不連続ガラーキン法

応用数学において、不連続ガラーキン法 (DG 法) は微分方程式を解く数値計算法の一種です。有限要素法と有限体積法の枠組みの特徴を組み合わせたもので、幅広い応用分野から生じる双曲型、楕円型、放物型、混合形式の問題に効果的に適用されてきました。DG 法は特に、電気力学、流体力学、プラズマ物理学など、一次関数が支配的な問題で大きな関心を集めています。実際、このような問題の解には強い勾配 (さらには不連続性) が含まれる場合があり、古典的な有限要素法ではうまくいかず、有限体積法では低次の近似に制限されます。

不連続ガラーキン法は、偏微分方程式を数値的に解く手法として、1970 年代初頭に初めて提案され、分析されました。1973 年に、リードとヒルは、双曲型中性子輸送方程式を解くための DG 法を導入しました。

楕円型問題に対する DG 法の起源は、ジャンプ ペナルティなどの現代的な意味での機能が徐々に開発されたため、単一の出版物にまで遡ることはできません。ただし、初期の影響力のある貢献者には、Babuška、J.-L. Lions、Joachim Nitsche、Miloš Zlámal がいます。楕円型問題に対する DG 法は、1977 年に Garth Baker による 4 次方程式の設定に関する論文ですでに開発されていました。楕円型問題に対する DG 法の歴史的発展のより完全な説明と入門は、Arnold、Brezzi、Cockburn、Marini による出版物に記載されています。DG 法に関する研究の方向性と課題の多くは、Cockburn、Karniadakis、Shu が編集した議事録集にまとめられています。

連続ガラーキン (CG) 法と同様に、不連続ガラーキン (DG) 法は、特定のモデル システムの弱い定式化を基準にして定式化された有限要素法です。に準拠する従来の CG 法とは​​異なり、DG 法は、区分的にのみ連続する関数の試行空間で機能するため、準拠法で使用される有限次元の内積部分空間よりも 包括的な関数空間を構成することがよくあります。

例として、「ソース」や「シンク」のない 空間領域におけるスカラーの未知の連続方程式を考えてみましょう。${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0,}$

のフラックスはどこですか？ ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \rho}$

ここで、離散三角形分割に制限された空間領域上の不連続な区分多項式関数の有限次元空間を考える。これは次のように表される。 ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \Omega_{h}}$

${\displaystyle S_{h}^{p}(\Omega _{h})=\{v_{|\Omega _{e_{i}}}\in P^{p}(\Omega _{e_{i}}),\ \ \forall \Omega _{e_{i}}\in \Omega _{h}\}}$

によってインデックス付けされた要素上の次数以下の多項式空間に対して、有限要素形状関数に対して解は次のように表される 。${\displaystyle P^{p}(\オメガ _{e_{i}})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \オメガ _{e_{i}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle N_{j}\in P^{p}}$

${\displaystyle \rho _{h}^{i}=\sum _{j=1}^{\text{dofs}}\rho _{j}^{i}(t)N_{j}^{i}({\boldsymbol {x}}),\quad \forall {\boldsymbol {x}}\in \Omega _{e_{i}}.}$

同様にテスト関数を選択する

${\displaystyle \varphi _{h}^{i}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{\text{dofs}}\varphi _{j}^{i}N_ {j}^{i}({\boldsymbol {x}}),\quad \forall {\boldsymbol {x}}\in \Omega _{e_{i}},}$

連続方程式にを掛けて空間の部分で積分すると、半離散DG定式化は次のようになります。 ${\displaystyle \varphi _{h}^{i}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{e_{i}}}\rho _{h}^{i}\varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}+\int _{\partial \Omega _{e_{i}}}\varphi _{h}^{i}\mathbf {J} _{h}\cdot {\boldsymbol {n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{\Omega _{e_{i}}}\mathbf {J} _{h}\cdot \nabla \varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}.}$

スカラー双曲型保存則は次の形式をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\quad {\text{for}}\quad t>0,\,x\in \mathbb {R} \\u(0,x)&=u_{0}(x)\,,\end{aligned}}}$

