粒子群最適化

計算科学において、粒子群最適化（PSO）^{[ 1 ]}は、与えられた品質尺度に関して候補解の集団を反復的に改善することで問題を最適化する計算手法です。粒子と呼ばれる候補解の集団間の相互作用を通じて問題を解決し、各粒子の位置と速度を調整する単純な数式に従って探索空間内で粒子を移動させます。各粒子の動きは、これまでに判明している自身の最良の位置と、そのトポロジー近傍（指定されていれば集団全体を含む）における既知の最良の位置によって影響を受けます。より良い位置が見つかるとベクトルが更新されます。これにより、群れはより良い解に向かって移動することが期待されます。

PSOは元々ケネディとエバーハート^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}に帰属し、当初は鳥の群れや魚の群れにおける生物の動き、あるいは人間集団における態度の進化を様式化して表現するなど、社会的行動のシミュレーションを目的としていました^[⁴^]。社会的行動の原理のシミュレーションは、難しい数学的問題を解決できることが観察されました。ケネディとエバーハートの著書^[⁵^]では、PSOと群知能の多くの哲学的側面について説明しています。PSOの応用に関する広範な調査はポリによって行われています^[⁶^]^[⁷^]。2017年には、ボニャディとミハレヴィッチによってPSOの理論的および実験的研究に関する包括的なレビューが発表されました^[¹^{] 。}

PSOは、最適化対象の問題に関してほとんど、あるいは全く仮定を置かず、非常に広大な候補解空間を探索できるため、メタヒューリスティック手法と言えます。また、PSOは最適化対象の問題の勾配を用いないため、勾配降下法や準ニュートン法といった古典的な最適化手法のように、最適化問題が微分可能である必要はありません。ただし、PSOのようなメタヒューリスティック手法は、必ずしも最適解が見つかることを保証するものではありません。

アルゴリズム

PSOアルゴリズムの基本的なバリアントは、候補解（粒子と呼ばれる）の連結した集団（スウォームと呼ばれる）で初期化されます。候補解は、探索空間内の点の座標とみなせる数値のベクトルです。反復的に移動する点として、粒子として概念化できます。粒子は、いくつかの単純な式に従って探索空間内を移動します。^{[ 8 ]}各粒子には、接続されている近傍があり、近傍は他の集団メンバーのごく一部またはすべてである可能性があります。粒子の次の位置は、探索空間における自身のこれまでの最良位置と、その粒子の最良の近傍のこれまでの最良位置によって確率的に決定されます。目的関数でより良い結果をもたらす改善された位置が発見されると、粒子のこれまでの最良位置が更新されます。このプロセスが繰り返され、そうすることで、最終的に満足のいく解が発見されることが期待されますが、保証されるわけではありません。

形式的には、f : ℝ ⁿ → ℝ を最小化すべきコスト関数とする。この関数は、実数のベクトル形式の候補解を引数として受け取り、与えられた候補解の目的関数値を示す実数を出力として生成する。fの勾配は未知である。目標は、探索空間内のすべてのbに対してf ( a ) ≤ f ( b )を満たす解aを見つけることであり、これはaがグローバル最小値であることを意味する。

S を群れの中の粒子の数とし、各粒子は探索空間内で位置 x i ∈ ℝ n を持ち、速度v _i ∈ ^ℝ n_を持つ^とする。p _{i を粒子}iの既知の最良位置とし、g を粒子の近傍の既知の最良位置とする。コスト関数を最小化する基本的な PSO アルゴリズムは次のようになる。^{[ 9 ]}

