シンプレクティック積分器

数学において、シンプレクティック積分器( SI ) は、ハミルトン系の数値積分スキームです。シンプレクティック積分器は、定義上、標準変換である幾何学的積分器のサブクラスを形成します。これらは、非線形力学、分子動力学、離散要素法、加速器物理学、プラズマ物理学、量子物理学、天体力学で広く使用されています。

シンプレクティック積分器は、ハミルトン方程式の数値解を求めるために設計されており、

${\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\quad {\mbox{and}}\quad {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},}$

ここで、 は位置座標、は運動量座標、 はハミルトニアンを表します。位置座標と運動量座標の集合は標準座標と呼ばれます。(詳細な背景についてはハミルトン力学を参照してください。) ${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (q,p)}$

ハミルトン方程式の時間発展はシンプレクティック同型写像であり、シンプレクティック2 形式を 保存することを意味します。数値スキームもこの 2 形式を保存する場合、シンプレクティック積分器になります。 ${\displaystyle dp\wedge dq}$

シンプレクティック積分器は、保存量として、元のハミルトニアンからわずかに摂動したハミルトニアンを持ちます。 ^[1]これらの利点により、SIスキームは、ケプラー問題から分子動力学の古典的および半古典的なシミュレーションに至るまで、カオスハミルトニアンシステムの長期的発展の計算に広く適用されています。

原始オイラー法や古典的なルンゲ・クッタ法などの通常の数値計算法のほとんどは、シンプレクティック積分法ではありません。

広く使用されているシンプレクティック積分器のクラスは、分割法によって形成されます。

ハミルトニアンは分離可能、つまり次のように書けると仮定する。

これはハミルトン力学で頻繁に発生し、Tは運動エネルギー、V は位置エネルギーです。

表記を簡潔にするために、位置座標と運動量座標の両方を含む標準座標を表す記号を導入します。すると、導入部で示したハミルトン方程式の集合は、次のように1つの式で表すことができます。 ${\displaystyle z=(q,p)}$

ここで、はポアソン括弧です。さらに、ハミルトニアンを含む被演算子のポアソン括弧を返す演算子 を導入すると、ハミルトン方程式の表現はさらに次のように簡略化されます。 ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle D_{H}\cdot =\{\cdot ,H\}}$

${\displaystyle {\dot {z}}=D_{H}z.}$

この方程式の正式な解は、行列指数として与えられます。

指数行列の が正であることに注意してください。${\displaystyle \tau D_{H}}$

ハミルトニアンが式（ １ ）の形をとるとき、解（３）は次式と等しくなる。

SI法は、形式解( 4 )における時間発展演算子を、演算子の積で近似する。 ${\displaystyle \exp[\tau (D_{T}+D_{V})]}$

ここで、およびは実数、は整数で、積分器の次数と呼ばれ、です。演算子およびのそれぞれはシンプレクティック写像を提供するので、( 5 )の右側に現れるそれらの積もシンプレクティック写像を構成することに留意してください。 ${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle k}$${\textstyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{k}d_{i}=1}$${\displaystyle \exp(c_{i}\tau D_{T})}$${\displaystyle \exp(d_{i}\tau D_{V})}$

全ての に対して、次のように結論付けることができる。 ${\displaystyle D_{T}^{2}z=\{\{z,T\},T\}=\{({\dot {q}},0),T\}=(0,0)}$${\displaystyle z}$

テイラー級数を用いると、次のように表される。 ${\displaystyle \exp(aD_{T})}$

ここで は任意の実数である。 （6）と（7 ）を組み合わせ、に対して用いたのと同じ推論を用いて に対しても、次式を得る。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle D_{V}}$${\displaystyle D_{T}}$

具体的には、マッピングを与える ${\displaystyle \exp(c_{i}\tau D_{T})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q+\tau c_{i}{\frac {\partial T}{\partial p}}(p)\\p\end{pmatrix}},}$

そして与える ${\displaystyle \exp(d_{i}\tau D_{V})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q\\p-\tau d_{i}{\frac {\partial V}{\partial q}}(q)\\\end{pmatrix}}.}$

これら 2 つのマップは両方とも実質的に計算可能であることに注意してください。

方程式の簡略化された形式（実行順）は次のとおりです。

${\displaystyle q_{i+1}=q_{i}+c_{i}{\frac {p_{i+1}}{m}}t}$

${\displaystyle p_{i+1}=p_{i}+d_{i}F(q_{i})t}$

上記で採用した定義（説明の演算子バージョン）により、ステップを実行するときにインデックスが降順で走査されることに注意してください（ 4 次スキームの場合）。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle i=4,3,2,1}$

