重心分割

数学において、重心分割は与えられた単体をより小さな単体に分割する標準的な方法です。これを単体複体に拡張することは、単体複体を改良する標準的な方法です。したがって、重心分割は代数位相幾何学において重要なツールです。

重心細分は単体複体に対する操作です。代数位相幾何学では、三角形分割によって元の空間を単体複体に置き換えることが便利な場合があります。この置き換えにより、組み合わせ不変量をオイラー特性として空間に割り当てることができます。位相空間で定義された連続関数を、単体上で線形で元のマップにホモトピックな関数に置き換える類似の方法があるかどうか尋ねることができます(単体近似も参照)。一般に、このような割り当てには、与えられた複体の改良、つまり、大きな単体をより小さな単体の和集合に置き換えることが必要です。このような改良を実現する標準的な方法は、重心細分です。さらに、重心細分はホモロジー群上のマップを誘導し、計算上の懸念に役立ちます。削除とMayer–Vietoris シーケンスを参照してください。

を幾何学的単体複体とする。複体とは、 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

• の各単体は、の単体に含まれる。${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• の各単体は、の単体の有限和である。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$

これらの条件は、集合としておよび位相空間として等しいが、単体構造のみが変化することを意味する。^[1]${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$

点 で張られる単体の場合、重心は点 と定義されます。 分割を定義するために、単体を、最大次元の単体 1 つだけ、つまり単体自体を含む単体複合体として考えます。 単体の重心分割は、その次元によって帰納的に定義できます。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle p_{0},...,p_{n}}$${\displaystyle b_{\Delta }={\frac {1}{n+1}}(p_{0}+p_{1}+...+p_{n})}$

点、つまり次元 0 の単体の場合、重心分割は点自体として定義されます。

次に、次元の単体について、次元の面 がすでに分割されていると仮定します。したがって、を覆う単体が存在します。重心分割は、 次元の最大単体がそれぞれ、 の1 組に対しての凸包である幾何学的単体複体として定義されるため、を覆う単体が存在することになります。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta_{i}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \Delta _{i,1},\;\Delta _{i,2}...,\Delta _{i,n!}}$${\displaystyle \Delta_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta _{i,j}\cup b_{\Delta }}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle i\in {0,...,n},\;j\in {1,...,n!}}$${\displaystyle (n+1)!}$${\displaystyle \Delta }$

単体がすべて最大次元の単一の単体に含まれていない単体複体、つまり、幾何学的に 1 つの単体に対応しない単体複体に対して、細分化を一般化することができます。これは、最大次元のすべての単体に対して上記の手順を同時に実行することで実行できます。その場合、帰納法は単体複体の番目のスケルトンに基づきます。これにより、細分化を複数回実行できます。^[2]${\displaystyle n}$

重心細分化の操作は、任意の次元の任意の凸多面体に適用でき、同じ次元の別の凸多面体を生成します。^[3]このバージョンの重心細分化では、多面体が単体複体を形成する必要はなく、単体ではない面を持つことができます。これは、全切断の双対操作です。^[4]重心細分化の頂点は、元の多面体のすべての次元の面に対応します。 2つの頂点が重心細分化で隣接しているとは、2つの異なる次元の面に対応し、低次元の面が高次元の面に含まれている場合です。重心細分化の面は単体であり、元の多面体の 旗に対応しています。

例えば、立方体や正八面体の重心分割は、二等辺十二面体です。^[5]二等辺十二面体の6次、4次、8次の頂点は、それぞれ立方体の頂点、辺、正方形の面に対応します。

単体をとし 、 と定義します。幾何学的単体複合体のメッシュを測定する 1 つの方法は、複合体に含まれる単体の最大直径を取ることです。 を、重心分割によって得られるの被覆から得られる - 次元単体とします。このとき、次の推定が成り立ちます。 ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {diam} (\Delta )=\operatorname {max} {\Bigl \{}\|ab\|_{\mathbb {R} ^{n}}\;{\Big |}\;a,b\in \Delta {\Bigr \}}}$${\displaystyle \Delta '}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \operatorname {diam} (\Delta ')\leq \left({\frac {n}{n+1}}\right)\;\operatorname {diam} (\Delta )}$したがって、重心分割を十分に頻繁に適用することで、最大辺を望みどおりに小さくすることができます。^[6]

ホモロジー理論のいくつかの命題では、単体複体を細分化で置き換えることが望まれます。単体ホモロジー群のレベルでは、元の単体複体のホモロジー群から細分化された複体の群への写像が必要です。実際、有限単体複体の任意の細分化に対して、ホモロジー群間の写像の一意のシーケンスが存在し、 写像内の各に対してが満たされ、写像が連鎖複体の自己準同型を誘導することが示されます。さらに、誘導された写像は同型です。細分化によって複体のホモロジーが変わることはありません。^[1]${\displaystyle {\mathcal {K'}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \lambda _{n}:C_{n}({\mathcal {K}})\rightarrow C_{n}({\mathcal {K'}})}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \lambda (\Delta )\subset \Delta }$