各粒子i  =  1,  ..., Sに対して 、粒子の位置を一様分布の乱数ベクトルで初期化します: x _i ~ U ( b _lo , b _up )     粒子の既知の最良位置を初期位置に初期化します: p _i  ← x _iif f ( p _i ) < f ( g ) then スウォームの既知の最良位置を更新します: g ← p _i 粒子の速度を初期化します: v _i ~ U (-| b _up - b _lo |, | b _up - b _lo |) 終了条件が満たされるまで、以下を実行します: 各粒子i = 1, ..., Sについて、以下を実行します各次元d = 1, ..., nについて、以下を実行します 乱数を選択します: r _p、r _g ~ U (0,1)               粒子の速度を更新します: v _i,d  ←  w v _i,d + φ _pr _p ( p _i,d - x _i,d ) + φ _gr _g ( g _d - x _i,d ) 粒子の位置を更新します: x _i  ← x _i + v _if ( x _i ) < f ( p _i )の場合、 粒子の既知の最良位置を更新します: p _i ← x _if ( p _i ) < f ( g )の場合、 群れの既知の最良位置を更新します: g ← p _i

値b _loとb _{up は、}それぞれ探索空間の下限と上限を表します。パラメータ w は慣性重みです。パラメータ φ _p と φ _gは、認知係数と社会係数と呼ばれることがよくあります。

終了基準は、実行された反復回数、または適切な目的関数値が見つかった解のいずれかになります。^{[ 10 ]}パラメータ w、φ _p、φ _gは実践者によって選択され、PSO メソッドの動作と有効性を制御します (下記参照)。

パラメータ選択

PSO パラメータの選択は最適化のパフォーマンスに大きな影響を与える可能性があります。そのため、優れたパフォーマンスをもたらす PSO パラメータの選択は、多くの研究の対象となってきました。^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}

発散（「爆発」）を防ぐには、慣性重みは 1 より小さくなければなりません。他の 2 つのパラメータは、収縮アプローチ^{[ 16 ]}によって導出することも、自由に選択することもできますが、解析では収束領域を制約することが示唆されています。典型的な値は次のとおりです。 $[1,3]$ 。

PSO パラメータは、メタ最適化と呼ばれる別のオーバーレイ最適化器を使用して調整することもでき、^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}ファジー論理などを使用して最適化中に微調整することもできます。^{[ 24 ]}^{[ 25 ]}

パラメータはさまざまな最適化シナリオに合わせて調整されています。^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}

近隣地域とトポロジー

群れのトポロジーは、各粒子が情報を交換できる粒子のサブセットを定義します。^{[ 28 ]}アルゴリズムの基本バージョンは、群れの通信構造としてグローバルトポロジーを使用します。^{[ 10 ]}このトポロジーでは、すべての粒子が他のすべての粒子と通信できるため、群れ全体が単一の粒子から同じ最良位置g を共有します。ただし、このアプローチでは群れが局所的最小値に陥る可能性があるため、^{[ 29 ]}粒子間の情報の流れを制御するためにさまざまなトポロジーが使用されています。たとえば、ローカルトポロジーでは、粒子は粒子のサブセットとのみ情報を共有します。^{[ 10 ]}このサブセットは、幾何学的なもの^{[ 30 ]}（たとえば「最も近いm個の粒子」）または、より一般的には、社会的、つまり距離に依存しない粒子のセットである場合があります。このような場合、PSO のバリアントは、ローカルベスト (基本 PSO のグローバルベストとは対照的) であると言われます。

一般的に使用される群れのトポロジーはリングであり、各粒子は2つの隣接粒子しか持たないが、他にも多数存在する。^{[ 10 ]}トポロジーは必ずしも静的ではない。実際、トポロジーは粒子の通信の多様性に関係しているため、^{[ 31 ]}適応型トポロジーを作成するためのいくつかの取り組みが行われている（SPSO、^{[ 32 ]} APSO、^{[ 33 ]}ストキャスティックスター、^{[ 34 ]} TRIBES、^{[ 35 ]}サイバースウォーム、^{[ 36 ]}およびC-PSO ^{[ 37 ]}）。

リングトポロジーを使用することで、PSOは世代レベルの並列性を実現し、進化速度を大幅に向上させることができる。^{[ 38 ]}

内部構造

PSOアルゴリズムが最適化を実行できる理由と方法については、いくつかの学説が存在する。

システムが反復処理を繰り返し、個々の粒子が周囲の粒子から学習するにつれて、探索空間における粒子と周囲の粒子との距離は小さくなる傾向があります。そのため、式中の「p」と「g」の項は互いに近づき、群れが発見された最適領域に収束するにつれて、粒子は探索空間をより短いステップで移動します。探索の後半で新たな最適領域が発見された場合、アルゴリズムは探索的な動作に戻り、粒子が新たな発見に適応するにつれて再び大きなステップを踏み、徐々に最適領域に収束または集積していきます。

