n乗根

数学において、数xのn乗根とは、 n回自身を掛け合わせるとxになる数rのことである。 $${\displaystyle r^{n}=\underbrace {r\times r\times \dotsb \times r} _{n{\text{ factors}}}=x.}$$正の整数nは指数または次数と呼ばれ、根号の対象となる数x は被開根数と呼ばれます。次数が 2 の根は平方根、次数が 3 の根は立方根と呼ばれます。次数が高い根は、 4 乗根、20 乗根などのように序数を用いて表されます。n乗根の計算は根号抽出と呼ばれます。

xの n 乗根は次のように表されます。$\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$根号記号を使用する${\displaystyle {\sqrt {\phantom {x}}}}$平方根は通常次のように表記されます。$\displaystyle {\sqrt {x}}}$⁠、次数は省略。固定された数に対してn乗根を取る⁠${\displaystyle n}$は、数をn乗することの逆数であり、 ^{[ 1 ]}分数指数として表すことができます。

$$\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}$$

正の実数xに対して、$\displaystyle {\sqrt {x}}}$はxの正の平方根を表し、$\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$は正の実数n乗根を表します。例えば、3は9の平方根です。なぜなら^、3² = 9だからです。また、−3も9の平方根です。なぜなら、(−3) ^² = 9だからです。^{[ 2 ]}負の実数−xには実数値の平方根はありませんが、xを複素数として扱うと、2つの虚数平方根を持ちます。${\displaystyle +i{\sqrt {x}}}$そして​​${\displaystyle -i{\sqrt {x}}}$ここでiは虚数単位です。

一般に、ゼロでない複素数は、絶対値が一定の複素円上に等しく分布する、n個の異なる複素数値のn乗根を持ちます。（0のn乗根は重複度nのゼロであり、この円は一点に縮退します。）したがって、複素数xのn乗根を求めることは、多価関数と考えることができます。慣例として、この関数の主値は主根と呼ばれ、 と表記されます。$\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$は、実部が最大のn乗根とみなされ、 x が負の実数である特別な場合には、虚部が正の根とみなされます。したがって、正の実数の主根も正の実数です。関数として、主根は負の実軸に沿ってを除いて、複素平面全体で連続です。1 のn乗根は単位根と呼ばれ、数論、方程式論、フーリエ変換など、数学のさまざまな分野で基本的な役割を果たします。

未解決の根号、特に根号記号を使用した根号は、無理数^{[ 3 ]}または根号^{[ 4 ]}と呼ばれることがあります。平方根、立方根、またはそれ以上の根号を含む式はすべて根号式と呼ばれ、超越関数や超越数を含まない場合は代数式と呼ばれます。

紀元前1800年頃、バビロニア人は粘土板に√2などの無理数の近似値を記し、 YBC 7289の粘土板のように小数点以下6桁に相当する精度を示していた。^{[ 5 ]}ラルサの楔形文字粘土板には、整数の平方根と立方根の表が含まれている。^{[ 6 ]} √2の無理性を最初に証明したのは、おそらくピタゴラス派のヒッパソスであろう。^{[ 7 ]}プラトンは『テアイテトス』の中で、キュレネのテオドロス（紀元前400年頃）が√2の無理性を証明した経緯を述べている。$\displaystyle {\sqrt {3}}}$、$\displaystyle {\sqrt {5}}}$など$\displaystyle {\sqrt {17}}}$[ ^{8 ]}紀元1世紀、アレクサンドリアのヘロンは平方根を計算する反復法を考案したが、これは実際にはより一般的なニュートン法の特殊なケースで^ある。^{[ 9 ]}

「無理数」という用語は、アル・フワーリズミー（825年頃）に遡り、彼は有理数と無理数をそれぞれ「聞こえる数」と「聞こえない数」と呼んだ。これが後に、アラビア語で「無理数」を意味するأصم（asamm 、「耳が聞こえない」または「口がきけない」という意味）がラテン語でsurdus（「耳が聞こえない」または「口がきけない」という意味）と翻訳されるきっかけとなった。ジェラール・ド・クレモナ（1150年頃）、フィボナッチ（1202年）、そしてロバート・レコード（1551年）は皆、「未解決の無理根」、つまり次の形式の式を指すのにこの用語を用いた。$\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$その中で${\displaystyle n}$そして${\displaystyle r}$は整数であり、式全体は無理数を表します。^{[ 10 ]}の形の無理数は${\displaystyle \pm {\sqrt {a}},}$どこ${\displaystyle a}$は有理数であり、「純粋な二次無理数」と呼ばれます。 の形の無理数は ${\displaystyle a\pm {\sqrt {b}}}$、 どこ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$有理数であり、混合二次根号と呼ばれる。^{[ 11 ]} n乗根を取る操作を表す 15 世紀後半の古語はradicationであり、^{[ 12 ] [ 13 ]}未解決の根はradicalである。^{[ 4 ]}

