行列分解

• 従来は正方行列Aに適用されていましたが、長方形行列にも適用可能です。^{[ 1 ] [ nb 1 ]}
• 分解：${\displaystyle A=LU}$ここで、Lは下三角関数、Uは上三角関数である。
• 関連: LDU分解は${\displaystyle A=LDU}$ここで、Lは対角成分が1の下三角行列、 Uは対角成分が1の上三角行列、Dは対角行列である。
• 関連: LUP分解は${\displaystyle PA=LU}$ここで、Lは下三角行列、Uは上三角行列、Pは置換行列である。
• 存在条件：任意の正方行列Aに対して LUP 分解が存在する。P が単位行列の場合、LUP分解は LU 分解に帰着する。
• コメント：LUP分解とLU分解は、n × nの連立一次方程式を解く際に有用です。${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$これらの分解は、ガウス消去法のプロセスを行列形式で要約したものです。行列Pは、ガウス消去法のプロセスで行われる行の入れ替えを表します。ガウス消去法が行の入れ替えを必要とせずに行階段形を生成する場合、 P  = Iとなり、LU 分解が存在します。 

• 適用対象：ランクrのm × n行列A
• 分解：${\displaystyle A=CF}$ここで、Cはm × rのフル列ランク行列であり、 Fはr × nのフル行ランク行列である。
• コメント：ランク分解は、 Aのムーア・ペンローズ擬似逆行列を計算するために使用でき、^{[ 2 ]}これを適用することで線形システムのすべての解を得ることができます。${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$。

• 適用対象：正方行列、エルミート行列、正定値行列${\displaystyle A}$
• 分解：${\displaystyle A=U^{*}U}$、 どこ${\displaystyle U}$対角成分が実数で正である上三角形
• コメント: 行列が${\displaystyle A}$がエルミート行列かつ正半定値行列である場合、その分解は次の形式となる。${\displaystyle A=U^{*}U}$対角線上の要素が${\displaystyle U}$ゼロでも構いません
• 一意性：正定値行列の場合、コレスキー分解は一意です。しかし、半正定値行列の場合は一意ではありません。
• コメント: もし${\displaystyle A}$実数かつ対称であり、${\displaystyle U}$全ての実際の要素を備えている
• コメント：別の方法として、平方根を抽出する必要のないLDL分解法があります。

• 適用対象：線形独立な列を持つm × n行列A
• 分解：${\displaystyle A=QR}$どこ${\displaystyle Q}$は、 m × mサイズのユニタリ行列であり、${\displaystyle R}$m × nサイズの三角上行列
• 独自性: 一般的には独自ではありませんが、${\displaystyle A}$が完全なランクである場合、単一の${\displaystyle R}$対角要素がすべて正である場合。${\displaystyle A}$正方形です。${\displaystyle Q}$ユニークです。
• コメント：QR分解は、連立方程式を解くための効果的な方法を提供する。${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$事実${\displaystyle Q}$直交と は、${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=I}$、 となることによって${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$と同等${\displaystyle R\mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {b} }$これは非常に簡単に解決できます。${\displaystyle R}$三角形です。

• スペクトル分解とも呼ばれる。
• 適用対象：線形独立な固有ベクトルを持つ正方行列A（固有値は必ずしも異なるとは限らない）。
• 分解：${\displaystyle A=VDV^{-1}}$ここで、DはAの固有値から形成される対角行列であり、 Vの列はAの対応する固有ベクトルである。
• 存在条件：n × n行列Aは常にn個の（複素）固有値を持ち、これらの固有値は（複数の方法で）順序付けしてn × n対角行列Dと、固有値方程式を満たす対応する非ゼロ列行列Vを形成することができる。${\displaystyle AV=VD}$。 ${\displaystyle V}$行列が可逆であるのは、n 個の固有ベクトルが線形独立である場合（つまり、各固有値の幾何学的重複度が代数的重複度と等しい場合）に限る。この条件を満たすための十分条件（ただし必要条件ではない）は、すべての固有値が異なることである（この場合、幾何学的重複度と代数的重複度はともに 1 となる）。
• 注釈：固有ベクトルの長さを1に正規化することは常に可能です（固有値方程式の定義を参照）。
• コメント: すべての正規行列A (つまり、次の条件を満たす行列)${\displaystyle AA^{*}=A^{*}A}$、 どこ${\displaystyle A^{*}}$は共役転置行列です) は固有値分解できます。正規行列A (正規行列の場合のみ) の場合、固有ベクトルも正規直交にすることができます (${\displaystyle VV^{*}=I}$）そして固有値分解は次のようになる。${\displaystyle A=VDV^{*}}$特に、すべてのユニタリ行列、エルミート行列、または歪エルミート行列（実数値の場合、それぞれすべての直交行列、対称行列、または歪対称行列）は正規行列であり、したがってこの性質を持ちます。
• コメント：任意の実対称行列Aに対して、固有値分解は常に存在し、次のように記述できます。${\displaystyle A=VDV^{\mathsf {T}}}$ここで、DとVはともに実数値である。
• コメント: 固有値分解は、線形常微分方程式または線形差分方程式系の解を理解するのに役立ちます。例えば、差分方程式${\displaystyle x_{t+1}=Ax_{t}}$初期状態から${\displaystyle x_{0}=c}$解決方法${\displaystyle x_{t}=A^{t}c}$これは、${\displaystyle x_{t}=VD^{t}V^{-1}c}$ここで、VとDはAの固有ベクトルと固有値から構成される行列である。Dは対角行列なので、それをべき乗すると${\displaystyle D^{t}}$これは、対角線上の各要素をt乗するだけです。Aは通常対角線ではないため、 Aをt乗するよりも、この方がはるかに簡単で理解しやすいです。