単一粒子の挙動は概念化しやすいが、粒子自体には最適化能力がまったくなく、群れの挙動は理解するのがより難しい。研究者の間では、群れの挙動は探索的挙動、つまり探索空間のより広い領域を探索することと、活用的挙動、つまり（おそらく局所的な）最適解に近づくための局所指向の探索の間で変化するという考え方が一般的である。この考え方はPSOの誕生以来広く普及している。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 12 ]}^{[ 16 ]}この考え方では、PSOアルゴリズムとそのパラメータは、局所最適解への早期収束を避けつつ、最適解への良好な収束率を確保するために、探索と活用のバランスを適切に取るように選択する必要があると主張している。この考え方は、多くのPSOバリアントの先駆けとなっている（下記参照）。

別の考え方としては、PSO群の挙動が実際の最適化性能にどのように影響するか、特に高次元の探索空間や、不連続性、ノイズ、時間変動を伴う可能性のある最適化問題においては、十分に理解されていないというものがあります。この考え方では、探索や活用といった観点から群の挙動をどのように解釈するかに関わらず、良好な性能をもたらすPSOアルゴリズムとパラメータを見つけようとします。このような研究は、PSOアルゴリズムの簡略化につながりました（下記参照）。

収束

PSOに関して言えば、「収束」という言葉は通常、2つの異なる定義を指す。

解のシーケンスの収束（別名、安定性解析、収束）とは、すべての粒子が探索空間内の1点に収束することであり、その点は最適解である場合もそうでない場合もある。
群の行動に関係なく、すべての個人ベストpまたは群の既知のベスト位置gが問題の局所最適値に近づく局所最適値への収束。

PSO の解のシーケンスの収束が調査されています。^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}これらの分析により、PSO パラメータを選択するためのガイドラインが生まれました。このガイドラインは、ある点への収束を引き起こし、群れの粒子の発散を防ぐと考えられています (粒子は無限に移動せず、どこかに収束します)。しかし、これらの分析は、^群れには粒子が 1 つしかないこと、確率変数を使用しないこと、吸引点、つまり粒子の既知の最良位置 p と群れの既知の最良位置 g が最適化プロセス全体を通して一定であると仮定しているため、過度に単純化されているとして^Pedersen [ ²² ]から批判されました。しかし、これらの単純化は、これらの研究によって見つかった、群れが収束するパラメータの境界に影響を与えないことが示されました^{[ 39 ]}。近年、PSOの安定性解析で用いられるモデリング仮定を弱めるための相当な努力がなされており、^{[ 40 ]}最新の一般化された結果は多数のPSOバリアントに適用され、最小限必要なモデリング仮定であることが示されたものを使用している。^{[ 41 ]}

PSOの局所最適解への収束は^{[ 42 ]および}^{[ 43 ]}で分析されている。PSOが局所最適解を見つけることを保証するには、何らかの修正が必要であることが証明されている。

これは、異なる PSO アルゴリズムとパラメータの収束能力の決定が依然として経験的結果に依存していることを意味します。この問題に対処する試みの 1 つは、 pとgの関係に既に存在する情報をより良く利用して、主要な収束例を形成し、あらゆる PSO トポロジーで効果を発揮する「直交学習」戦略の開発です。その目的は、より速いグローバル収束、より高い解の品質、より強力な堅牢性など、PSO 全体のパフォーマンスを向上させることです。^{[ 44 ]}しかし、このような研究は、実際にその主張を証明する理論的証拠を提供していません。

