば、重力の影響下にある物体の軌道は、空気抵抗を無視すれば放物線を描きます。したがって、軌道データポイントを放物線に合わせることは理にかなっています。潮汐は正弦波状のパターンに従うため、月と太陽の両方の影響を考慮する場合は、潮汐データポイントを正弦波、または周期の異なる2つの正弦波の和に合わせる必要があります。
パラメトリック曲線の場合、各座標を弧長の個別の関数として近似するのが効果的です。データ点が順序付けられると仮定すると、弦距離を使用できます。[ 22 ]
Coope [ 23 ]は、2D データ点のセットに円を視覚的に最もよく適合させる方法を見つけるという問題に取り組んでいます。この方法は、通常は非線形な問題を、反復数値法を使用せずに解くことができる線形問題に巧みに変換し、したがって従来の手法よりもはるかに高速です。Strutz は、最小二乗法の一般法を適用することに加えて、観測値と円曲線の間のユークリッド距離を考慮に入れた全最小二乗法を使用した解法も説明しています[ 24 ]。
円錐曲線（楕円を含む）の方程式は次の形式である [ 25 ]
境界上のデカルト座標(x,y)を持つ点の場合。散在点(x i ,y i )のデータセットと固定された楕円の場合、この方程式の右辺はもはやゼロではありません。点を楕円にフィッティングする 1 つのアプローチは、残差右辺の (二乗) の合計が最小になるように 6 つのパラメータAからFを見つけることです。これは、基本的に(x i ,y i )の混合べき乗の合計を含む関連する6 x 6行列の固有ベクトルを見つけることによって解決される線形最小二乗フィッティング問題につながります。 [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]
上記の手法は、非線形ステップを追加することで 一般の楕円に拡張され[ 30 ] 、その結果、高速でありながら任意の向きと変位の視覚的に美しい楕円を見つける方法となる。幾何学的フィットは、データ点から楕円の境界までの直交距離の二乗の合計を最小化する。 [ 31 ] [ 32 ] これらの直交距離を近似する同様の方法は、サンプソンメトリックに基づいている。 [ 33 ] [ 34 ]
なお、この議論は2次元曲線に関するものでしたが、この論理の多くは3次元曲面にも適用できます。3次元曲面の各パッチは、通常uとvと呼ばれる2つのパラメトリック方向の曲線のネットワークによって定義されます。曲面は、各方向に1つ以上の曲面パッチで構成される場合があります。
Rなどの多くの統計パッケージや、 gnuplot、GNU Scientific Library、Igor Pro、MLAB、Maple、MATLAB、TK Solver 6.0、Scilab、Mathematica、GNU Octave、SciPyなどの数値解析ソフトウェアには、さまざまなシナリオで曲線フィッティングを行うためのコマンドが含まれています。また、曲線フィッティング専用に作成されたプログラムもあり、統計解析および数値解析プログラムのリストや、カテゴリ:回帰分析および曲線フィッティングソフトウェアで見つけることができます。