14世紀、ジャムシード・アル＝カシは、現在ルフィニ＝ホーナー法と呼ばれる反復法を用いて、任意のnに対するn乗根を求めた。この手法は古代から平方根を求めるために用いられ、その後、10世紀には中国とクシュヤル・イブン・ラッバンに​​よって立方根を求めるために用いられた。 ^{[ 14 ]} 1665年、アイザック・ニュートンは、 n乗根を無限級数に変換できる一般二項定理を発見した。^{[ 15 ]}フランソワ・ヴィエトが開発した手法に基づき、ニュートンは、次の形式の非線形関数を解くための反復法を考案した。${\displaystyle f(x)=0}$これはn乗根を抽出するために使用できます。この手法はジョセフ・ラフソンによってさらに改良され、ニュートン・ラフソン法として知られるようになりました。^{[ 16 ]} 1690 年、ミシェル・ロールは記法を導入しました。$\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$値aのn乗根の場合。^{[ 17 ]}

1629年、アルベール・ジラールは代数学の基本定理を提唱したが、証明はできなかった。^{[ 18 ]}この定理は、 n次のすべての1変数多項式はn個の根を持つと述べている。^{[ 19 ]}さらに、複素係数を持つ多項式は少なくとも1つの複素根を持つ。同様に、この定理は複素数の体が代数的に閉じていると述べている。18世紀と19世紀に証明に取り組んだ著名な数学者には、ダランベール、ガウス、ボルツァーノ、ワイエルシュトラスなどがおり、ガウスが最初に正しい証明を行ったと一般的に考えられている。この証明の結果、実数または複素数の任意のn乗根は複素平面上にあることになる。^{[ 20 ] [ 21 ]}

古代ギリシャの数学者たちは、単位長さの補助線が与えられたときに、コンパスと定規を使って、与えられた長さの平方根に等しい長さを作図する方法を知っていました。1837年にピエール・ワンツェルは、 nが2のべき乗でない場合、与えられた長さのn乗根は作図できないことを証明しました。 ^{[ 22 ]}

−1の4乗根は4つあるが、いずれも実数ではない。

−1の3乗根は3つあり、そのうちの1つは負の実数である。

数xのn 乗根 ( nは正の整数)とは、n乗するとxになるn個の実数または複素数rのいずれかのことである。

$${\displaystyle r^{n}=x.}$$

すべての正の実数xには、主n乗根と呼ばれる単一の正のn乗根があり、それは次のように表されます。$\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$[ ^{23 ]} nが 2 の場合^、これは主平方根と呼ばれ、 nは省略されます。n乗根は、指数法を使用してx ^1/nと表すこともできます。^{[ 2 ]}

nが偶数の場合、正の数は負のn乗根を持ちますが、負の数は実数のn乗根を持ちません。nが奇数の場合、すべての負の数x は実数の負のn乗根を持ちます。^{[ 23 ]}例えば、−2 は実数の 5 乗根を持ちます。$\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots }$しかし、−2には実数の6乗根は存在しない。

ゼロでない数x は、実数でも複素数でも、n個の異なる複素数のn乗根を持ちます。^{[ 24 ]} ( xが実数の場合、この数には実数のn乗根も含まれます。) 0 の唯一の複素根は 0 です。

ほとんどすべての数（ n乗を除くすべての整数、および 2 つのn乗の商を除くすべての有理数）のn乗根は無理数です。^{[ 25 ]}例えば、

$$\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562\ldots }$$

有理数のn乗根はすべて代数的数であり、整数のn乗根はすべて代数的整数である。

平方根

数xの平方根とは、 2 乗するとxになる数rのことである。

$$\displaystyle r^{2}=x.}$$

すべての正の実数には、正と負の2つの平方根があります。たとえば、25の2つの平方根は5と-5です。正の平方根は主平方根とも呼ばれ、^{[ 2 ]}根号で表されます。

$$\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}$$

すべての実数の二乗は非負であるため、負の数は実数の平方根を持ちません。^{[ 26 ]}ただし、すべての負の実数には、2 つの虚数の平方根があります。たとえば、-25 の平方根は 5i と -5i であり、 iは二乗すると-1になる数を表します。