適応メカニズム

収束（「活用」）と発散（「探索」）のトレードオフを必要としないため、適応メカニズムを導入できます。適応型粒子群最適化（APSO）^{[ 45 ]}は、標準PSOよりも優れた探索効率を特徴としています。APSOは、より高い収束速度で探索空間全体にわたってグローバル探索を実行できます。実行時に慣性重み、加速度係数、およびその他のアルゴリズムパラメータを自動的に制御できるため、探索の有効性と効率を同時に向上させることができます。また、APSOはグローバルに最良の粒子に作用して、可能性のある局所最適解から抜け出すことができます。ただし、APSOは新しいアルゴリズムパラメータを導入しますが、追加の設計や実装の複雑さを導入することはありません。

さらに、PSOはスケール適応型適合度評価メカニズムを利用することで、計算コストの高い最適化問題を効率的に解決できる。^{[ 46 ]}

バリエーション

基本的なPSOアルゴリズムでさえ、数多くのバリエーションが考えられます。例えば、粒子と速度の初期化方法（例えば、速度をゼロから始める）、速度の減衰方法、群れ全体の更新後にのみp _iとgを更新する方法などがあります。これらの選択肢の一部とそのパフォーマンスへの影響については、文献で議論されています。^{[ 14 ]}

一連の標準実装は、主要な研究者によって作成されており、「技術の改善の性能テストのベースラインとして使用することと、より広範な最適化コミュニティにPSOを紹介することの両方を目的としています。よく知られた厳密に定義された標準アルゴリズムを持つことで、研究分野全体で新しい進歩をより良くテストするために使用できる貴重な比較ポイントが提供されます。」^{[ 10 ]}最新のものはStandard PSO 2011（SPSO-2011）です。^{[ 47 ]}

さらに、1000 次元を超える大規模グローバル最適化 (LSGO) 問題を解決するために、いくつかの PSO バリアントが開発されています。代表的なバリアントには、競合群最適化 (CSO) とレベルベース学習群最適化 (LLSO) があります。^{[ 48 ]}最近では、PSO は、適応型内部および外部学習を備えたマルチエージェント合意ベース PSO (MASOIE)など、マルチエージェント合意ベース分散最適化問題を解決するためにも拡張されています。^{[ 49 ]}

ハイブリダイゼーション

最適化パフォーマンスを向上させるために、より高度で洗練されたPSOのバリアントも継続的に導入されています。この研究にはいくつかの傾向があり、1つはPSOと他の最適化手法を組み合わせたハイブリッド最適化手法を作成することです^{[ 50 ]}^{[ 51 ]}^{[ 52 ]。}たとえば、PSOと生物地理学ベースの最適化を組み合わせたもの^{[ 53 ]}、および効果的な学習手法を組み込むことです^{[ 44 ] 。}

早期収束を緩和する

別の研究動向としては、PSO粒子の動きを反転または摂動させることで、早期収束（つまり最適化の停滞）を緩和しようとする試みがある。^{[ 19 ]}^{[ 54 ]}^{[ 55 ]}^{[ 56 ]}早期収束に対処する別のアプローチは、複数の群れの使用である^{[ 57 ]}（マルチスウォーム最適化）。マルチスウォームアプローチは、多目的最適化の実装にも使用できる。^{[ 58 ]}最後に、最適化中にPSOの行動パラメータを適応させる開発が行われている。^{[ 45 ]}^{[ 24 ]}

簡略化

別の考え方としては、PSO のパフォーマンスを損なうことなく、可能な限り単純化すべきであるというものがあります。これは、オッカムの剃刀と呼ばれる一般的な概念です。PSO の単純化は、もともとケネディ^{[ 4 ]}によって提案され、その後より広範囲に研究され^{[ 18 ]}^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}^{[ 59 ]}、最適化のパフォーマンスが向上し、パラメータの調整が容易になり、さまざまな最適化問題でより一貫したパフォーマンスが得られることが明らかになりました。

PSOを簡略化することを支持するもう1つの論拠は、メタヒューリスティクスの有効性は、有限個の最適化問題に対して計算実験を行うことによってのみ経験的に実証できるという点です。これは、PSOのようなメタヒューリスティクスが正しいことを証明できないことを意味し、その記述と実装において誤りを犯すリスクが高まります。この良い例として^{[ 60 ]}は、遺伝的アルゴリズム（別の一般的なメタヒューリスティクス）の有望な変種を提示しましたが、後に、探索空間の異なる次元に対して類似した値に最適化探索が強く偏っていることが判明し、それが検討されたベンチマーク問題の最適値であったため、欠陥があることがわかりました。この偏りはプログラミングエラーによるもので、現在は修正されています。^{[ 61 ]}

