代数リカッチ方程式

代数リカッチ方程式は、連続時間または離散時間における無限時間最適制御問題の文脈で発生する非線形方程式の一種です。

典型的な代数リカッチ方程式は、以下のいずれかに類似しています。

連続時間代数リッカチ方程式（CARE）：

$${\displaystyle A^{\top }P+PA-PBR^{-1}B^{\top }P+Q=0}$$

または離散時間代数リッカチ方程式（DARE）：

$${\displaystyle P=A^{\top }PA-(A^{\top }PB)(R+B^{\top }PB)^{-1}(B^{\top }PA)+Q.}$$

Pは未知のn × n対称行列であり、A、B、Q、Rは既知の実数係数行列で、QとRは対称行列である。

一般的にこの方程式には多くの解が存在するが、通常は、もしそのような解が存在するならば、唯一の安定化解を求めることが求められる。

これらの方程式がリッカチ微分方程式と関連していることから、リッカチという名前が付けられています。実際、CAREは、関連する行列値リッカチ微分方程式の時間不変解によって検証されます。離散時間代数リッカチ方程式（DARE）については、行列値リッカチ差分方程式（離散時間LQRの文脈におけるリッカチ微分方程式の類似物）の時間不変解によって検証されます。

無限時間最適制御問題では、任意の遠い未来における関心のある変数の値に関心があり、将来のあらゆる時点において最適に動作することを前提として、現在における制御変数の値を最適に選択する必要があります。任意の時点における制御変数の最適値は、リカッチ方程式の解と、変化する状態変数に関する現在の観測値を用いて求めることができます。状態変数と制御変数が複数ある場合、リカッチ方程式は行列方程式になります。

代数リカッチ方程式は、無限時間不変線形二次レギュレータ問題（LQR）と無限時間不変線形二次ガウス制御問題（LQG）の解を決定します。これらは制御理論における最も基本的な問題の2つです。

離散時間線形二次制御問題の典型的な仕様は、最小化することです。

$${\displaystyle \sum _{t=1}^{T}(x_{t}^{\top }Qx_{t}+u_{t}^{\top }Ru_{t})}$$

状態方程式に従う

$${\displaystyle x_{t}=Ax_{t-1}+Bu_{t-1},}$$

ここで、xはn × 1の状態変数ベクトル、uはk × 1の制御変数ベクトル、Aはn × n の状態遷移行列、Bはn × kの制御乗数行列、Q ( n × n ) は対称正定値状態コスト行列、R ( k × k ) は対称正定値制御コスト行列である。

時間を遡る帰納法は、各時点での最適な制御解を得るために使用できます。^{[ 1 ]}

$${\displaystyle u_{t}^{*}=-(B^{\top }P_{t+1}B+R)^{-1}(B^{\top }P_{t+1}A)x_{t},}$$

対称正定値コスト行列Pは、 P _T = Qから時間的に逆方向に進化し、

$${\displaystyle P_{t-1}=Q+A^{\top }P_{t}AA^{\top }P_{t}B(B^{\top }P_{t}B+R)^{-1}B^{\top }P_{t}A,\,}$$

これは、この問題の離散時間動的リカッチ方程式として知られています。Tが無限大に近づく無限時間問題に関連するPの定常状態特性は、動的方程式が収束するまで繰り返し反復することで見つけることができます。その後、動的方程式から時間の添え字を取り除くことでPの特性が得られます。

通常、ソルバーは、もしそのような解が存在するならば、唯一の安定化解を見つけようとします。ある解が安定化解であるとは、その解を用いて関連するLQRシステムを制御することで、閉ループシステムが安定になる場合を指します。

CAREの場合、制御は $${\displaystyle K=R^{-1}B^{\top }P}$$ 閉ループ状態伝達行列は次のようになる。 $${\displaystyle A-BK=A-BR^{-1}B^{\top }P}$$ これは、そのすべての固有値の実部が厳密に負である場合に限り安定である。

