グラム・シュミット法

数学、特に線形代数と数値解析において、グラム・シュミット法またはグラム・シュミットアルゴリズムは、互いに直交する2つ以上のベクトルの集合を見つける方法である。

技術的な定義によれば、これは内積空間（最も一般的にはユークリッド空間）のベクトル集合から正規直交基底を構築する方法である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$標準内積を備えている。グラム・シュミット法は、有限個の線形独立なベクトルの集合を対象とする。${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}}$k ≤ nの場合、直交集合を生成する${\displaystyle S'=\{\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}\}}$同じ範囲に及ぶ${\displaystyle k}$次元部分空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$として${\displaystyle S}$。

この方法はヨルゲン・ペダーセン・グラムとエルハルト・シュミットにちなんで名付けられましたが、ピエール＝シモン・ラプラスはグラムとシュミットより前にこの方法を知っていました。 ^{[ 1 ]}リー群分解の理論では、岩沢分解によって一般化されます。

フル列ランク行列の列ベクトルにグラム・シュミット法を適用すると、QR分解が得られます（直交行列と三角行列に分解されます）。

ベクトルのベクトル射影${\displaystyle \mathbf {v} }$ゼロでないベクトル上${\displaystyle \mathbf {u} }$^{[注1 ]}と定義される。$${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )={\frac {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }{\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}\,\mathbf {u} ,}$$ どこ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }$ベクトルの内積を表す${\displaystyle \mathbf {u} }$そして${\displaystyle \mathbf {v} }$これはつまり${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )}$は、​${\displaystyle \mathbf {v} }$線上に${\displaystyle \mathbf {u} }$。 もし${\displaystyle \mathbf {u} }$はゼロベクトルなので、${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )}$はゼロベクトルとして定義される。

与えられた${\displaystyle k}$非ゼロの線形独立ベクトル${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}$グラム・シュミット法はベクトルを定義する${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$次のように： $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&=\mathbf {v} _{1},&\!\mathbf {e} _{1}&={\frac {\mathbf {u} _{1}}{\|\mathbf {u} _{1}\|}}\\\mathbf {u} _{2}&=\mathbf {v} _{2}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{2}),&\!\mathbf {e} _{2}&={\frac {\mathbf {u} _{2}}{\|\mathbf {u} _{2}\|}}\\\mathbf {u} _{3}&=\mathbf {v} _{3}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{3})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{3}),&\!\mathbf {e} _{3}&={\frac {\mathbf {u} _{3}}{\|\mathbf {u} _{3}\|}}\\\mathbf {u} _{4}&=\mathbf {v} _{4}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{4})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{4})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{3}}(\mathbf {v} _{4}),&\!\mathbf {e} _{4}&={\mathbf {u} _{4} \over \|\mathbf {u} _{4}\|}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \\\mathbf {u} _{k}&=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{j}}(\mathbf {v} _{k}),&\!\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}}{\|\mathbf {u} _{k}\|}}.\end{aligned}}}$$

シーケンス${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$は必要な直交ベクトルのシステムであり、正規化されたベクトルは${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{k}}$正規直交系を形成する。数列の計算${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$これはグラム・シュミット直交化として知られており、数列の計算は${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{k}}$これはグラム・シュミット直交化として知られています。

これらの式が直交数列を生成することを確認するには、まず以下を計算します。${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle }$上記の式を代入して${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$: ゼロになります。次にこれを使用して計算します${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{3}\rangle }$再び式を代入して${\displaystyle \mathbf {u} _{3}}$: 結果はゼロになります。任意の${\displaystyle k}$証明は数学的帰納法によって行われる。

幾何学的には、この方法は次のように進みます。${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$それは予測する${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$部分空間に直交する${\displaystyle U}$によって生成されました${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{i-1}}$これは、によって生成される部分空間と同じです。${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1}}$ベクトル${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$は、次の差として定義されます。${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$そしてこの射影は、部分空間内のすべてのベクトルに対して直交することが保証されている。${\displaystyle U}$。