ラグランジアン座標に変換した後:

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+c_{i}v_{i+1}t}$

${\displaystyle v_{i+1}=v_{i}+d_{i}a(x_{i})t}$

ここで、 は における力のベクトル、は における加速度のベクトル、 は質量のスカラー量です。 ${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$

以下にいくつかのシンプレクティック積分器を示します。これらを使用する例として、位置と運動量 を持つ粒子を考えてみましょう。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

値を持つタイムステップをパーティクルに適用するには、次の手順を実行します (前述のとおり、インデックスは降順で指定します)。 ${\displaystyle c_{1,2,3},d_{1,2,3}}$${\displaystyle i=3,2,1}$

反復的に:

• 粒子の位置を、その（以前に更新された）速度に乗じて追加して更新します。${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle c_{i}}$
• 粒子の速度を更新するには、更新された位置での加速度に${\displaystyle i}$${\displaystyle d_{i}}$

シンプレクティックオイラー法は、係数が ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle c_{1}=d_{1}=1.}$

上記のアルゴリズムは、時間の可逆性が必要な場合は機能しないことに注意してください。アルゴリズムは、正の時間ステップ用と負の時間ステップ用の 2 つの部分で実装する必要があります。

ヴェルレ法は、係数が ${\displaystyle k=2}$

${\displaystyle c_{1}=0,\qquad c_{2}=1,\qquad d_{1}=d_{2}={\tfrac {1}{2}}.}$

なので、上記のアルゴリズムは時間的に対称です。アルゴリズムには 3 つのステップがあり、ステップ 1 と 3 はまったく同じなので、正の時間バージョンを負の時間にも使用できます。 ${\displaystyle c_{1}=0}$

3次のシンプレクティック積分器（）は1983年にロナルド・ルースによって発見された。^[2] 多くの解のうちの1つは次のように与えられる。 ${\displaystyle k=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=1,&c_{2}&=-{\tfrac {2}{3}},&c_{3}&={\tfrac {2}{3}},\\d_{1}&=-{\tfrac {1}{24}},&d_{2}&={\tfrac {3}{4}},&d_{3}&={\tfrac {7}{24}}.\end{aligned}}}$

4次の積分器（）も1983年にルースによって発見され、当時は粒子加速器コミュニティに非公開で配布されていました。これはフォレストによる活発なレビュー記事で説明されました。^[3] この4次の積分器は1990年にフォレストとルースによって発表され、同じ頃に他の2つのグループによっても独立して発見されました。^{[4] [5] [6]}${\displaystyle k=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=c_{4}={\frac {1}{2(2-2^{1/3})}},&c_{2}&=c_{3}={\frac {1-2^{1/3}}{2(2-2^{1/3})}},\\d_{1}&=d_{3}={\frac {1}{2-2^{1/3}}},&d_{2}&=-{\frac {2^{1/3}}{2-2^{1/3}}},\quad d_{4}=0.\end{aligned}}}$

これらの係数を決定するために、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式を使用することができます。特に吉田は、高次の積分器の係数のエレガントな導出を示しています。その後、BlanesとMoan ^{[7]は、非常に小さな誤差定数を持つ分離可能なハミルトニアンを持つシステムの積分のための分割}ルンゲ・クッタ法をさらに開発しました。

一般的な非分離ハミルトニアンは、明示的にシンプレクティックに積分することもできます。

そのために、タオは位相空間の2つのコピーを結合して、そのようなシステムの明示的な分割を可能にする制約を導入しました。^[8]その考え方は、 の代わりにをシミュレートする というもので、その解はの意味での解と一致します。 ${\displaystyle H(Q,P)}$${\displaystyle {\bar {H}}(q,p,x,y)=H(q,y)+H(x,p)+\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)}$${\displaystyle H(Q,P)}$${\displaystyle q(t)=x(t)=Q(t),p(t)=y(t)=P(t)}$

新しいハミルトニアンは、3 つのサブハミルトニアンの和、、、に分割できるため、明示的なシンプレクティック積分に有利です。3つのサブハミルトニアンの正確な解は明示的に得ることができます。両方の解は、不一致の位置と運動量のシフトに対応し、線形変換に対応します。システムをシンプレクティックにシミュレートするには、これらの解マップを構成するだけです。 ${\displaystyle H_{A}=H(q,y)}$${\displaystyle H_{B}=H(x,p)}$${\displaystyle H_{C}=\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)}$${\displaystyle H_{A},H_{B}}$${\displaystyle H_{C}}$

