分数計画法

数学的最適化において、分数計画法は線形分数計画法の一般化です。分数計画法の目的関数は、一般に非線形である 2 つの関数の比です。最適化される比率は、多くの場合、システムの何らかの効率を表します。

を集合 上で定義された実数値関数とする。 とする。非線形計画法${\displaystyle f,g,h_{j},j=1,\ldots ,m}$${\displaystyle \mathbf {S} _{0}\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {S} =\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}:h_{j}({\boldsymbol {x}})\leq 0,j=1,\ldots ,m\}}$

${\displaystyle {\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} }{\text{maximize}}}\quad {\frac {f({\boldsymbol {x}})}{g({\boldsymbol {x}})}},}$

ここで、 は分数計画法と呼ばれます。 ${\displaystyle g({\boldsymbol {x}})>0}$${\displaystyle \mathbf {S} }$

fが非負かつ凹、gが正かつ凸、Sが凸集合である分数計画は、凹分数計画と呼ばれます。gがアフィンの場合、fは符号に制限される必要はありません。線形分数計画は、すべての関数がアフィンである凹分数計画の特殊なケースです。 ${\displaystyle f,g,h_{j},j=1,\ldots ,m}$

関数はS上で半厳密に準凹です。fとgが微分可能であれば、q は擬似凹です。線形分数計画法では、目的関数は擬似線型です。 ${\displaystyle q({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})/g({\boldsymbol {x}})}$

変換により、任意の凹分数計画は、同等のパラメータフリー凹計画に変換できる^[1]${\displaystyle {\boldsymbol {y}}={\frac {\boldsymbol {x}}{g({\boldsymbol {x}})}};t={\frac {1}{g({\boldsymbol {x}})}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {{\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\in \mathbf {S} _{0}}{\text{最大化}}}\quad &tf\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\\{\text{subject to}}\quad &tg\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\leq 1,\\&t\geq 0.\end{aligned}}}$

gがアフィンの場合、最初の制約は に変更され、 gが正であるという仮定は削除される可能性があります。また、 に簡略化されます。 ${\displaystyle tg({\frac {\boldsymbol {y}}{t}})=1}$${\displaystyle g({\boldsymbol {y}})=1}$

等価凹プログラムのラグランジアン双対は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\boldsymbol {u}}{\text{最小化}}}\quad &{\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}}{\operatorname {sup} }}{\frac {f({\boldsymbol {x}})-{\boldsymbol {u}}^{T}{\boldsymbol {h}}({\boldsymbol {x}})}{g({\boldsymbol {x}})}}\\{\text{subject to}}\quad &u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m.\end{aligned}}}$

• Avriel, Mordecai; Diewert, Walter E.; Schaible, Siegfried; Zang, Israel (1988).一般化された凹面。Plenum Press。
• シャイブレ、ジークフリート (1983)。 「分数プログラミング」。オペレーションズリサーチの時代。27：39～54。土井：10.1007/bf01916898。S2CID  28766871。