グラム・シュミット法は、線形独立な可算無限列{ v _i } _iにも適用されます。結果として得られるのは、自然数nに対して次のようになる直交（または正規直交）列{ u _i } _iです。${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$は、${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$。

グラム・シュミット法を線形従属な数列に適用すると、0ベクトルが出力されます。${\displaystyle i}$ステップ1では、${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$は、${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1}}$直交基底を生成する場合、アルゴリズムは出力中のゼロベクトルを検査し、ゼロベクトルの倍数の長さが1になることはないため、それらを破棄する必要があります。アルゴリズムによって出力されるベクトルの数は、元の入力によって張られる空間の次元になります。

（場合によっては非可算な）無限列のベクトルに適用された、超限再帰を用いたグラム・シュミット法の変種${\displaystyle (v_{\alpha })_{\alpha <\lambda }}$正規直交ベクトルの集合が得られる${\displaystyle (u_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$と${\displaystyle \kappa \leq \lambda }$任意の${\displaystyle \alpha \leq \lambda }$区間の完成${\displaystyle \{u_{\beta }:\beta <\min(\alpha ,\kappa )\}}$は、${\displaystyle \{v_{\beta }:\beta <\alpha \}}$特に、ヒルベルト空間の（代数的）基底（あるいはより一般的には、任意の稠密部分空間の基底）に適用すると、（関数解析的）正規直交基底が得られます。一般の場合、厳密な不等式がしばしば成り立つことに注意してください。${\displaystyle \kappa <\lambda }$開始セットが線形独立で、スパンが${\displaystyle (u_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$は、のスパンの部分空間である必要はない。${\displaystyle (v_{\alpha })_{\alpha <\lambda }}$（むしろ、それはその完成空間の部分空間である。）

で表す${\displaystyle \operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})}$グラム・シュミット法をベクトルの集合に適用した結果${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$これにより地図が生成されます${\displaystyle \operatorname {GS} \colon (\mathbb {R} ^{n})^{k}\to (\mathbb {R} ^{n})^{k}}$。

次のような特性を持っています。

• それは継続的である
• それは、次のような意味で方向を保持する。${\displaystyle \operatorname {or} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})=\operatorname {or} (\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}))}$。
• 直交写像と可換である。

させて${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$（与えられた内積に関して）直交する。すると、次のようになる。 $${\displaystyle \operatorname {GS} (g(\mathbf {v} _{1}),\dots ,g(\mathbf {v} _{k}))=\left(g(\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})_{1}),\dots ,g(\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})_{k})\right)}$$

さらに、グラム・シュミット過程のパラメータ化されたバージョンは、一般線形群の（強い）変形収縮をもたらす。${\displaystyle \mathrm {GL} (\mathbb {R} ^{n})}$直交群へ${\displaystyle O(\mathbb {R} ^{n})}$。

このプロセスがコンピュータ上で実行されると、ベクトルは${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$丸め誤差のため、必ずしも直交しているとは限りません。上述のグラム・シュミット法（「古典的グラム・シュミット法」と呼ばれることもあります）では、この直交性の喪失が特に深刻です。そのため、（古典的）グラム・シュミット法は数値的に不安定であると言われています。

グラム・シュミット法は、わずかな修正を加えることで安定化させることができます。このバージョンは、修正グラム・シュミット法（MGS）と呼ばれることもあります。この手法は、厳密な計算においては元の公式と同じ結果を与え、有限精度計算においてはより小さな誤差をもたらします。

ベクトルu _kを 計算する代わりに$${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{k})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{k})-\cdots -\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-1}}(\mathbf {v} _{k}),}$$ 計算方法は以下のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{k}^{(1)}&=\mathbf {v} _{k}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{k}),\\\mathbf {u} _{k}^{(2)}&=\mathbf {u} _{k}^{(1)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(1)}\right),\\&\;\;\vdots \\\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}&=\mathbf {u} _{k}^{(k-3)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-2}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(k-3)}\right),\\\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}&=\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-1}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}\right),\\\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}}{\left\|\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}\right\|}}\end{aligned}}}$$

この方法は、前のアニメーションで中間段階で使用されました。${\displaystyle \mathbf {v} '_{3}}$青いベクトルを直交化する際にベクトルが使用されます${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$。