近年、プラズマ物理学におけるシンプレクティック積分器は活発な研究テーマとなっている。^[9]標準的なシンプレクティック法をそのまま適用しても、ペタスケールからエクサスケールの計算ハードウェアによって可能になった大規模プラズマシミュレーションのニーズには合わないからである。特別なシンプレクティックアルゴリズムは、調査中の物理問題の特殊な構造を利用して、慣習的に設計される必要がある。その一例が、電磁場における荷電粒子のダイナミクスである。標準的なシンプレクティック構造では、ダイナミクスのハミルトニアンは-依存性と-依存性が分離不可能であり、標準的な明示的シンプレクティック法は適用されない。しかし、超並列クラスター上の大規模シミュレーションでは、明示的方法が好ましい。この困難を克服するために、このハミルトニアンで-依存性と-依存性が絡み合う具体的な方法を探り、この問題またはこの種の問題専用のシンプレクティックアルゴリズムを設計することができる。まず、 -依存性は2次式であることに注目してください。したがって、 に暗黙的に含まれる1次のシンプレクティックオイラー法は、実際には明示的です。これは、標準的なシンプレクティック粒子インセル（PIC）アルゴリズムで使用されているものです。^[10]高次の明示的方法を構築するには、さらに、この の-依存性と-依存性は積分離可能であり、2次および3次の明示的シンプレクティックアルゴリズムは生成関数を使用して構築できることに注目してください。 ^[11]また、時間依存電磁場の任意の高次の明示的シンプレクティック積分器も、ルンゲ・クッタ法を使用して構築できます。^[12]$${\displaystyle H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {A}}\right)^{2}+\phi ,}$$${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$${\textstyle H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})}$

よりエレガントで用途の広い代替案は、問題の次の非正準シンプレクティック構造を見ることです。これは、非定数非正準シンプレクティック形式です。明示的または暗黙的な、非定数非正準シンプレクティック構造の一般的なシンプレクティック積分器の存在は知られていません。ただし、この特定の問題では、He 分割法を使用して、高次の明示的非正準シンプレクティック積分器のファミリを構築できます。^[13] 4 つの部分に分割すると、各サブシステム、たとえば、およびについて、ソリューション マップを明示的に記述して正確に計算できることが偶然見つかります。次に、異なる構成を使用して、明示的な高次非正準シンプレクティック アルゴリズムを構築できます。およびが4 つのサブシステムの正確なソリューション マップを表すものとします。1 次のシンプレクティック スキームは です。対称的な 2 次のシンプレクティック スキームは で、これは慣例的に修正された Strang 分割です。三重ジャンプ法を用いて、次スキームから次スキームを構築することができる。He分割法は、構造保存幾何学的粒子インセル（PIC）アルゴリズムで使用される重要な技術の1つである。^{[14] [15] [16] [17]}$${\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH,\ \ \ \Omega =d({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {A}})\wedge d{\boldsymbol {x}},\ \ \ H={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}+\phi .}$$${\textstyle \Omega }$${\textstyle H}$$${\displaystyle {\begin{aligned}H&=H_{x}+H_{y}+H_{z}+H_{\phi },\\H_{x}&={\frac {1}{2}}v_{x}^{2},\ \ H_{y}={\frac {1}{2}}v_{y}^{2},\ \ H_{z}={\frac {1}{2}}v_{z}^{2},\ \ H_{\phi }=\phi ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{x}}$$$${\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{\phi },}$$${\textstyle \Theta _{x},\Theta _{y},\Theta _{z}}$${\textstyle \Theta _{\phi }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{1}\left(\Delta \tau \right)=\Theta _{x}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)~.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{2}\left(\Delta \tau \right)&=\Theta _{x}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)\\&\Theta _{z}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{y}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{x}\left(\Delta t/2\right)\!,\end{aligned}}}$$${\textstyle 2(l+1)}$${\textstyle 2l}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{2(l+1)}(\Delta \tau )&=\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\beta _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )~,\\\alpha _{l}&=1/(2-2^{1/(2l+1)})~,\\\beta _{l}&=1-2\alpha _{l}~.\end{aligned}}}$$

• エネルギードリフト
• マルチシンプレクティック積分器
• 変分積分器
• ヴェルレ統合

• Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian (2005)。ハミルトン力学のシミュレーション。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-77290-7。
• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006)。幾何数値積分：常微分方程式の構造保存アルゴリズム（第 2 版）。Springer。ISBN 978-3-540-30663-4。
• Kang, Feng; Qin, Mengzhao (2010).ハミルトン系のためのシンプレクティック幾何学アルゴリズム. Springer.