数学 において、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ にちなんで名付けられたπ のライプニッツ公式は 、次のように述べている。 π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ = ∑ k = 0 ∞ （ − 1 ） k 2 k + 1 、 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}},}
交互に繰り返されるシリーズ 。
これは、14世紀から15世紀にかけてインドの数学者サンガマグラーマのマダヴァまたはその弟子によって最初に発見されたことから、 マダヴァ・ライプニッツ級数と呼ばれることもあります（ マダヴァ級数を 参照）[ 1 ] ジェームズ・グレゴリー 、1673年にライプニッツによってそれぞれ独立に再発見されました。 [ 2 ] 逆正接 関数のテイラー級数 は、グレゴリー級数 アークタン x = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ = ∑ k = 0 ∞ （ − 1 ） k x 2 k + 1 2 k + 1 。 {\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}
ライプニッツの公式は、arctan 1 = π / 4 の 特殊な場合である。 [ 3 ]
また、これはs = 1 で評価されたモジュラス4の非主ディリクレ特性 のディリクレL級数であり、したがって ディリクレベータ関数 のβ (1) の値である。
証明
証明１ π 4 = アークタン 1 = ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x = ∫ 0 1 （ ∑ k = 0 n （ − 1 ） k x 2 k + （ − 1 ） n + 1 x 2 n + 2 1 + x 2 ） d x = （ ∑ k = 0 n （ − 1 ） k 2 k + 1 ） + （ − 1 ） n + 1 （ ∫ 0 1 x 2 n + 2 1 + x 2 d x ） {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan 1\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}}
最後の項の積分のみを考慮すると、次のようになります。 0 ≤ ∫ 0 1 x 2 n + 2 1 + x 2 d x ≤ ∫ 0 1 x 2 n + 2 d x = 1 2 n + 3 → 0 として n → ∞ 。 \displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}
したがって、スクイーズ定理 により、n → ∞π 4 = ∑ k = 0 ∞ （ − 1 ） k 2 k + 1 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}
証明2 させて f （ z ） = ∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n 2 n + 1 z 2 n + 1 。 {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}.}
| z | < 1 の∑ k = 0 ∞ （ − 1 ） k z 2 k {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}} アークタン z = ∫ 0 z 1 1 + t 2 d t = ∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n 2 n + 1 z 2 n + 1 = f （ z ） のために | z | < 1. {\displaystyle \arctan z=\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}=f(z)\quad {\text{for }}|z|<1.}
したがって、f ( z )がf (1)∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n 2 n + 1 \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}} ライプニッツの判定法 により収束し、またf ( z ) はf (1)アーベルの定理 からこれは正しい。
収束 ライプニッツの公式（□ ）と、 π に関するいくつかの歴史的な無限級数の収束性を比較した図。S nは n 項まで計算した後の近似値です。各サブプロットは、網掛け部分を水平方向に 10 倍に拡大しています。（クリック で 詳細を表示） ライプニッツの公式は収束が非常に遅く、劣線形収束 を示します。級数の直接和を使用してπを小数点以下10桁まで正確に計算するには、50億項以上が必要です。これは、 k > 2 × 10 10 − 1 / 2 4 / 2 k + 1 < 10 −10 となるためです（カラブレーゼ誤差限界 を適用する必要があります）。小数点以下4桁（誤差0.00005）まで正確にするには、5000項が必要です。[ 4 ] [ 5 ]
しかし、ライプニッツの公式は、様々な収束加速技術を用いることで、 πを 高精度（数百桁以上）で計算するために使用できます。例えば、交代級数に対する一般的な方法であるシャンクス変換 、オイラー変換 、またはファン・ワインガルデン変換は 、ライプニッツ級数の部分和に効果的に適用できます。さらに、項をペアごとに組み合わせることで、非交代級数が得られます。 π 4 = ∑ n = 0 ∞ （ 1 4 n + 1 − 1 4 n + 3 ） = ∑ n = 0 ∞ 2 （ 4 n + 1 ） （ 4 n + 3 ） = 2 1 ⋅ 3 + 2 5 ⋅ 7 + 2 9 ⋅ 11 + 2 13 ⋅ 15 ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 2 （ 4 n + 2 ） 2 − 1 = 2 2 2 − 1 + 2 6 2 − 1 + 2 10 2 − 1 + 2 14 2 − 1 ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)\\[6px]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}&&={\frac {2}{1\cdot 3}}+{\frac {2}{5\cdot 7}}+{\frac {2}{9\cdot 11}}+{\frac {2}{13\cdot 15}}\cdots \\[6px]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+2)^{2}-1}}&&={\frac {2}{2^{2}-1}}+{\frac {2}{6^{2}-1}}+{\frac {2}{10^{2}-1}}+{\frac {2}{14^{2}-1}}\cdots \end{aligned}}}
これは、リチャードソン補外 法またはオイラー・マクローリンの公式 を用いることで、少数の項から高精度で評価できる。また、この級数はアベル・プラナの公式 を用いて積分に変換し、数値積分 法を用いて評価することもできる。