ここで、未知のスカラー関数を解こうとしますが、関数は通常与えられています。 ${\displaystyle u\equiv u(t,x)}$${\displaystyle f,u_{0}}$

-空間は次のように離散化される。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{k}I_{k}\,,\quad I_{k}:=\left(x_{k},x_{k+1}\right)\quad {\text{for}}\quad x_{k}}x_{k+1}\,.}$

さらに、以下の定義が必要です

${\displaystyle h_{k}:=|I_{k}|\,,\quad h:=\sup _{k}h_{k}\,,\quad {\hat {x}}_{k}:=x_{k}+{\frac {h_{k}}{2}}\,.}$

解の関数空間の基底表現を導出する。関数空間は次のように定義される。 ${\displaystyle u}$

${\displaystyle S_{h}^{p}:=\left\lbrace v\in L^{2}(\mathbb {R} ):v{\Big |}_{I_{k}}\in \Pi _{p}\right\rbrace \quad {\text{for}}\quad p\in \mathbb {N} _{0}\,,}$

ここで、 は区間 への の制限を表し、 は最大次数の多項式の空間を表します。インデックスは、によって与えられる基礎となる離散化との関係を示す必要があります。ここで、 は交差点で一意に定義されないことに注意してください。 ${\displaystyle {v|}_{I_{k}}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle \Pi _{p}}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \left(x_{k}\right)_{k}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle (x_{k})_{k}}$

まず、区間 上の特定の多項式基底、ルジャンドル多項式、すなわち、 ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle (P_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$

${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x\,,\quad P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)\,,\quad \dots }$

特に直交関係に注目

${\displaystyle \left\langle P_{i},P_{j}\right\rangle _{L^{2}([-1,1])}={\frac {2}{2i+1}}\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.}$

区間への変換と正規化は関数によって達成される${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (\varphi _{i})_{i}}$

${\displaystyle \varphi _{i}(x):={\sqrt {2i+1}}P_{i}(2x-1)\quad {\text{for}}\quad x\in [0,1]\,,}$

正規直交関係を満たす

${\displaystyle \left\langle \varphi _{i},\varphi _{j}\right\rangle _{L^{2}([0,1])}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.}$

区間への変換は次のように与えられる。${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle \left({\bar {\varphi }}_{ki}\right)_{i}}$

${\displaystyle {\bar {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}\varphi _{i}\left({\frac {x-x_{k}}{h_{k}}}\right)\quad {\text{for}}\quad x\in I_{k}\,,}$

満たす

${\displaystyle \left\langle {\bar {\varphi }}_{ki},{\bar {\varphi }}_{kj}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\forall \,k\,.}$

-正規化の場合、を定義し、-正規化の場合、 を定義する。 ${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle \varphi _{ki}:={\sqrt {h_{k}}}{\bar {\varphi }}_{ki}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}{\bar {\varphi }}_{ki}}$

${\displaystyle \|\varphi _{ki}\|_{L^{\infty }(I_{k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{\infty }([0,1])}=:c_{i,\infty }\quad {\text{and}}\quad \|{\tilde {\varphi }}_{ki}\|_{L^{1}(I_{k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{1}([0,1])}=:c_{i,1}\,.}$

最後に、ソリューションの基本表現を定義することができます。${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{h}(t,x):=&\sum _{i=0}^{p}u_{ki}(t)\varphi _{ki}(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (x_{k},x_{k+1})\\u_{ki}(t)=&\left\langle u_{h}(t,\cdot ),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}\,.\end{aligned}}}$

ここで、インターフェースの位置では定義されていないことに注意してください。 ${\displaystyle u_{h}}$

さらに、プリズムベースは平面状の構造に使用され、2D/3D のハイブリッド化が可能です。

保存則は、テスト関数を乗じてテスト区間にわたって積分することで弱形式に変換されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\\\Rightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),v\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,v\in S_{h}^{p}\\\Leftrightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}}$

部分積分を使うと、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+f(u(t,x_{k+1})){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-f(u(t,x_{k})){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}}$