立方根

数xの立方根とは、その立方数がxになる数rのことである。

$$\displaystyle r^{3}=x.}$$

すべての実数xには、ちょうど 1 つの実数立方根が存在し、^{[ 2 ]}と表記されます。$\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$。 例えば、

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{8}}&=2\\{\sqrt[{3}]{-8}}&=-2.\end{aligned}}}$$

すべての実数には、2 つの複素立方根が追加で存在します。^{[ 27 ] [ 28 ]}

n乗根の次数を指数形式で表すと、次のようになります。${\displaystyle x^{1/n}}$力と根源を操りやすくします。${\displaystyle a}$は非負の実数である、^{[ 26 ]}

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.}$$

すべての非負の数は、ちょうど 1 つの非負の実数n乗根を持ち、したがって、非負の根号を含む無理数の演算の規則は、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$実数内では単純明快です: ^{[ 26 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{整列}}}$$

負の数や複素数のn乗根を求める際には、微妙な問題が生じる可能性があります。例えば、次のようになります。

$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad }$$

しかし、むしろ、

$${\displaystyle \quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.}$$

ルール以来${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}$厳密には非負の実数被開平数の場合にのみ成り立ち、その適用により上記の最初のステップの不等式が得られます。^{[ 29 ]}

入れ子になっていない根号式は、被開根数の因数が指数以上のべき乗として表せない場合、根号の中に分数が含まれない場合、分母に根号がない場合に簡略化された形式であると言われます。^{[ 30 ]}

例えば、根号式を書くには${\displaystyle \textstyle {\sqrt {32/5}}}$簡略化すると、次のように進めることができます。まず、平方根記号の下にある完全平方数を探して取り除きます。

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {32}{5}}}={\sqrt {\frac {16\cdot 2}{5}}}={\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{5}}}=4{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$$

次に、根号の中に分数があるので、それを次のように変換します。

$${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}$$

最後に、分母から根号を取り除きます。手順は以下のとおりです。

$${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}$$

分母に無理数が含まれる場合、分子と分母の両方に掛ける因数を見つけて式を簡略化することは常に可能です。^{[ 31 ] [ 32 ]}例えば、2つの立方数の和の因数分解を用いると次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.}$$

入れ子になった根号を含む式を簡略化するのは、非常に難しい場合があります。特に、入れ子を解除することは常に可能とは限らず、可能な場合でも、高度なガロア理論が必要になることがあります。さらに、完全な入れ子解除が不可能な場合、 2つの数の等価性を、それらの標準形を見るだけで判定できるような一般的な標準形は存在しません。

例えば、

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}.}$$

上記は以下を通じて導き出すことができる。

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}}$$

させて${\displaystyle r=p/q}$pとqは互いに素で正の整数である。${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}}$が合理的であるのは、両方が${\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}}$そして${\displaystyle {\sqrt[{n}]{q}}}$これらは整数であり、つまりpとqはどちらも何らかの整数のn乗である。

根号または根は、一般化二項定理によって表すことができる。

$${\displaystyle (1+x)^{s/t}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}\left({\frac {s}{t}}-k\right)}$$

と${\displaystyle |x|<1}$この式は二項級数から導き出すことができる。^{[ 33 ]} n乗根の場合、これは次のようになる。

$${\displaystyle (1+x)^{\frac {1}{n}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}\left({\frac {1}{n}}-k\right)}$$

数字の場合${\displaystyle r\geq 2}$値を選択してください${\displaystyle p}$そのため

$${\displaystyle {\frac {r}{p^{n}}}-1=x',{\text{ where }}|x'|<1}$$

そして上記のように解く

$${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}=p(1+x')^{\frac {1}{n}}}$$