以下に、修正されたアルゴリズムの別の説明を示します。ベクトルが与えられた場合${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$まず最初のステップでは、ベクトルを生成します。${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}^{(1)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(1)}}$方向に沿ってコンポーネントを取り除くことによって${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$数式では、${\displaystyle \mathbf {v} _{k}^{(1)}:=\mathbf {v} _{k}-{\frac {\langle \mathbf {v} _{k},\mathbf {v} _{1}\rangle }{\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle }}\mathbf {v} _{1}}$このステップの後、目的の直交ベクトルが2つ得られます。${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$すなわち${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1},\mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}^{(1)}}$しかし、私たちは${\displaystyle \mathbf {v} _{3}^{(1)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(1)}}$すでに直交している${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$次に、残りのベクトルを直交化します。${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}^{(1)}}$これは、私たちが計算することを意味します${\displaystyle \mathbf {v} _{3}^{(2)},\mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$引き算によって${\displaystyle \mathbf {v} _{k}^{(2)}:=\mathbf {v} _{k}^{(1)}-{\frac {\langle \mathbf {v} _{k}^{(1)},\mathbf {u} _{2}\rangle }{\langle \mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{2}\rangle }}\mathbf {u} _{2}}$これでベクトルを保存しました${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}^{(1)},\mathbf {v} _{3}^{(2)},\mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$最初の３つのベクトルはすでに${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{3}}$残りのベクトルはすでに直交しています${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}}$。これで明らかになったように、次のステップでは直交化します。${\displaystyle \mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$に対して${\displaystyle \mathbf {u} _{3}=\mathbf {v} _{3}^{(2)}}$このようにして、直交ベクトルの完全なセットを見つける。${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$正規直交ベクトルが必要な場合は、減算式の分母が1になるように、処理を進めながら正規化します。

以下のMATLABアルゴリズムは、古典的なグラム・シュミット直交化を実装します。ベクトルv ₁、 ...、v _k (行列の列)VはV(:,j)、${\displaystyle j}$（ 番目のベクトル）は、U同じ部分空間を張る正規直交ベクトル（ の列）に置き換えられます。

関数U =グラムシュミット( V )[ n , k ] = size ( V );U = zeros ( n , k );U (:, 1 ) = V (:, 1 ) /ノルム( V (:, 1 ));fori=2:kU(:,i)=V(:,i);forj=1:i-1U(:,i)=U(:,i)-(U(:,j)'*U(:,i))*U(:,j);endU(:,i)=U(:,i)/norm(U(:,i));endend

The cost of this algorithm is asymptotically O(nk²) floating point operations, where n is the dimensionality of the vectors.^[2]

If the rows {v₁, ..., v_k} are written as a matrix ${\displaystyle A}$, then applying Gaussian elimination to the augmented matrix ${\displaystyle \left[AA^{\mathsf {T}}|A\right]}$ will produce the orthogonalized vectors in place of ${\displaystyle A}$. However the matrix ${\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}$ must be brought to row echelon form, using only the row operation of adding a scalar multiple of one row to another.^[3] For example, taking ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}2&2\end{bmatrix}}}$ as above, we have $${\displaystyle \left[AA^{\mathsf {T}}|A\right]=\left[{\begin{array}{rr|rr}10&8&3&1\\8&8&2&2\end{array}}\right]}$$

And reducing this to row echelon form produces $${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr|rr}1&.8&.3&.1\\0&1&-.25&.75\end{array}}\right]}$$

The normalized vectors are then $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {1}{\sqrt {.3^{2}+.1^{2}}}}{\begin{bmatrix}.3&.1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\frac {1}{\sqrt {.25^{2}+.75^{2}}}}{\begin{bmatrix}-.25&.75\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}-1&3\end{bmatrix}},}$$ as in the example above.

The result of the Gram–Schmidt process may be expressed in a non-recursive formula using determinants.