界面におけるフラックスは、数値フラックスによって近似される。 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g_{k}:=g(u_{k}^{-},u_{k}^{+})\,,\quad u_{k}^{\pm }:=u(t,x_{k}^{\pm })\,,}$

ここで、は左辺と右辺の極限を表す。最終的に、DGスキームは次のように記述できる。 ${\displaystyle u_{k}^{\pm }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+g_{k+1}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-g_{k}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}}$

スカラー楕円方程式は次の形式をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}-\partial _{xx}u&=f(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (a,b)\\u(x)&=g(x)\,\quad {\text{for}}\,\quad x=a,b\end{aligned}}}$

この方程式は定常熱方程式であり、 は温度です。空間の離散化は上記と同じです。区間 は長さ の区間に分割されることを思い出してください。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle h}$

ノードで関数のジャンプと平均を導入します。 ${\displaystyle [{}\cdot {}]}$${\displaystyle \{{}\cdot {}\}}$${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle [v]{\Big |}_{x_{k}}=v(x_{k}^{+})-v(x_{k}^{-}),\quad \{v\}{\Big |}_{x_{k}}=0.5(v(x_{k}^{+})+v(x_{k}^{-}))}$

内部ペナルティ不連続ガラーキン法（IPDG法）は、以下の式を満たす ${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle A(u_{h},v_{h})+A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\ell (v_{h})+\ell _{\partial }(v_{h})}$

ここで、双線型形式とは次のようになる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\partial }}$

${\displaystyle A(u_{h},v_{h})=\sum _{k=1}^{N+1}\int _{x_{k-1}}^{x_{k}}\partial _{x}u_{h}\partial _{x}v_{h}-\sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}u_{h}\}_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}+\varepsilon \sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}v_{h}\}_{x_{k}}[u_{h}]_{x_{k}}+{\frac {\sigma }{h}}\sum _{k=1}^{N}[u_{h}]_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}}$

そして

${\displaystyle A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\partial _{x}u_{h}(a)v_{h}(a)-\partial _{x}u_{h}(b)v_{h}(b)-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)u_{h}(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)u_{h}(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}u_{h}(a)v_{h}(a)+u_{h}(b)v_{h}(b){\big )}}$

線型形式と線型形式は ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell _{\partial }}$

${\displaystyle \ell (v_{h})=\int _{a}^{b}fv_{h}}$

そして

${\displaystyle \ell _{\partial }(v_{h})=-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)g(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)g(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}g(a)v_{h}(a)+g(b)v_{h}(b){\big )}}$

ペナルティ パラメータは正の定数です。値を大きくすると、不連続解のジャンプが減少します。この項は、対称内部ペナルティ ガラーキン法の場合はに等しくなるように選択され、非対称内部ペナルティ ガラーキン法の場合は に等しくなります。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle -1}$${\displaystyle +1}$

直接不連続ガラーキン法（DDG）は、拡散問題を解くための新しい不連続ガラーキン法です。2009年に、LiuとYanは拡散方程式を解くためのDDG法を初めて提案しました。^{[1] [2]}不連続ガラーキン法と比較したこの方法の利点は、直接不連続ガラーキン法では、中間変数を導入せずに、関数の数値フラックスと1次導関数項を直接取得して数値形式を導出することです。この方法を使用しても妥当な数値結果を得ることができ、導出プロセスはより単純になり、計算量が大幅に削減されます。

直接不連続有限要素法は、不連続ガラーキン法の 1 分野です。主に、問題の変分形式への変換、領域単位の分割、基底関数の構築、不連続有限要素方程式の形成と解決、収束と誤差の分析が含まれます。

たとえば、1 次元の非線形拡散方程式を考えます。

${\displaystyle U_{t}-{(a(U)\cdot U_{x})}_{x}=0\ \ in\ (0,1)\times (0,T)}$、その中で${\displaystyle U(x,0)=U_{0}(x)\ \ on\ (0,1)}$