例えば、${\displaystyle r=30}$そして${\displaystyle n=2}$、 選ぶ${\displaystyle p=5}$^{[ 33 ]}

$${\displaystyle {\frac {30}{5^{2}}}-1={\frac {5}{25}}=.2}$$

$${\displaystyle {\sqrt {30}}=5{\sqrt {1+.2}}=5\left[1+{\frac {1}{2}}(.2)^{1}-{\frac {1}{8}}(.2)^{2}+{\frac {1}{16}}(.2)^{3}-\cdots \right]\approx 5.4775}$$

N乗根は、根判定法でべき級数の収束をチェックするために使用されます。^{[ 34 ]}

0以外のすべての複素数はn個の異なるn乗根を持つ。^{[ 24 ]}

平方根

複素数の 2 つの平方根は常に互いに負の値になります。[ 40 ^{]例えば、} −4の平方根は2iと−2iであり、 iの平方根は

$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).}$$

複素数を極形式で表すと、半径の平方根を取って角度を半分にすることで平方根が得られます。^{[ 41 ]}

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.}$$

複素数の主根は、例えば、さまざまな方法で選択できます。

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}}$$

これは、0 ≤ θ < 2 πの条件で正の実軸に沿って、または− π < θ ≤ πの条件で負の実軸に沿って複素平面に分岐カットを導入します。        

最初の（最後の）枝を使用して主平方根を切り取ります${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {z}}}$地図${\displaystyle \scriptstyle z}$非負の虚部（実部）を持つ半平面へ。最後の分岐カットは、MatlabやScilabなどの数式処理ソフトウェアで前提とされています。

団結の根源

複素平面上では、数 1 はn個の異なるn乗根を持ちます。 ^{[ 24 ]}すなわち、

$${\displaystyle 1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},}$$

どこ

$${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).}$$

これらの根は複素平面上の単位円の周囲に等間隔に配置され、角度は${\displaystyle 2\pi /n}$例えば、1の平方根は1と-1であり、1の4乗根は1、${\displaystyle i}$−1、${\displaystyle -i}$この対称性により、1のn乗根の和はゼロになる。^{[ 42 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{{\frac {2\pi i}{n}}k}=0}$$

n乗根

すべての複素数は複素平面上にn個の異なるn乗根を持つ。 ^{[ 24 ]}これらは

$${\displaystyle \eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},}$$

ここで、^{ηは単一のn乗根であり、1、ω、ω2、...ωn-1}は1のn乗根である。したがって、^これらはすべて同じスカラーηで乗算されるだけなので、 n乗根の合計はゼロになる。 ^{[ 42 ]}例えば、2の4つの異なる4乗根は次のようになる。    

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.}$$

極形式では、デモワブルの定理から単一のn乗根を求めることができます。^{[ 43 ]}

$${\displaystyle z^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}=r^{\frac {1}{n}}\cdot \left(\cos \left({\frac {\theta }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\theta }{n}}\right)\right)}$$

ここでrは根を求める数の大きさ（絶対値とも呼ばれる）です。数が次のように書ける場合${\displaystyle a+ib}$それから${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.${\displaystyle \theta }$は、原点を中心として正の水平軸から反時計回りに回転し、原点から数値に向かう光線に形成される角度です。その性質は次のとおりです。

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{r}},\sin \theta ={\frac {b}{r}},{\text{ and }}\tan \theta ={\frac {b}{a}}.}$

したがって、複素平面でn乗根を求めることは 2 つのステップに分けられます。まず、すべてのn乗根の大きさは、元の数の大きさのn乗根です。次に、正の水平軸と原点からn乗根のいずれかへの光線との間の角度は、${\displaystyle \theta /n}$、 どこ${\displaystyle \theta }$は、根を取る数に対して同じように定義される角度です。さらに、n乗根のn 個すべてが互いに等間隔の角度にあることは、n乗根定理^{[ 44 ]によって証明されています。}

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}\cdot \left(\cos \left({\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)\right){\text{ for }}k=0,1,2,\ldots ,n-1.}$

nが偶数の場合、複素数のn乗根（偶数個）は加法逆元ペアで存在するため、数r _1がn乗根の 1 つであれば、 r ₂ = − r _{1も n 乗根になります。これは、} nが偶数の場合、後者の係数 −1 をn乗すると1 になるためです。つまり、(− r ₁ ) ⁿ = (−1) ⁿ × r ₁ ⁿ = r ₁ ⁿです。

