ABS法（この頭字語は、Jozsef Abaffy、 Charles G. Broyden、Emilio Spedicatoのイニシャルを含む）は、1981年以来、以下の用途向けの大規模なアルゴリズム群を生成するために開発されてきた。
2007年初頭の時点で、ABSに関する文献は400以上の論文や報告書、そして2冊のモノグラフで構成されていた。1冊はAbaffyとSpedicatoによるもので1989年に出版され、もう1冊はXiaとZhangによるもので1998年に中国語で出版された。さらに、中国では3つの会議が開催されていた。
ABS法に関する研究は、イタリアのベルガモ大学スペディカートが調整役を務める国際共同研究の成果である。この研究には、ハンガリー、イギリス、中国、イランをはじめとする各国から40名以上の数学者が参加している。
このような方法の中心となる要素は、ハンガリーの数学者イェネー・エゲルヴァーリによる特別な行列変換の使用であり、彼は注目されなかったいくつかの論文でその主な性質を調査した。n個の変数を持つm個の線形方程式系を解くという基本的な問題では、
ABS法は、以下の単純な幾何学的アイデアに基づいています。
- 解の任意の初期推定値が与えられたとき、最初の方程式の無限個の解のうちの1つを見つけ、次元n - 1の線形多様体を定義する。
- 2番目の方程式の解であり、かつ1番目の方程式の解でもある解を見つける。つまり、それぞれ個別に考えた最初の2つの方程式の解の線形多様体の交点にある解を見つける。
- 上記の手順をm'回繰り返すことで、最後の方程式の解が得られ、それは前の方程式の解でもあるため、システム全体の解にもなります。さらに、冗長な方程式や互換性のない方程式を検出することも可能です。
これまでに得られた主な成果は以下のとおりです。
- 線形代数方程式、非線形代数方程式、および線形制約付き非線形最適化のためのアルゴリズムの統一（線形計画問題も特殊なケースとして含む）。
- ガウス法は、必要なメモリ容量を削減し、ピボット操作の必要性を排除することで改良された。
- ニュートン法よりも収束特性が優れた、非線形システムのための新しい手法。
- ヒルベルト第10問題（線形の場合）に対する一般的なアルゴリズムの導出。古典的なオイラーの定理を1つの方程式からシステムへと拡張する。
- 特に主双対内点法で生じる問題に対して、従来のものよりも安定したソルバーが得られている。
- ABS法は通常、ベクトルマシンまたは並列マシン上でより高速に動作します。
- ABS法は、特定のパラメータを選択するだけで特定の方法が得られるため、様々な種類の問題に対する教育において、よりシンプルなアプローチを提供する。
ABS法に関する知識は数学者の間ではまだかなり限られているが、現在使用されている手法を改善する大きな可能性を秘めている。
参考文献
- Jozsef Abaffy、Emilio Spedicato (1989): ABS 射影アルゴリズム: 線形および非線形代数方程式のための数学的手法、Ellis Horwood、Chichester。この主題に関する最初のモノグラフ。
- Jozsef Abaffy、Charles G. Broyden、Emilio Spedicato (1984):線形方程式に対する直接法のクラス、Numerische Mathematik 45、361–376。連続線形システムに対するABS法を紹介する論文。
- H. Esmaeili、N. Mahdavi-Amiri、Emilio Spedicato:ディオファントス線形システムのための ABS アルゴリズムのクラス、Numerische Mathematik 90、101–115。 整数線形システムのための ABS メソッドを紹介する論文。