DAREの場合、制御は $${\displaystyle K=(R+B^{\top }PB)^{-1}B^{\top }PA}$$ 閉ループ状態伝達行列は次のようになる。 $${\displaystyle A-BK=AB(R+B^{\top }PB)^{-1}B^{\top }PA}$$これは、そのすべての固有値が複素平面の単位円 の内側に厳密に存在する場合に限り安定である。

代数リカッチ方程式の解は、行列分解またはリカッチ方程式の反復によって得られます。離散時間の場合、有限時間問題で発生する動的リカッチ方程式を使用することで、反復の1つのタイプが得られます。後者の問題では、行列の値の各反復は、最終時間から有限時間離れた各期間での最適な選択に関係し、無限に遡って反復すると、最終期間の無限前の時間での最適な選択に関連する特定の行列に収束します。つまり、無限の時間範囲が存在する場合です。

より大きなシステムの固有値分解を求めることによって解を見つけることも可能である。CAREの場合、ハミルトニアン行列を定義する。$${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}A&-BR^{-1}B^{\top }\\-Q&-A^{\top }\end{pmatrix}}}$$Zはハミルトニアンである ため、虚軸上に固有値を持たない場合、その固有値のちょうど半分が負の実部を持つ。対応する部分空間の基底を形成する列を持つ2n × n行列をブロック行列表記で表すと、 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}U_{1,1}\\U_{2,1}\end{pmatrix}}}$$ それから $${\displaystyle P=U_{2,1}U_{1,1}^{-1}}$$ はリッカチ方程式の解であり、さらに、の固有値は${\displaystyle A-BR^{-1}B^{\top }P}$これらは、実部が負であるZの固有値です。

DAREの場合、Aが可逆行列である場合、シンプレクティック行列を定義します。$${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}A+BR^{-1}B^{\top }(A^{-1})^{\top }Q&-BR^{-1}B^{\top }(A^{-1})^{\top }\\-(A^{-1})^{\top }Q&(A^{-1})^{\top }\end{pmatrix}}}$$Zはシンプレクティックな ので、単位円上に固有値を持たない場合、その固有値のちょうど半分が単位円の内側にある。対応する部分空間の基底を形成する列を持つ2n × n行列をブロック行列表記で 表すと、$${\displaystyle {\begin{pmatrix}U_{1,1}\\U_{2,1}\end{pmatrix}}}$$ ここで、U _1,1、U _2,1は分解^{[ 2 ]の結果である。}$${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}U_{1,1}&U_{1,2}\\U_{2,1}&U_{2,2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Lambda _{1,1}&\Lambda _{1,2}\\0&\Lambda _{2,2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1,1}^{\top }&U_{2,1}^{\top }\\U_{1,2}^{\top }&U_{2,2}^{\top }\end{pmatrix}}}$$ それから $${\displaystyle P=U_{2,1}U_{1,1}^{-1}}$$ はリッカチ方程式の解であり、さらに、の固有値は${\displaystyle AB(R+B^{\top }PB)^{-1}B^{\top }PA}$これらは、単位円の内側にあるZの固有値である。

• リャプノフ方程式
• シュール分解
• シルベスター方程式

• ピーター・ランカスター、レイバ・ロッドマン（1995）『代数的リッカチ方程式』オックスフォード大学出版局、504ページ 、ISBN 0-19-853795-6
• アラン・J・ラウブ、「代数リカッチ方程式を解くためのシュール法」、マサチューセッツ工科大学情報意思決定システム研究所（報告書LIDS-R-859）。

• CAREソルバーはMATLAB Controlツールボックスの補助機能です。
• DAREソルバーはMATLAB Controlツールボックスの補助機能です。
• 任意のサイズの行列に対応したオンラインCAREソルバー。
• Python製のCAREおよびDAREソルバー。
• 連続時間代数リッカチ方程式を解くためのMathematica関数。
• 離散時間代数リッカチ方程式を解くためのMathematica関数。