ジョルダン標準形とジョルダン・シュヴァレー分解

• 適用対象：正方行列A
• コメント：ジョルダン標準形は、固有値が重複していて対角化できない場合に固有値分解を一般化しますが、ジョルダン・シュヴァレー分解は基底を選択せず​​にこれを実現します。

• 適用対象：正方行列A
• 分解（複雑なバージョン）：${\displaystyle A=UTU^{*}}$ここで、Uはユニタリ行列である。$\displaystyle U^{*}}$はUの共役転置行列であり、TはAの固有値を対角成分に持つ複素シュール形式と呼ばれる上三角行列です。
• コメント：Aが正規行列の場合、Tは対角行列となり、シューア分解はスペクトル分解と一致します。

• 適用対象：正方行列A
• 分解: これは、シューア分解の一種で、${\displaystyle V}$そして${\displaystyle S}$実数のみを含む。常に次のように書くことができる。${\displaystyle A=VSV^{\mathsf {T}}}$ここで、Vは実直交行列である。${\displaystyle V^{\mathsf {T}}}$はVの転置行列であり、Sは実数シュール形式と呼ばれるブロック上三角行列です。S の対角線上のブロックは1×1 (この場合、実固有値を表します) または 2×2 (この場合、複素共役固有値ペアから導出されます) のサイズです。

• 別名：一般化シューア分解
• 適用対象：正方行列AおよびB
• 注釈：この分解には、複素数分解と実数分解の2つのバージョンがあります。
• 分解（複雑なバージョン）：${\displaystyle A=QSZ^{*}}$そして${\displaystyle B=QTZ^{*}}$ここで、QとZはユニタリ行列であり、上付き文字*は共役転置を表し、SとTは上三角行列である。
• コメント: 複素数 QZ 分解では、Sの対角要素とTの対応する対角要素の比は、${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}$は、一般化固有値問題を解く一般化固有値である。${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda B\mathbf {v} }$（どこ${\displaystyle \lambda }$は未知のスカラーであり、vは未知の非ゼロベクトルである。
• 分解（実際のバージョン）：${\displaystyle A=QSZ^{\mathsf {T}}}$そして${\displaystyle B=QTZ^{\mathsf {T}}}$ここで、 A、B、Q、Z、S、Tは実数のみを含む行列です。この場合、QとZは直交行列であり、上付き文字Tは転置を表し、SとTはブロック上三角行列です。SとTの対角線上のブロックのサイズは1×1または2×2です。

• 適用対象: 正方行列、複素数行列、対称行列A。
• 分解：${\displaystyle A=VDV^{\mathsf {T}}}$ここで、Dは実数の非負対角行列であり、Vはユニタリ行列である。${\displaystyle V^{\mathsf {T}}}$は、 Vの行列転置を表します。
• コメント: Dの対角要素は、 の固有値の非負の平方根です。${\displaystyle AA^{*}=VD^{2}V^{-1}}$。
• コメント：Aが実数であっても、Vは複素数になる可能性がある。
• コメント: これは、固有値分解(上記参照)の特殊なケースではありません。${\displaystyle V^{-1}}$の代わりに${\displaystyle V^{\mathsf {T}}}$さらに、Aが実数でない場合、それはエルミート行列ではなく、${\displaystyle V^{*}}$これも該当しません。

• 適用対象: m行n 行の行列A。
• 分解：${\displaystyle A=UDV^{*}}$ここで、Dは非負の対角行列であり、UとV は以下を満たす。${\displaystyle U^{*}U=I,V^{*}V=I}$。 ここ${\displaystyle V^{*}}$はVの共役転置（または、 V が実数のみを含む場合は単に転置）であり、 I は（ある次元の）単位行列を表します。
• コメント: Dの対角要素はAの特異値と呼ばれます。
• 解説：上記の固有値分解と同様に、特異値分解は、行列の乗算がスカラー乗算と等価になるような基底方向を見つけることを含みますが、対象となる行列が正方行列である必要がないため、より一般性があります。
• 独自性:${\displaystyle A}$それらは常に独自に決定される。${\displaystyle U}$そして${\displaystyle V}$必ずしも独自性を持つ必要はない。