まず、 、を定義します。したがって、 の空間離散化が完了しました。また、 を定義します。 ${\displaystyle \left\{I_{j}=\left(x_{j-{\frac {1}{2}}},\ x_{j+{\frac {1}{2}}}\right),j=1...N\right\}}$${\displaystyle \Delta x_{j}=x_{j+{\frac {1}{2}}}-x_{j-{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Delta x=\max _{1\leq j<N}\ \Delta x_{j}}$

と なるような近似値を求めたい。${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \forall t\in \left[0,T\right]}$${\displaystyle u\in \mathbb {V} _{\Delta x}}$

${\displaystyle \mathbb {V} _{\Delta x}:=\left\{v\in L^{2}\left(0,1\right):{v|}_{I_{j}}\in P^{k}\left(I_{j}\right),\ j=1,...,N\right\}}$は、次以下のにおける多項式空間です。 ${\displaystyle P^{k}\left(I_{j}\right)}$${\displaystyle I_{j}}$${\displaystyle k}$

フラックス: . ${\displaystyle h:=h\left(U,U_{x}\right)=a\left(U\right)U_{x}}$

${\displaystyle U}$: 方程式の正確な解。

この方程式に滑らかな関数を掛けると、次の方程式が得られます。 ${\displaystyle v\in H^{1}\left(0,1\right)}$

${\displaystyle \int _{I_{j}}U_{t}vdx-h_{j+{\frac {1}{2}}}v_{j+{\frac {1}{2}}}+h_{j-{\frac {1}{2}}}v_{j-{\frac {1}{2}}}+\int a\left(U\right)U_{x}v_{x}dx=0}$、

${\displaystyle \int _{I_{j}}U\left(x,0\right)v\left(x\right)dx=\int _{I_{j}}U_{0}\left(x\right)v\left(x\right)dx}$

ここで は任意であり、方程式の正確な解は近似解に置き換えられます。つまり、必要な数値解は微分方程式を解くことによって得られます。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$

DDG 法の精度を高めるには、適切な数値フラックスを選択することが重要です。

数値フラックスは次の条件を満たす必要があります。

♦ これは、${\displaystyle h={b\left(u\right)}_{x}=a\left(u\right)u_{x}}$

♦ 数値フラックスは 上の単一の値で保存されます。 ${\displaystyle x_{j+{\frac {1}{2}}}}$

♦ 安定性があります。 ${\displaystyle L^{2}}$

♦ 方法の精度を向上させることができます。

したがって、数値フラックスの一般的なスキームは次のようになります。

${\displaystyle {\widehat {h}}=D_{x}b(u)=\beta _{0}{\frac {\left[b\left(u\right)\right]}{\Delta x}}+{\overline {{b\left(u\right)}_{x}}}+\sum _{m=1}^{\frac {k}{2}}\beta _{m}{\left(\Delta x\right)}^{2m-1}\left[\partial _{x}^{2m}b\left(u\right)\right]}$

このフラックスでは、は 2 つの隣接する計算単位における多項式の最大次数です。は関数のジャンプです。 非均一グリッドでは が、均一グリッドではになることに注意してください。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \left[\cdot \right]}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \left({\frac {\Delta x_{j}+\Delta x_{j+1}}{2}}\right)}$${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$

正確な解と数値解の間の誤差が であることを示します。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$${\displaystyle e=u-U}$

次の基準でエラーを測定します。

${\displaystyle \left|\left|\left|v(\cdot ,t)\right|\right|\right|={\left(\int _{0}^{1}v^{2}dx+\left(1-\gamma \right)\int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}\int _{I_{j}}v_{x}^{2}dxd\tau +\alpha \int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}{\left[v\right]}^{2}/\Delta x\cdot d\tau \right)}^{0.5}}$

そして、${\displaystyle \left|\left|\left|U(\cdot ,T)\right|\right|\right|\leq \left|\left|\left|U(\cdot ,0)\right|\right|\right|}$${\displaystyle \left|\left|\left|u(\cdot ,T)\right|\right|\right|\leq \left|\left|\left|U(\cdot ,0)\right|\right|\right|}$

• ガラーキン法

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