$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}={\frac {1}{\sqrt {D_{j-1}D_{j}}}}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j-1}\rangle \\\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}\end{vmatrix}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} _{j}={\frac {1}{D_{j-1}}}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j-1}\rangle \\\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}\end{vmatrix}}}$$

where ${\displaystyle D_{0}=1}$ and, for ${\displaystyle j\geq 1}$, ${\displaystyle D_{j}}$ is the Gram determinant

$${\displaystyle D_{j}={\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j}\rangle \end{vmatrix}}.}$$

Note that the expression for ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$ is a "formal" determinant, i.e. the matrix contains both scalars and vectors; the meaning of this expression is defined to be the result of a cofactor expansion along the row of vectors.

The determinant formula for the Gram-Schmidt is computationally (exponentially) slower than the recursive algorithms described above; it is mainly of theoretical interest.

Expressed using notation used in geometric algebra, the unnormalized results of the Gram–Schmidt process can be expressed as $${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}(\mathbf {v} _{k}\cdot \mathbf {u} _{j})\mathbf {u} _{j}^{-1}\ ,}$$ which is equivalent to the expression using the ${\displaystyle \operatorname {proj} }$ operator defined above. The results can equivalently be expressed as^[4]$${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}\wedge \mathbf {v} _{k-1}\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathbf {v} _{1}(\mathbf {v} _{k-1}\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathbf {v} _{1})^{-1},}$$ which is closely related to the expression using determinants above.

Other orthogonalization algorithms use Householder transformations or Givens rotations. The algorithms using Householder transformations are more stable than the stabilized Gram–Schmidt process. On the other hand, the Gram–Schmidt process produces the ${\displaystyle j}$th orthogonalized vector after the ${\displaystyle j}$th iteration, while orthogonalization using Householder reflections produces all the vectors only at the end. This makes only the Gram–Schmidt process applicable for iterative methods like the Arnoldi iteration.

Yet another alternative is motivated by the use of Cholesky decomposition for inverting the matrix of the normal equations in linear least squares. Let ${\displaystyle V}$ be a full column rank matrix, whose columns need to be orthogonalized. The matrix ${\displaystyle V^{*}V}$ is Hermitian and positive definite, so it can be written as ${\displaystyle V^{*}V=LL^{*},}$ using the Cholesky decomposition. The lower triangular matrix ${\displaystyle L}$ with strictly positive diagonal entries is invertible. Then columns of the matrix ${\displaystyle U=V\left(L^{-1}\right)^{*}}$ are orthonormal and span the same subspace as the columns of the original matrix ${\displaystyle V}$. The explicit use of the product ${\displaystyle V^{*}V}$ makes the algorithm unstable, especially if the product's condition number is large. Nevertheless, this algorithm is used in practice and implemented in some software packages because of its high efficiency and simplicity.

In quantum mechanics there are several orthogonalization schemes with characteristics better suited for certain applications than original Gram–Schmidt. Nevertheless, it remains a popular and effective algorithm for even the largest electronic structure calculations.^[5]

Gram-Schmidt orthogonalization can be done in strongly-polynomial time. The run-time analysis is similar to that of Gaussian elimination.^[6]:40

• Linear algebra
• Recursion
• Orthogonality (mathematics)

• Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997), Numerical linear algebra , Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9。
• Golub, Gene H. ; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd  ed.), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9。
• グリューブ、ヴェルナー（1975）、『線形代数（第4 版）』、シュプリンガー。
• Soliverez, CE; Gagliano, E. (1985)、「平面上の直交化：幾何学的アプローチ」（PDF）、Mex. J. Phys.、31（4）：743–758 、 2014年3月7日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、2013年6月22日に取得。

• 「直交化」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ハーベイ・マッド大学数学チュートリアル：グラム・シュミットのアルゴリズム
• 数学用語の最も古い使用例: G「グラム・シュミット直交化」の項目には、この方法の起源に関する情報と参考文献があります。
• デモ：平面上のグラム・シュミット法と空間上のグラム・シュミット法
• グラム・シュミット直交化アプレット
• n個のm次ベクトルのNAGグラム・シュミット直交化ルーチン
• 証明：Raymond Puzio、Keenan Kidwell。「グラム・シュミット直交化アルゴリズムの証明」（バージョン8）。PlanetMath.org。