位相空間の特異ホモロジー群を計算するには、 が - 次元標準単体を表す連続関数を考える。単体ホモロジー群について説明したのと同様に、重心分割は特異鎖複体の自己準同型として解釈できる。ここでも、鎖を線型結合に送る分割演算子が存在し、その和は重心分割によるの被覆に現れるすべての単体にわたって、そしてそのような のすべてに対して実行される。この写像は鎖複体の自己同型も誘導する。^[7]${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda _{n}:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(X)}$${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$${\displaystyle \sum \varepsilon _{B_{\Delta }}\sigma \vert _{B_{\Delta }}}$${\displaystyle B_{\Delta }}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \varepsilon _{B_{\Delta }}\in \{1,-1\}}$${\displaystyle B_{\Delta }}$

重心分割は、単体近似定理のように単体複体全体に適用することも、幾何学的単体を分割するために使用することもできます。したがって、これは特異ホモロジー理論の記述にとって重要です。Mayer –Vietoris シーケンスと削除を参照してください。

、を集合、の上の抽象単体複体とします。単体写像は、の各単体を の単体に写す関数です。単体上のアフィン線型拡張により、 は複体の幾何学的実現の間の写像を誘導します。幾何学的複体内の各点は、そのサポートである 1 つの単体の内部にあります。ここで連続写像を考えます。 単体写像は、各がで ののサポートに写像される場合に限り、の単体近似であると言われています。このような近似が存在する場合、各単体上で定義することにより、に変換するホモトピーを構築できます。単体は縮約可能であるため、近似は常に存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle V_{K}}$${\displaystyle V_{L}}$${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$${\displaystyle g:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in {\mathcal {K}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

単体近似定理は、すべての連続関数に対して、少なくとも をその反復重心分割に置き換えることによる の改良後には単体近似が存在することを保証します。^[8]この定理は、例えばレフシェッツの不動点定理のように、代数位相幾何学における特定の命題において、連続写像の振る舞いを単体写像の振る舞いに還元するために重要な役割を果たします。${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

レフシェッツ数は、連続関数が不動点を許容するかどうかを調べるのに便利なツールです。このデータは次のように計算されます。と が有限三角分割を許容する位相空間であるとします。連続写像は、体 の係数を持つ単体ホモロジー群の間に準同型写像を誘導します。これらは - ベクトル空間間の線型写像であるため、トレースを決定でき、交代和を計算できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f_{i}:H_{i}(X,K)\rightarrow H_{i}(Y,K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle tr_{i}}$

${\displaystyle L_{K}(f)=\sum _{i}(-1)^{i}tr_{i}(f)\in K}$

は のレフシェッツ数と呼ばれます。 の場合、この数は のオイラー特性です。 不動点定理は、 の場合は常に不動点が存在することを述べています。証明では、まずこれが単体写像に対してのみ示され、次に近似定理によって任意の連続関数に対して一般化されます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f=id}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L_{K}(f)\neq 0}$${\displaystyle f}$

さて、ブラウワーの不動点定理はこの命題の特別な場合です。 を単位球の自己準同型とします。そのすべてのホモロジー群に対して は消え、 は常に恒等式なので、 の場合、不動点が存在します。^[9]${\displaystyle f:\mathbb {D} ^{n}\rightarrow \mathbb {D} ^{n}}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle H_{k}(\mathbb {D} ^{n})}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle L_{K}(f)=tr_{0}(f)=1\neq 0}$${\displaystyle f}$

マイヤー・ヴィエトリス列は特異ホモロジー群を計算するためによく使用され、位相幾何学における帰納的議論を生み出します。関連するステートメントは次のように定式化できます。

位相空間の開被覆とします。 ${\displaystyle X=A\cup B}$${\displaystyle X}$

正確な順序がある

${\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots }$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.}$

ここで、特異ホモロジー群を考慮し、 は埋め込み、はアーベル群の直和を表します。 ${\displaystyle i:A\cap B\hookrightarrow A,\;j:A\cap B\hookrightarrow B,\;k:A\hookrightarrow X,\;l:B\hookrightarrow X}$${\displaystyle \oplus }$

特異ホモロジー群の構成では、標準単体 上に定義された連続写像を考える。定理の証明において障害となるのは、その像が にも にも含まれない写像である。これは、細分演算子を使用して解決できる。このような写像の像を、またはに含まれるより小さな単体の像の和として考えると、包含によってホモロジー群を比較するために必要なホモロジー上の同型が誘導されることを示すことができる。^[10]${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\hookrightarrow C_{n}(X)}$

切除は相対ホモロジー群を決定するために使用できます。これにより、特定のケースではホモロジー群の位相空間のサブセットを忘れることができ、計算が簡単になります。

を位相空間とし、 を の部分集合とする。ここで はが閉じており となる。このとき、包含により、すべての に対して同型性が導かれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle Z\subset A\subset X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z\subset A^{\circ }}$${\displaystyle i:(X\setminus Z,A\setminus Z)\hookrightarrow (X,A)}$${\displaystyle H_{k}(X\setminus Z,A\setminus Z)\rightarrow H_{k}(X,A)}$${\displaystyle k\geq 0.}$

また、特異ホモロジーでは、写像が定理で言及されている部分集合の一部ではないような写像が現れることがある。同様に、それらは重心分割によって得られるより小さな単体の像の和として理解することができる。^[11]${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$