ベアボーンズPSO

速度の初期化には追加の入力が必要になる場合があります。Bare Bones PSO バリアント^{[ 62 ]}は、2003 年に James Kennedy によって提案されており、速度をまったく使用する必要はありません。

このPSOのバリアントでは、粒子の速度を無視し、代わりに次の単純なルールを使用して粒子の位置を更新します。

{\vec {x}}_{i}=G\left({\frac {{\vec {p}}_{i}+{\vec {g}}}{2}},||{\vec {p}}_{i}-{\vec {g}}||\right)\,,

どこ ${\vec {x}}_{i}$ 、 ${\vec {p}}_{i}$ は粒子の位置と最適位置です。 $i$ ; ${\vec {g}}$ 世界最高のポジションです。 $G({\vec {x}},\sigma )$ は平均が正規分布である ${\vec {x}}$ 標準偏差 $\sigma$ ; そして、 $||\dots ||$ ベクトルのノルムを表します。

加速型粒子群最適化

もう一つのよりシンプルなバリアントは、加速粒子群最適化（APSO）^{[ 63 ]}で、これも速度を使用する必要がなく、多くのアプリケーションで収束を高速化できます。APSOの簡単なデモコードが利用可能です。^{[ 64 ]}

このPSOのバリアントでは、粒子の速度と粒子の最良位置の両方を省略します。粒子の位置は次のルールに従って更新されます。

{\vec {x}}_{i}\leftarrow (1-\beta ){\vec {x}}_{i}+\beta {\vec {g}}+\alpha L{\vec {u}}\,,

どこ ${\vec {u}}$ は一様分布するランダムベクトルであり、 $L$ は、対象となる問題の典型的な長さであり、 $\beta \sim 0.1-0.7$ そして $\alpha \sim 0.1-0.5$ これらはメソッドのパラメータです。メソッドの改良として、以下を減らすことができます。 $\alpha$ 各反復で、 $\alpha _{n}=\alpha _{0}\gamma ^{n}$ 、どこ $n$ は反復回数であり、 $0<\gamma <1$ これは減少制御パラメータです。

多目的最適化

PSOは多目的問題にも適用されており、^{[ 65 ]}^{[ 66 ]}^{[ 67 ]}ではPSO粒子の移動時に目的関数の比較でパレート優位性が考慮され、非劣解が保存されてパレートフロンティアを近似します。

バイナリ、離散、組み合わせ

上記のPSO方程式は実数で機能するため、離散問題を解決する一般的な方法は、離散探索空間を連続領域にマッピングし、古典的なPSOを適用し、結果をデマップすることです。このようなマッピングは非常に単純なもの（例えば、丸めた値を使用するだけ）から、より高度なものまであります。^{[ 68 ]}

しかしながら、運動方程式では、以下の4つの動作を実行する演算子が用いられていることに留意すべきである。

2つの位置の差を計算する。その結果は速度（より正確には変位）である。
速度に数値係数を掛ける
2つの速度を加算する
位置に速度を適用する

通常、位置と速度はn 個の実数で表され、これらの演算子は単純に -、*、+、そして再び + です。しかし、これらの数学的オブジェクトはすべて、バイナリ問題 (またはより一般的には離散問題) や組み合わせ問題に対処するために、まったく異なる方法で定義できます。^{[ 69 ]}^{[ 70 ]}^{[ 71 ]}^{[ 72 ]} 1 つのアプローチは、集合に基づいて演算子を再定義することです。^{[ 73 ]}

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外部リンク

Particle Swarm Centralは、PSOに関する情報のリポジトリです。いくつかのソースコードは無料で公開されています。
粒子群が3つのベンチマーク関数を最適化する様子を捉えた短い動画。
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PSOの応用例。
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