平方根の場合と同様に、上記の式は複素平面全体で連続関数を定義するものではなく、 θ / nが不連続となる点で分岐が切断されます。  

多項式の根​​${\displaystyle p(x)}$⁠は数字です${\displaystyle a}$⁠そのため⁠${\displaystyle p(a)=0}$数n乗根​​${\displaystyle a}$は定義により多項式の根である。${\displaystyle x^{n}-a}$代数的数とは、多項式の根である数のことです。

二次方程式の解の公式は、二次多項式の根を平方根で表します。16 世紀には、ジェロラモ・カルダーノをはじめとするイタリアの数学者たちが、同様に、3 次および 4 次の多項式の根は常にn乗根で表せることを発見しました( 3 次方程式と4 次方程式を参照)。^{[ 45 ]}

次の2世紀にわたり、すべての代数的数を根号で表すことができるかどうかという問題にかなりの努力が注がれた。1824年、 アーベル・ルフィニの定理の証明により、次数5の一般的な公式 は存在しないことが示された。^{[ 46 ]}これは、各特定の多項式に依存する公式を用いて多項式の根号を根号で表す可能性を完全に排除するものではなかった。例えば、5次多項式

${\displaystyle p(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})(x-a_{4})(x-a_{5})=0}$

過激なルーツを持つ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{5}.}$1830年に導入されたガロア理論は、次数5以上の多項式の中には、根号で表せないものがあることを示しました。最も簡単な例は次のとおりです 。${\displaystyle \textstyle x^{5}-x-1}$⁠ . ^{[ 47 ]} 5次関数 § 可解な5次関数とガロア理論 § 可解でない5次関数の例を参照。要約すると、根号は多項式の根を表すのに常に十分とは限りません。

この障害にもかかわらず、デモワブルの定理は、 5次関数であっても、数のn乗根を常に求めることができることを示している。${\displaystyle x^{5}-a}$[ ^{43 ]} 19世紀に証明された以下の2つの結果は、17世紀に提起された多項式の根に関する根本的な問題を解決する。代数学の基本定理は、すべての多項式が複素根を持つことを主張している^。 [ 19 ^{]多項式の}根ではない超越数と呼ばれる数がある。数πはそのような超越数の例である。^{[ 48 ]}

なぜ数字が${\displaystyle a^{n}}$主根が1つだけではなく、 n個の根を持つ。これを実証するために、変数xのn乗の主根aについて、次の多項式関係が成り立つ。 $${\displaystyle p(x)=x^{n}-a^{n}=0}$$この多項式は次のように因数分解 できます。^{[ 49 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}p(x)&=x^{n}-a^{n}\\&=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^{2}x^{n-3}+\cdots +a^{n-1})\\&=(x-a)\left(\sum _{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}a^{k}\right)\\\end{aligned}}}$$ したがって、多項式${\displaystyle p(x)}$x がaに等しい場合、または方程式を満たす任意のxに対してはゼロになります。 ^{[ 50 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}a^{k}=0}$$ 代数学の基本定理により、この数列は${\displaystyle n-1}$根、合計${\displaystyle n}$。

例として、${\displaystyle n=3}$そして${\displaystyle a=1}$次に、1の立方根を求めます^{[ 51 ]}

$${\displaystyle p(x)=x^{3}-1^{3}=(x-1)(x^{2}+x^{1}+1)=0}$$

したがって、最初の根は${\displaystyle x=1}$、そして他の2つの根は、二次方程式を使用して導出できます。${\displaystyle a=b=c=1}$^{[ 52 ]}

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4}}}{2}}={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}}$$

と仮定する${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$有理数である。つまり、分数に還元できる。${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ここで、aとbは共通因数を持たない整数である。

これはつまり${\displaystyle x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$。

xは整数なので、${\displaystyle a^{n}}$そして${\displaystyle b^{n}}$共通因子を共有しなければならない${\displaystyle b\neq 1}$これはつまり、${\displaystyle b\neq 1}$、${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$は最も簡単な形ではない。したがって、bは1に等しくなければならない。

以来${\displaystyle 1^{n}=1}$そして${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$、${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}}$。

これはつまり${\displaystyle x=a^{n}}$したがって、${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a}$これは、${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$は整数です。xはn乗ではないので、これは不可能です。したがって${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$非合理的である。^{[ 25 ]}

• 幾何平均
• 2の12乗根