異常な行動 数列を適切なタイミングで打ち切ると、孤立した桁や桁のグループを除いて、近似値の小数展開は π の小数展開と多くの桁で一致します。たとえば、500万項を取ると、 3.14159 2 4 _ 535 89793 23846 4 _ 6433 83279 502 7 _ 8 41971 69399 3 873 _ 0 58 … {\displaystyle 3.14159\,2{\underline {4}}535\,89793\,23846\,{\underline {4}}6433\,83279\,502{\underline {7}}8\,41971\,69399\,3{\underline {873}}0\,58\dots }
下線が引かれた数字だけが間違っている。これらの誤りは実際には予測可能であり、漸近 式 に従ってオイラー数 E n π 2 − 2 ∑ k = 1 N 2 （ − 1 ） k − 1 2 k − 1 ～ ∑ m = 0 ∞ E 2 m N 2 m + 1 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{\frac {N}{2}}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}}
ここで、N を オイラー・ブール総和 公式の特殊な場合であり、ライプニッツ級数に適用できる収束加速技術のもう 1 つの例となります。1992 年に、ジョナサン・ボーウェイン とマーク・リンバーは、最初の 1000 個のオイラー数を使用して、ライプニッツの公式でπ を 5263 桁まで計算しました。[ 6 ]
オイラー積 ライプニッツの公式は、法4における唯一の非主ディリクレ指標を用いた ディリクレ級数 として解釈できます。他のディリクレ級数と同様に、これにより無限和を各素数に対応する項を持つ 無限 積に変換できます。このような積はオイラー積 と呼ばれます。それは次のようになります。
π 4 = （ ∏ p ≡ 1 （ モジュール 4 ） p p − 1 ） （ ∏ p ≡ 3 （ モジュール 4 ） p p + 1 ） = 3 4 ⋅ 5 4 ⋅ 7 8 ⋅ 11 12 ⋅ 13 12 ⋅ 17 16 ⋅ 19 20 ⋅ 23 24 ⋅ 29 28 ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\left(\prod _{p\,\equiv \,1\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\,\equiv \,3\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p+1}}\right)\\[7mu]&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}}
この積では、各項は超粒子比 であり、各分子は奇素数であり、各分母は分子に最も近い4の倍数である。[ 7 ] この積は条件付き収束であり、その項はpの 増加順に取らなければならない。
参考文献 ↑ Plofker, Kim (2012年11月)、「K. RamasubramanianとMS SriramによるNīlakaṇṭha SomayājīのTantrasaṅgraha 」、 The Mathematical Intelligencer 35 (1): 86–88 、doi : 10.1007/s00283-012-9344-6、S2CID 124507583 ↑ Roy, Ranjan (1990). " ライプニッツ、グレゴリー、ニラカンタによる π の級数公式の発見" (PDF) . Mathematics Magazine . 63 (5): 291– 306. doi : 10.1080/0025570X.1990.11977541 . 2023年2月24日に オリジナル (PDF) からアーカイブ済み。 2023年2月23日 に取得 。
ホルバース、ミクロス (1983)。「円のライプニツィアン求積法について」(PDF) 。Annales Universitatis Scientiarum Budapestiensis (Sectio Computatorica) 。4 : 75–83。2025年 1 月 14 日に オリジナル(PDF) からアーカイブされました。 ↑ アンドリュース、ジョージ E.、アスキー、リチャード、ロイ、ランジャン (1999)、 『特殊関数』 、 ケンブリッジ大学出版局 、58 ページ 、 ISBN 0-521-78988-5 ↑ Villarino, Mark B. (2018-04-21). "交代級数の誤差" . The American Mathematical Monthly . 125 (4): 360–364 . arXiv : 1511.08568 . doi : 10.1080/00029890.2017.1416875 . hdl : 10669/75532 . ISSN 0002-9890 . S2CID 56124579 . ↑ Rattaggi, Diego (2018-08-30). "Dalzell積分を用いたGregory-Leibniz級数と交代調和級数の誤差推定". arXiv : 1809.00998 [ math.CA ]. ↑ Borwein, Jonathan ; Bailey, David ; Girgensohn, Roland (2004), "1.8.1: Gregory's Series Reexamined" , Experimentation in mathematics: Computational paths to discovery , AK Peters, pp. 28–30 , ISBN 1-56881-136-5 MR 2051473 ↑ デブナス、ロケナス（2010）『 レオンハルト・オイラーの遺産：三百年祭への賛辞 』ワールド・サイエンティフィック、 214 ページ、 ISBN 9781848165267 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan 1\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0cddf484ccdf2682a546ebe445de6a9792cc438)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)\\[6px]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}&&={\frac {2}{1\cdot 3}}+{\frac {2}{5\cdot 7}}+{\frac {2}{9\cdot 11}}+{\frac {2}{13\cdot 15}}\cdots \\[6px]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+2)^{2}-1}}&&={\frac {2}{2^{2}-1}}+{\frac {2}{6^{2}-1}}+{\frac {2}{10^{2}-1}}+{\frac {2}{14^{2}-1}}\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34826fa178e8ebe679d5d19f848b3c7f8e93666)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\left(\prod _{p\,\equiv \,1\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\,\equiv \,3\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p+1}}\right)\\[7mu]&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56821945f6557c7a2cfbc628adbb11516b4e135)