平行焼戻し

物理学と統計学における並列テンパリングは、多くの相互作用する粒子のシステムの最低エネルギー状態を見つけるために通常使用されるコンピュータ シミュレーション手法です。これは、高温では低温とは異なる安定状態になる可能性がある一方で、低温でのシミュレーションは準安定状態で「スタック」する可能性があるという問題に対処します。これは、高温シミュレーションが安定および準安定低温状態の両方の典型的な状態を訪れる可能性があるという事実を利用して行われます。

より具体的には、パラレルテンパリング（レプリカ交換MCMCサンプリングとも呼ばれる）は、物理システムのモンテカルロ法シミュレーション、およびより一般的にはマルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）サンプリング法の動的特性を改善することを目的としたシミュレーション手法です。レプリカ交換法は、もともとロバート・スウェンセンとJS・ワンによって考案され、^[1]その後チャールズ・J・ガイヤーによって拡張され、^[2]その後ジョルジオ・パリシ、^[3] 、 福島浩二と根本浩二、^[4] らによってさらに開発されました。^{[5] [6]} Y. 杉田とY. 岡本は、パラレルテンパリングの分子動力学バージョンも定式化しました。これは通常、レプリカ交換分子動力学またはREMDとして知られています。^[7]

基本的に、ランダムに初期化されたシステムのN 個のコピーを異なる温度で実行します。次に、メトロポリス基準に基づいて、異なる温度での構成を交換します。この方法の考え方は、高温での構成を低温でのシミュレーションに利用できるようにし、その逆も行うことです。これにより、低エネルギー構成と高エネルギー構成の両方をサンプリングできる非常に堅牢なアンサンブルが得られます。このようにして、一般に標準アンサンブルでは十分に計算されない比熱などの熱力学的特性を、非常に正確に計算できます。

通常、メトロポリス-ヘイスティングス更新を使用するモンテカルロ シミュレーションは、システムのエネルギーを評価し、温度Tに基づいて更新を承認/拒否する単一の確率プロセスで構成されます。高温では、システムのエネルギーを変更する更新の可能性が比較的高くなります。システムの相関性が高い場合、更新は拒否され、シミュレーションは重大な速度低下に悩まされると言われています。

Δ Tだけ離れた温度で 2 つのシミュレーションを実行すると、 Δ T が十分に小さければ、モンテ カルロ ステップ N のセットにわたってエネルギーの値を収集して得られるエネルギーヒストグラムによって、ある程度重複する 2 つの分布が作成されることがわかります。重複は、サンプルの総数で正規化された、同じエネルギー値間隔に収まるヒストグラムの領域によって定義できます。 Δ T = 0 の場合、重複は 1 に近づくはずです。

この重なりを解釈する別の方法は、温度T _{1でサンプリングされたシステム構成が、} T ₂でのシミュレーション中に現れる可能性が高いと言うことです。マルコフ連鎖は過去の記憶を持たないはずなので、T ₁とT ₂の2つのシステムで構成されるシステムの新しい更新を作成できます。特定のモンテカルロステップで、2つのシステムの構成を交換するか、2つの温度を交換することで、グローバルシステムを更新できます。更新は、メトロポリス-ヘイスティングス基準に従って、確率で受け入れられます。

${\displaystyle p=\min \left(1,{\frac {\exp \left(-{\frac {E_{i}}{kT_{i}}}-{\frac {E_{i}}{kT_{j}}}\right)}{\exp \left(-{\frac {E_{i}}{kT_{i}}}-{\frac {E_{j}}{kT_{j}}}\right)}}\right)=\min \left(1,e^{(E_{i}-E_{j})\left({\frac {1}{kT_{i}}}-{\frac {1}{kT_{j}}}\right)}\right),}$

そうでなければ更新は拒否される。詳細なバランス条件は、他の条件がすべて同じであれば、逆の更新が等しく起こり得ることを保証することによって満たされなければならない。これは、2つのシステムの構成やモンテカルロステップに依存しない確率で、通常のモンテカルロ更新または並列テンパリング更新を適切に選択することによって保証できる。^[8]

この更新は 2 つ以上のシステムに一般化できます。

温度とシステムの数を慎重に選択することで、並列シミュレーションを実行するための追加の計算コストを上回る、一連のモンテカルロ シミュレーションの混合特性の改善を実現できます。

他に考慮すべき点: 異なる温度の数を増やすと、特定のシステムの温度間の「横方向」移動を拡散プロセスとして考えることができるため、悪影響が生じる可能性があります。横方向移動の妥当な確率を達成するには、実用的なヒストグラムの重なりが必要であるため、設定が重要です。

並列テンパリング法は、高温のシステムが低温のシステムに新しいローカル最適化装置を供給し、準安定状態間のトンネリングを可能にしてグローバル最適値への収束を改善できるため、再起動を必要としないスーパーシミュレーテッドアニーリングとして使用できます。

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