対角成分のスケーリングに関して不変な、特異値分解（SVD）などの既存の行列分解の変種を指します。

• 適用対象: m行n 行の行列A。
• 単位スケール不変特異値分解：${\displaystyle A=DUSV^{*}E}$ここで、Sはスケール不変の特異値を持つ 一意の非負対角行列であり、 UとVはユニタリ行列である。${\displaystyle V^{*}}$はVの共役転置行列であり、DとEは正の対角行列です。
• コメント: SVD と類似していますが、Sの対角要素は、 Aに任意の非特異対角行列を左または右に乗算しても不変です。一方、標準 SVD では、特異値はAに任意のユニタリ行列を左または右に乗算しても不変です。
• コメント: Aのユニタリ変換ではなく対角変換に関して不変性が要求される場合、標準 SVD の代替手段となります。
• 一意性: スケール不変の特異値${\displaystyle A}$（ Sの対角要素によって与えられる）は常に一意に決定されます。対角行列DとE、およびユニタリ行列UとVは、一般に必ずしも一意ではありません。
• コメント：U行列とV行列は、SVDから得られる行列とは異なります。

同様のスケール不変分解は、他の行列分解からも導出できます。たとえば、スケール不変固有値を取得する場合などです。^{[ 3 ] [ 4 ]}

• 適用対象:正方行列A。
• 分解：${\displaystyle A=PHP^{*}}$どこ${\displaystyle H}$はヘッセンベルグ行列であり、${\displaystyle P}$はユニタリ行列です。
• コメント：これはしばしばシューア分解の最初のステップとなる。

• 別名: UTV分解、ULV分解、URV分解。
• 適用対象: m行n 行の行列A。
• 分解：${\displaystyle A=UTV^{*}}$ここで、Tは三角行列、UとVはユニタリ行列である。
• コメント：特異値分解やシューア分解に似ています。

• 適用対象: 任意の正方複素行列A。
• 分解：${\displaystyle A=UP}$（右極分解）または${\displaystyle A=P'U}$（左極分解）ここで、Uはユニタリ行列、PとP'は正定値エルミート行列である。
• 独自性：${\displaystyle P}$常にユニークで平等${\displaystyle {\sqrt {A^{*}A}}}$（これは常にエルミート行列であり、半正定値行列です）。${\displaystyle A}$可逆であれば、${\displaystyle U}$ユニークです。
• コメント: 任意のエルミート行列はユニタリ行列とのスペクトル分解を許容するため、${\displaystyle P}$次のように書くことができます${\displaystyle P=VDV^{*}}$。 以来${\displaystyle P}$は正半定値で、すべての要素は${\displaystyle D}$は非負です。2 つのユニタリ行列の積はユニタリ行列なので、${\displaystyle W=UV}$書くことができる${\displaystyle A=U(VDV^{*})=WDV^{*}}$これは特異値分解である。したがって、極分解の存在は特異値分解の存在と同等である。

• 適用対象: 正方行列、複素数、非特異行列A。^{[ 5 ]}
• 分解：${\displaystyle A=QS}$ここで、Qは複素直交行列、Sは複素対称行列である。
• 独自性: もし${\displaystyle A^{\mathsf {T}}A}$負の実固有値を持たない場合、分解は一意である。^{[ 6 ]}
• コメント: この分解の存在は、${\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}$に似ている${\displaystyle A^{\mathsf {T}}A}$[ ^{7 ]​}
• コメント: この分解の変形は${\displaystyle A=RC}$ここで、Rは実数行列、Cは円形行列である。^{[ 6 ]}

• 適用対象: 正方行列、複素数、非特異行列A。^{[ 8 ] [ 9 ]}
• 分解：${\displaystyle A=Ue^{iM}e^{S}}$ここで、Uはユニタリ行列、Mは実反対称行列、Sは実対称行列である。
• コメント：行列Aは次のように分解することもできます。${\displaystyle A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}}$ここで、U ₂はユニタリ、M ₂は実反対称、S ₂は実対称である。^{[ 6 ]}

• 適用対象：要素がすべて正である正方実数行列A。
• 分解：${\displaystyle A=D_{1}SD_{2}}$ここで、Sは二重確率であり、D1とD2_は厳密に正の要素を持つ実対角行列である_。

• 適用対象：セクター内に数値範囲が含まれる正方複素行列A${\displaystyle S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}}$。
• 分解：${\displaystyle A=CZC^{*}}$ここで、Cは可逆な複素行列であり、${\displaystyle Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}$すべてと共に${\displaystyle \left|\theta _{j}\right|\leq \alpha }$[ ^{10 ] [ 11 ]​}

• 適用対象: 2 n ×2 nの正定値実数行列A。
• 分解：${\displaystyle A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S}$、 どこ${\displaystyle S\in {\text{Sp}}(2n)}$はシンプレクティック行列であり、Dは非負のn × n対角行列である。^{[ 12 ]}

• 分解：${\displaystyle A=BB}$一般的には特異なことではない。
• 正半定値の場合${\displaystyle A}$一意の正半定値が存在する${\displaystyle B}$そのため${\displaystyle A=B^{*}B=BB}$。

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