半暗黙的オイラー法

数学において、半暗黙的オイラー法は、シンプレクティックオイラー法、半明示的オイラー法、オイラー・クローマー法、ニュートン・シュテルマー・ヴェルレ法 (NSV)とも呼ばれ、古典力学で生じる常微分方程式系であるハミルトン方程式を解くオイラー法の修正版である。これはシンプレクティック積分法であるため、標準的なオイラー法よりも良い結果が得られる。

この方法は、1980年にニュートンノース高校の上級生アビー・アスペルによって偶然発見されました。ケプラーの法則を使用して軌道をシミュレートする実験課題で、 BASICでの計算が必要でした。彼女は位置を計算する前に速度を計算することで、誤って2行のコードを逆にしてしまいました。彼女のシミュレーションはより早く収束し、予想よりも正確で実現可能な結果を​​もたらしました。その後、アラン・クロマーは彼女のアルゴリズムが以前の計算方法よりも安定している理由を証明しました。^[1]

しかし、この方法はニュートンの『プリンキピア』^[2]にまで遡り、何度も発見されては忘れ去られてきました。リチャード・ファインマンがファインマン講義（第1巻、第9.6節）で回想しています。 ^[3]現代では、この方法は1956年にルネ・ド・フォージュラエールによってプレプリントで再発見されましたが、正式には出版されなかったものの、高次シンプレクティック法に関するその後の研究に影響を与えました。^[4]

半暗黙的オイラー法は、次の形式の微分方程式のペアに適用できる^[要出典]

${\displaystyle {\begin{aligned}{dx \over dt}&=f(t,v)\\{dv \over dt}&=g(t,x),\end{aligned}}}$

ここで、 fとgは与えられた関数である。ここで、xとvはスカラーまたはベクトルである。ハミルトン力学における運動方程式は、ハミルトニアンが次の形式である場合にこの形式をとる。

${\displaystyle H=T(t,v)+V(t,x).\,}$

微分方程式は初期条件で解く必要がある。

${\displaystyle x(t_{0})=x_{0},\qquad v(t_{0})=v_{0}.}$

半暗黙的オイラー法は、反復することで 近似離散解を生成する。

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{n+1}&=v_{n}+g(t_{n},x_{n})\,\Delta t\\[0.3em]x_{n+1}&=x_{n}+f(t_{n},v_{n+1})\,\Delta t\end{aligned}}}$

ここで、Δ t は時間ステップであり、t _n = t ₀ + n Δ tはnステップ後の時間です。

標準的なオイラー法との違いは、半暗黙的オイラー法ではx _{n +1}の式にv _{n +1 を}使用するのに対し、オイラー法ではv _{n を}使用することです。

負の時間ステップの方法を の計算に適用し、整理すると、半暗黙的オイラー法の2番目の変種が得られる。 ${\displaystyle (x_{n},v_{n})}$${\displaystyle (x_{n+1},v_{n+1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}&=x_{n}+f(t_{n},v_{n})\,\Delta t\\[0.3ex]v_{n+1}&=v_{n}+g(t_{n},x_{n+1})\,\Delta t\end{aligned}}}$

同様の特性を持っています。

半暗黙的オイラー法は、標準オイラー法と同様に、 1 次積分器です。つまり、Δt のオーダーのグローバル誤差を許容します。ただし、半暗黙的オイラー法は、標準法とは異なり、シンプレクティック積分器です。結果として、半暗黙的オイラー法はエネルギーをほぼ保存します (ハミルトニアンが時間に依存しない場合)。多くの場合、標準オイラー法を適用するとエネルギーが着実に増加し、精度が大幅に低下します。

半暗黙的オイラー法の2つの変種を交互に用いると、1つの簡略化ではシュテルマー・ヴェルレ積分となり、少し異なる簡略化ではリープフロッグ積分となり、誤差の次数とエネルギー保存の次数の両方が増加します。^[2]

半暗黙法の安定領域はニイランネン^[5]によって発表されたが、彼の論文では半暗黙オイラーは対称オイラーと誤解を招くような名前で呼ばれていた。半暗黙法は、特性方程式の複素根が以下に示す円内にある場合、シミュレートされたシステムを正しくモデル化する。実根の場合、安定領域は基準が適用される円の外側に広がる。${\displaystyle s>-2/\Delta t}$

ご覧のとおり、半暗黙法では、左半平面に根を持つ安定システムと右半平面に根を持つ不安定システムの両方を正しくシミュレートできます。これは、順方向 (標準) オイラー法と逆方向オイラー法に比べて明らかに有利です。順方向オイラー法は、根の負の実部が虚軸に近づくと、実システムよりも減衰が少なくなる傾向があり、逆方向オイラー法では、根が右半平面にある場合でもシステムが安定していることを示す場合があります。

フックの法則を満たすバネの運動は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=v(t)\\[0.2em]{\frac {dv}{dt}}&=-{\frac {k}{m}}\,x=-\omega ^{2}\,x.\end{aligned}}}$

この方程式の半暗黙的オイラー法は

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{n+1}&=v_{n}-\omega ^{2}\,x_{n}\,\Delta t\\[0.2em]x_{n+1}&=x_{n}+v_{n+1}\,\Delta t.\end{aligned}}}$

2番目の式に1番目の式で与えられた式を代入すると、反復は次の行列形式で表すことができます。 ${\displaystyle v_{n+1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\v_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-\omega ^{2}\Delta t^{2}&\Delta t\\-\omega ^{2}\Delta t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\v_{n}\end{bmatrix}},}$

行列の 行列式は 1 なので、変換は面積を保存します。

反復により、修正されたエネルギー関数が正確に保存され、正確な軌道から だけずれた安定した周期軌道（十分に小さいステップ サイズの場合）が得られます。正確な円周波数は、数値近似で 倍に増加します。 ${\displaystyle E_{h}(x,v)={\tfrac {1}{2}}\left(v^{2}+\omega ^{2}\,x^{2}-\omega ^{2}\Delta t\,vx\right)}$${\displaystyle O(\Delta t)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{24}}\omega ^{2}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})}$

• Nikolic, Branislav K. 「オイラー・クロマー法」。デラウェア大学。 2021年9月29日閲覧。
• Vesely, Franz J. (2001).計算物理学入門(第2版). Springer. pp. 117. ISBN 978-0-306-46631-1。
• ジョルダーノ、ニコラス J.、中西久雄 (2005 年 7 月)。計算物理学(第 2 版)。ベンジャミン カミングス。ISBN 0-13-146990-8。