離散最小二乗メッシュレス法

数学において、離散最小二乗メッシュレス (DLSM)法は、最小二乗概念に基づくメッシュレス法です。この方法は、ドメインとその境界を離散化するために使用される節点における支配微分方程式とその境界条件の二乗残差の重み付き合計として定義される最小二乗関数の最小化に基づいています。

説明

既存のメッシュレス法のほとんどは数値積分に背景セルを必要としますが、DLSM は離散最小二乗法を使用して支配微分方程式を離散化するため、数値積分手順を必要としません。移動最小二乗法(MLS) 近似法を使用して形状関数を構築し、このアプローチを完全に最小二乗ベースのアプローチにします。

ArzaniとAfshar ^{[1]は、 2006年に}ポアソン方程式を解くためのDLSM法を開発しました。FiroozjaeeとAfshar ^[2]は、楕円偏微分方程式を解くための共線離散最小二乗メッシュレス(CDLSM)法を提案し、共線点が収束と方法の精度に与える影響を研究しました。この方法は、最小二乗関数の計算に共線点のセットを導入することで、以前のDLSM法を拡張したものと考えることができます。

CDLSMは後にNaisipourら^[3]によって、節点の不規則な分布に関する弾性問題を解くために使用されました。AfsharとLashckarbolokは、双曲型問題の適応シミュレーションにCDLSM法を使用しました。最小二乗関数の値と節点移動戦略に基づく単純な事後誤差指標が使用され、1次元双曲型問題でテストされました。ShobeyriとAfsharは、DLSM法を使用して自由表面問題をシミュレートしました。

この方法はその後、AfsharとFiroozjaeeによって2次元衝撃双曲問題の適応シミュレーションに拡張されました。また、適応ノード移動改良法^[4]と多段ノードエンリッチメント適応改良法^[5]は、弾性問題の解決のためにDLSMで定式化されています。

Amani、Afshar、Naisipour ^{[6] は}、平面弾性問題の解決に混合離散最小二乗メッシュレス (MDLSM) 定式化を提案しました。このアプローチでは、平面弾性問題を支配する微分方程式は、同じ形状関数を使用して個別に近似される応力と変位で記述されます。結果として得られる支配方程式は1 次であるため、変位と応力の境界条件は両方ともディリクレ型であり、ペナルティ法によって簡単に組み込むことができます。これは MDLSM 法の最小二乗ベースのアルゴリズムであるため、提案された方法はLadyzhenskaya – Babuška –Brezzi (LBB) 条件によって満たされる必要はありません。

注記

^ H. Arzani、MH Afshar、「離散最小二乗メッシュレス法によるポアソン方程式の解法」、WIT Transactions on Modelling and Simulation 42 (2006) 23–31。
^ AR Firoozjaee、MH Afshar、「楕円 偏微分方程式の解法のためのサンプリングポイントを使用した離散最小二乗メッシュレス法」境界要素によるエンジニアリング解析33（2009）83–92。
^ M. Naisipour、MH Afshar、B. Hassani、AR Firoozjaee、「弾性問題のためのコロケーション離散最小二乗法（CDLS）法」。国際土木工学ジャーナル7（2009）9–18。
^ MHAfshar、M. Naisipour、J. Amani、「離散最小二乗メッシュレス法を使用した平面弾性問題に対するノード移動適応型改良戦略」、解析と設計における有限要素法、47、(2011) 1315–1325。
^ MHAfshar、J. Amani、M. Naisipour、「弾性問題の解決のための離散最小二乗メッシュレス法によるノードエンリッチメント適応リファインメント」、境界要素によるエンジニアリング解析、36、(2012) 385–393。
^ J. Amani、MHAfshar、M. Naisipour、「規則的および不規則な節点分布を使用した平面弾性問題のための混合離散最小二乗メッシュレス法」、境界要素によるエンジニアリング解析、36、(2012) 894–902。

参考文献

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[1] H. Arzani、MH Afshar、「離散最小二乗メッシュレス法によるポアソン方程式の解法」、WIT Transactions on Modelling and Simulation 42 (2006) 23–31。

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[3] M. Naisipour、MH Afshar、B. Hassani、AR Firoozjaee、「弾性問題のためのコロケーション離散最小二乗法（CDLS）法」。国際土木工学ジャーナル7（2009）9–18。

[4] MHAfshar、M. Naisipour、J. Amani、「離散最小二乗メッシュレス法を使用した平面弾性問題に対するノード移動適応型改良戦略」、解析と設計における有限要素法、47、(2011) 1315–1325。

[5] MHAfshar、J. Amani、M. Naisipour、「弾性問題の解決のための離散最小二乗メッシュレス法によるノードエンリッチメント適応リファインメント」、境界要素によるエンジニアリング解析、36、(2012) 385–393。

[6] J. Amani、MHAfshar、M. Naisipour、「規則的および不規則な節点分布を使用した平面弾性問題のための混合離散最小二乗メッシュレス法」、境界要素によるエンジニアリング解析、36、(2012) 894–902。