変分モンテカルロ

計算物理学において、変分モンテカルロ法（VMC）は変分法を適用して量子系の基底状態を近似する量子モンテカルロ法である。 ^[1]

基本的な構成要素は、いくつかのパラメータに依存する一般的な波動関数 です。パラメータの最適値は、システムの総エネルギーを最小化することで見つかります。 ${\displaystyle |\Psi (a)\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

特に、ハミルトニアン が与えられ、多体構成で表すと、エネルギーの期待値は次のように表される。 ^[2]${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle E(a)={\frac {\langle \Psi (a)|{\mathcal {H}}|\Psi (a)\rangle }{\langle \Psi (a)|\Psi (a) \rangle }}={\frac {\int |\Psi (X,a)|^{2}{\frac {{\mathcal {H}}\Psi (X,a)}{\Psi (X,a) )}}\,dX}{\int |\Psi (X,a)|^{2}\,dX}}.}$$

積分を評価するモンテカルロ法に従って、 を確率分布関数として解釈し、それをサンプリングして、いわゆる局所エネルギー の平均としてエネルギー期待値を評価することができます。 が与えられた変分パラメータのセットに対してわかると、エネルギーを最小化し、基底状態の波動関数の可能な限り最良の表現を得るために最適化が実行されます。 ${\displaystyle {\frac {|\Psi (X,a)|^{2}}{\int |\Psi (X,a)|^{2}\,dX}}}$${\displaystyle E(a)}$${\displaystyle E_{\textrm {loc}}(X)={\frac {{\mathcal {H}}\Psi (X,a)}{\Psi (X,a)}}}$${\displaystyle E(a)}$${\displaystyle a}$

VMC は、多次元積分が数値的に評価されることを除いて、他の変分法と何ら変わりません。モンテ カルロ積分は、この問題では特に重要です。なぜなら、構成のすべての可能な値を含む多体ヒルベルト空間の次元は、通常、物理システムのサイズとともに指数関数的に増加するためです。したがって、エネルギー期待値の数値評価に対する他のアプローチは、一般に、モンテ カルロ アプローチによって解析可能なシステムよりもはるかに小さなシステムへの適用に限定されます。 ${\displaystyle X}$

この方法の精度は、変分状態の選択に大きく依存します。最も単純な選択は、通常、平均場形式に対応し、状態はヒルベルト空間上の因数分解として記述されます。この特に単純な形式は、多体効果を無視するため、通常はあまり正確ではありません。波動関数を分離して記述する場合に比べて精度が大幅に向上する理由の 1 つは、いわゆる Jastrow 因子の導入です。この場合、波動関数は と記述されます。ここで、 は量子粒子のペア間の距離であり、 は決定すべき変分関数です。この因子を使用すると、粒子間の相関を明示的に考慮できますが、多体積分は分離できなくなるため、モンテカルロがこれを効率的に評価する唯一の方法です。化学システムでは、この因子の少し洗練されたバージョンを使用すると、30 未満のパラメーターで相関エネルギーの 80～90% を取得できます (電子相関を参照)。比較すると、配置相互作用の計算では、その精度に達するために約 50,000 のパラメーターが必要になる場合がありますが、これは検討対象の特定のケースに大きく依存します。さらに、VMC は通常、シミュレーション内の粒子の数の小さな累乗としてスケーリングされ、波動関数の形式に応じて、エネルギー期待値の計算では 通常N ^{2−4のような値になります。}${\displaystyle \Psi}$${\textstyle \Psi (X)=\exp(\sum {u(r_{ij})})}$${\displaystyle r_{ij}}$${\displaystyle u(r)}$

QMC 計算は試行関数の品質に大きく依存するため、最適化された波動関数を可能な限り基底状態に近づけることが不可欠です。関数最適化の問題は、数値シミュレーションにおける非常に重要な研究テーマです。QMC では、多次元パラメトリック関数の最小値を見つける通常の困難さに加えて、効率的な最適化に必要なコスト関数 (通常はエネルギー) とその導関数の推定に統計ノイズが存在します。

多体試行関数を最適化するために、異なるコスト関数と異なる戦略が使用されました。通常、QMC 最適化では、エネルギー、分散、またはそれらの線形結合の 3 つのコスト関数が使用されました。分散最適化法には、正確な波動関数の分散がわかっているという利点があります。(正確な波動関数はハミルトニアンの固有関数であるため、ローカル エネルギーの分散はゼロです)。つまり、分散最適化は、下から制限され、正に定義され、最小値がわかっているという点で理想的です。ただし、最近、さまざまな著者がエネルギー最適化の方が分散最適化よりも効果的であることを示したため、最終的にはエネルギー最小化の方が効果的であることが判明する可能性があります。

これにはさまざまな動機があります。第 1 に、変分モンテ カルロ法と拡散モンテ カルロ法の両方において、通常、最小の分散ではなく、最小のエネルギーに関心があります。第 2 に、分散の最適化では、行列式パラメーターを最適化するために多くの反復が必要であり、最適化が複数の局所的最小値で行き詰まることが多く、「誤った収束」の問題が発生します。第 3 に、エネルギーが最小化された波動関数は、平均して、分散が最小化された波動関数よりも、他の期待値のより正確な値を生成します。

最適化戦略は 3 つのカテゴリに分けられます。最初の戦略は、相関サンプリングと決定論的最適化手法を組み合わせたものです。このアイデアでは、第 1 列の原子に対して非常に正確な結果が得られましたが、パラメータがノードに影響し、さらに現在の試行関数と初期試行関数の密度比がシステムのサイズとともに指数的に増加する場合、この手順では問題が発生する可能性があります。2 番目の戦略では、ノイズを無視して決定論的手法を使用できるように、大きなビンを使用してコスト関数とその導関数を評価します。

3 番目のアプローチは、ノイズ関数を直接処理する反復技術に基づいています。これらの方法の最初の例は、いわゆる確率的勾配近似 (SGA) であり、構造最適化にも使用されていました。最近、この種の改良された高速なアプローチとして、いわゆる確率的再構成 (SR) 法が提案されました。

2017年、ジュゼッペ・カルレオとマティアス・トロイヤー^[3]は、VMC目的関数を使用して人工ニューラルネットワークを訓練し、量子力学システムの基底状態を見つけました。より一般的には、人工ニューラルネットワークは、量子力学システムの基底状態を見つけるためのVMCフレームワークで波動関数の仮説（ニューラルネットワーク量子状態として知られる）として使用されています。VMCのニューラルネットワーク仮説の使用はフェルミオンにまで拡張され、ニューラルネットワークを使用しないVMC計算よりも大幅に正確な電子構造計算が可能になりました。 ^{[4] [5] [6]}

• メトロポリス・ヘイスティングスアルゴリズム
• レイリー・リッツ法
• 時間依存変分モンテカルロ

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